Рациональные уравнения огэ с решением

Рациональные уравнения огэ с решением

Решите уравнение

Используем свойство пропорции:

Решите уравнение

Используем свойство пропорции:

Решите уравнение: .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Используем свойство пропорции.

Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Умножим обе части уравнения на

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Планирование по математике на тему «Решение задач с помощью рациональных уравнений с элементами подготовки к ОГЭ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Решение задач с помощью рациональных уравнений с элементами подготовки к ГИА»

Образовательные: Обучение учащихся умению анализировать условие задачи и оформлять условие задачи в виде таблицы;

Обучение учащихся составлению рациональных уравнений по условию задачи;

Построение алгоритма решения задач с помощью рациональных уравнений.

Развивать алгоритмическое мышление;

Развивать способности к обобщению и рефлексии.

Продолжить воспитание интерактивных качеств личности, умения продуктивного общения в группах;

Продолжить формирования у школьников патриотических качеств.

Тип урока: Изучение нового материала.

Форма проведения урока: объяснительно-иллюстративная, поисковая.

Форма деятельности учащихся: коллективная, групповая, индивидуальная.

Оборудование : раздаточный материал (ГИА 9, типовые тестовые задания, авторы- И.В.Ященко, С.А.Шестаков и др., Москва «ЭКЗАