Рациональные уравнения как модели реальных ситуаций математический диктант

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.
методическая разработка (алгебра, 8 класс) по теме

Предлагаю урок построения системы знаний по теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгебра, 8 класс

«Решение задач с помощью рациональных уравнений»

учитель Медведева С.А.

1) закрепление умения составлять уравнение по условию задачи и решать его; формирование умения строить математическую модель; интерпретировать её на реальную ситуацию, изложенную в задаче;

2) развитие логического мышления, устной и письменной речи учащихся.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Математический диктант с взаимопроверкой.
4. Устная работа; решение задачи по готовым алгоритмам.
5. Решение задач.
6. Итог урока.
7. Домашнее задание.

2) Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы по домашнему заданию. в конце урока выборочно взять тетради на проверку.

3) Математический диктант.

Составьте выражение по условию задачи.

1. Скорость течения реки х км/ч. Сколько времени затратит катер на весь путь, если он прошёл 20 км по течению и 10 км против течения, и его собственная скорость 32 км/ч?

2.Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в течение 4 часов. Какова производительность второго, если первый перевозит зерно за у часов?

3.Два велосипедиста выехали навстречу друг другу, скорость первого с км/ч, а скорость второго на 3 км/ч больше. Через сколько часов они встретятся, если

расстояние между пунктами А и В 35 км?

4. Цена часов снижена на а%. Сколько стали стоить часы, если они стоили 250 рублей?

4) Устное обсуждение задачи по алгоритмам.

Автобус должен был проехать от деревни до города за определённое время. Проехав, 65 км, он остановился на 10 минут. Поэтому на оставшихся 35 км он увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город вовремя. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Выберите правильно составленное уравнение. Объясните каждое уравнение.

5) Решение задач.

1.Цена товара снижена на столько процентов, сколько рублей стоил товар до снижения. На сколько процентов снижена цена товара, если после снижения он стал стоить 21 рубль?

Вопрос. Оба ли корня являются решением задачи? ( Да).

Ответ: на 30% или на 70%.

1. Бригада должна была изготовить к определённому сроку 150 изделий. Увеличив ежедневную выработку на 5 изделий, она смогла уже за 2 дня до срока не только выполнить план, но изготовить дополнительно ещё 10 изделий. Сколько изделий должна была изготовить бригада по плану?

1 вариант. Примите за х плановую производительность.

2 вариант. Примите за х время работы по плану.

не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 15 изделий.

не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 15 изделий.

6) Домашнее задание :

Какие из следующих задач могут быть решены с помощью уравнений вида

1. Мотоциклист задержался с выездом на 9 минут. Чтобы наверстать упущенное время, он увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью ехал мотоциклист, если весь его путь составил 30 км?

2. Из двух городов, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист выехал на 40 минут позже велосипедиста. Встретились они на середине пути. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.

3.Каждый из двух пешеходов прошёл по 6 км. Скорость первого пешехода на

3 км/ч больше скорости второго, и поэтому в пути он был на 1 ч меньше, чем второй. Сколько времени был в пути первый пешеход?

4. Сад и огород имеют форму прямоугольника; площадь каждого из них равна 1500 кв. м. Ширина сада на 5 м меньше ширины огорода, зато длина сада на 10 м больше длины огорода. Найдите размеры сада и огорода.

5. Две бригады, работая вместе, посадили деревья на участке за 4 дня. Сколько дней понадобилось бы каждой бригаде на посадку деревьев, если бы она работала одна? Известно, что первая бригада сделала бы это на 6 дней быстрее второй.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Данный урок сформирует у учащихся умения и навыки решения задач с помощью рациональных уравнений. Обучит составлению дробно- рациональных уравнений по условию задачи.

Просмотр содержимого документа
«Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций»

План – конспект урока математики в 8 классе.

Тема урока. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций Цели урока: формирование умений и навыков решения задач с помощью рациональных уравнений; обучение составлению дробно- рациональных уравнений по условию задачи; развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии; развитие алгоритмического мышления; повышение интереса к решению текстовых задач..

Повторение пройденного материала.

Путешествие в страну уравнений.

На обратной стороне доска с заранее заготовленной сеткой кроссворда с ответами . У каждого на столе есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку подложен чистый лист и копировка. Дети записывают ответы в именительном падеже. Разгадав кроссворд , сдают карточки, а по листу проводят самопроверку.

Чем является выражение в2 – 4ас для квадратного уравнения с коэффициентами а, в, с? ( Дискриминант.)

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство? (Корень.)

Уравнение вида ах4 + вх2 +с=0, где а не равно 0? (Биквадратное.)

Французский математик. (Виет.)

Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)

Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (Равносильные.)

Множество корней уравнения. (Решение.)

Решение уравнения ах =0. (Ноль.)

Равенство, содержащее переменную. (Уравнение.)

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов в или с равен 0. (Неполное.)

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (Приведенное.)

Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений: а) 2х-7/5х-2 — 6/ 2-5х = 0; б) 5 + 10/ у-4 = у ; в) 2х — 3/х + 2 — 4/х = 15

Ответы: а) 5х – 2 или 2 — 5х; б) у — 4; в) х(х + 2).

Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

Мы научились решать дробные уравнения. А для чего они нужны? Какие задачи приводят их появлению? — Такие, в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения ( содержащего переменную в знаменателе дроби). Например: время = путь/скорость, скорость = путь/время; цена = стоимость/ количество, количество = стоимость / цена; сторона прямоугольника = площадь/ вторая сторона; производительность = работа/время, время = работа/ производительность.

Задача №1 . Паша поехал на велосипеде, а Саша на мотоцикле. Выехали они одновременно, но так как скорость мотоцикла на 10 км/ч больше скорости велосипеда, то Саша приехал на 2 ч раньше Паши. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 40 км.

Учитывая, что мотоцикл приехал на 2 ч раньше, составим уравнение

40/х = ( 40/( х + 10) )+ 2. Уравнение имеет два корня: х = 10, х = — 20, но второй не подходит по смыслу задачи. Скорость движения Паши 10 км/ч, Саши – 20 км/ч. Ответ: 10 км/ч, 20км/ч.

Задача №2. Поезд опаздывал на 1 ч и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию. (№ 27.8)

( 720/ х ) — 1 = 720/(х + 10)

Скорость поезда по расписанию 80 км/ч.

Задача №3. Рабочий должен сделать 286 деталей. Если он будет делать на 8 деталей в день больше, то закончит работу на 1 день раньше срока. Сколько деталей в день рабочий должен делать по плану?

Производительность (деталей/ день)

286/х — 286/(х+10) = 1

Ответ: 44 детали.

Анализ решенных задач.

Какие задачи похожи? ( Ответы: 1-я и 2-я – как задачи на движение; 2-я и 3-я – в них две ситуации : в 1-ой — ситуация одна, но два действующих лица). Но эти признаки не являются существенными для классификации задач: все задачи похожи по своей структуре и по принципу решения.

Домашнее задание. № 27.2; №27.15. Придумать задачу по уравнению 5/х – 8/ (х+3) = 3 и решить ее.

Технологическая карта по теме «Рациональные уравнения как математическая модель жизненных ситуаций»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта урока алгебры в 8 классе в соответствии ФГОС

ТИП урока: Открытие новых знаний учащимися

Вид (форма) урока: исследование

Тема урока: «Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций»

Цель как деятельность учеников: научиться составлять математические модели реальных ситуаций.

1. Обеспечить учащимся понимание уравнения как математической модели некоторой жизненной ситуации, описанной в текстовой задаче.

2. Формировать познавательные, регулятивные, коммуникативные и личностные УУД как цели урока.

Планируемые образовательные результаты

-самоопределение, и смыслообразование;

-находчивость и активность при решении задач;

-готовность к выполнению норм и требований;

-готовность к диалогу.

-умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации и других дисциплинах, в окружающей жизни;

-овладение основами логического и алгоритмического мышления;

-развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей; Регулятивные УУД :

-планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

-развитие умения оценивать, корректировать;

-развитие умения строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения.

— формировать навык составления математической модели, навык решения дробных рациональных уравнений;

— уметь работать с математическим текстом;

— грамотно использовать математическую терминологию и символику.

Ресурсы : проектор, компьютер, презентация к уроку «Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций », учебник «Алгебра» 8 класс «Просвещение 2009» под редакцией С.А.Мордковича.

Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы, вы учились решать уравнения. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения.

— Какую тему мы изучили? (рациональные уравнения). Какие рациональные уравнения вы научились решать?

— Какую тему обычно изучают после окончания изучения уравнений? (решение задач с помощью уравнений).

— Как мы называли составленные уравнения в решении простейших жизненных задач, реальных ситуаций? (математические модели)

— Определите тему сегодняшнего занятия. (Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций).

Итак, тему урока определили.

Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

— Работать сегодня мы будем в группах и индивидуально. Вспомните правила работы в группах. (Прислушиваться к мнению соседей, работать дружно, помогать друг другу)

В конце урока каждый из вас оценит свою работу. План работы на уроке записан в маршрутных листах

Включаются в деловой ритм урока.

Определяют тему урока.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

2. Актуализация изученных знаний, необходимых на уроке, и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

Повторить основные понятия изученной темы и алгоритм решения дробного рационального уравнения.

На этапе актуализации идёт повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

-Сначала мы повторим все о дробных рациональных уравнениях.

Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

-Какие уравнения называются дробными рациональными?

Работа в группах

— Что необходимо знать для успешного решения дробных рациональных уравнений? (Общий знаменатель дробей, входящих в уравнения)

-Расскажите алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся целое уравнение.

Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

-Решите уравнение. Выберите верный вариант ответа: На листах записать алгоритм решения. Самопроверка и самооценка.

1. Решите уравнение:

1) 0; 2) 0; 3; 3) 3; -3.

2. Решите уравнение:

1) 2; -1; 2) -2; 1; 3) -1.

3. Решите уравнение:

1) 2; -3; 2) 1; -2; 3) 1; 1,2.

4. Решите уравнение:

1) -2; 2; 2) 2; 1; 3) 2; -1.

5. Решите уравнение:

Ответ: __________________

Решение заданий записываем в тетради. В заданиях 1 – 4 – выбираем верный ответ, в 5 – записываем ответ.

Проверка по готовому решению:

5 заданий – «5», 4 – «4», 3, 2 задания – «3», менее 2 – «2»).

Определяют дробные рациональные уравнения среди перечисленных.

Находят общий знаменатель дробей, входящих в рациональное уравнение.

Рассказывают алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Решают предложенные дробные рациональные уравнения.

Осуществляют самопроверку и самооценку.

На этапе идёт повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося. Формируются регулятивные УУД (самоконтроль).

3. Открытие новых знаний.

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

Проблемный вопрос. Какое значение будут иметь в практической деятельности знания и умения, которые мы вспомнили? (Для …)

Итак, тема нашего урока «Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций».

-Где мы используем математические модели? (при решении задач)

-Назовите этапы решения задачи.

Проблемный вопрос. -Что необходимо сделать перед решением какой-нибудь задачи, например на движение? (Прежде чем приступать к решению задачи необходимо несколько раз внимательно прочитать условие задачи, понять какую величину обозначить за неизвестную).

Проблема: какую величину обозначить за неизвестную.

— Определите цель сегодняшнего урока.

(Научиться составлять математические модели реальных ситуаций)

Эпиграфом к нашим дальнейшим действиям могут быть слова американского математика Дж. Пойа «Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

Записываем в тетрадь тему урока.

Задача. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Проблема: как найти скорость каждого автомобиля?

Называют этапы решения задачи.

Формулируют проблему при решении задачи.

Определяют цель урока — научиться составлять математические модели реальных ситуаций.

Составляют математическую модель реальной ситуации (задачи):

Пусть х км/ч скорость первого автомобиля;

(х +20) км/ч – скорость второго автомобиля;

120/х — время первого автомобиля;

120/(х +20) — время второго автомобиля.

Согласно условию, 120/х -120/(х +20) = 1 (математическая модель)

Работа с составленной моделью.

Решив полученное уравнение, находят корни 40; -60. Но -60 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ на вопрос задачи. 40 и 60 км/ч

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические-формулирование проблемы.

4.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Установление правильности и осознанности изучения темы.

Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Работа в тетрадях. Задание №27.2 из задачника «Алгебра 8», под редакцией А.Г. Мордковича, стр. 164.

Первый пешеход прошел 6 км, а второй пешеход 5 км. Скорость первого пешехода на 1 км/ч меньше, чем скорость второго. Найдите скорость первого пешехода, если известно,

что он был в пути на 30 мин больше второго.

При составлении уравнения удобно пользоваться таблицей.

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам.

Работают в группах, обсуждают решение задачи.

Учатся доносить свою позицию до других (строить высказывания, пользуясь математической терминологией), слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения, при необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументировать её.

Формирование умений в использовании опорной схемы для решения задач.

Регулятивные: контроль, оценка, коррекция.

Познавательные: умение структуризировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, рефлексия способов и условий действия.

Коммуникативные: управление поведением партнера, контроль, коррекция, оценка действий партнера.

5. Выполнение контролирующего задания по изученной теме и включение в систему знаний повторение

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

1. Поезд опаздывал на 1 час, и чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

2. Из – за десятиминутной задержки поезда в пути ему пришлось на перегоне в 60 км увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

3. Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1ч 36 мин, вслед за ним выехал мотоциклист и прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость велосипедиста, если она меньше скорости мотоциклиста на 32 км/ч, расстояние между городами равно 45 км.

Самостоятельное решение в тетради.

Учатся находить информацию в тексте задачи, выделять главное, применять новые знания в другой ситуации

На данном этапе предлагаются не только задания, при решении которых используется новый алгоритм, но и выполняются задания, в которых новое знание используется вместе с ранее изученным. Выполняются универсальные логические действия: анализ, синтез.

6. Подведение итогов урока.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых

-Что изучили сегодня на уроке?

Оценить отдельных учащихся

Алгоритм решения задач на движение в одном направлении, если известны расстояние, соотношение между скоростями и время отставания

Регулятивные: оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль.

7. Информация о домашнем задании

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Изучить стр. 153-156 в учебнике.

Решить в тетрадях № 27.3; 27.5.

Составить и решить задачу с подобными данными (для сильных учащихся)

Записывают домашнее задание.

Д/з включает в себя как репродуктивное задание, так и творческое, что позволяет вызвать у детей познавательный интерес. Формируются познавательные УУД,

(анализ маршрутного листа)

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

— Итак, над какой темой мы работали? Удалось ли решить поставленную задачу? Каким способом?

— В чём испытывали трудности?

— Где можем применить новые знания? (При решении задач)

— Оцените работу группы и себя.

Молодцы. Спасибо за урок.

Учатся определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех, понимать причины своего неуспеха и находить способы выхода из этой ситуации.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Регулятивные УУД. Рефлексия.

Учении(ка) 8 класса _______________________________________

Оценка: все верно – «5», 2 верно — – «4», 1 верно – «3», 0 верных – «2»

Оценка: все верно – «5», верно 4 задания – «4», верно 3, 2 задания – «3», верно менее 2 – «2»

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

Оценка: Знаете –«5», не знаете – «2»

1. Решите уравнение. Выберите верный вариант ответа:

1) 0; 2) 0; 3; 3) 3; -3.

2. Решите уравнение:

1) 2; -1; 2) -2; 1; 3) -1.

3. Решите уравнение:

1) 2; -3; 2) 1; -2; 3) 1; 1,2.

4. Решите уравнение:

1) -2; 2; 2) 2; 1; 3) 2; -1.

5. Решите уравнение:

Ответ: __________________

Оценка: верно 5 заданий – «5», верно 4 задания – «4», верно 3, 2 задания – «3», менее 2 – «2»

V . Задача. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

VI . №27.2 из задачника «Алгебра 8», под редакцией А.Г. Мордковича, стр. 164.

Первый пешеход прошел 6 км, а второй пешеход 5 км. Скорость первого пешехода на 1 км/ч меньше, чем скорость второго. Найдите скорость первого пешехода, если известно, что он был в пути на 30 мин больше второго. Составьте математическую модель.

VII . Поезд опаздывал на 1 час, и чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию. Составьте математическую модель.

VIII . Из – за десятиминутной задержки поезда в пути ему пришлось на перегоне в 60 км увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. Составьте математическую модель.

IX . Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1ч 36 мин, вслед за ним выехал мотоциклист и прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость велосипедиста, если она меньше скорости мотоциклиста на 32 км/ч, расстояние между городами равно 45 км. Составьте математическую модель.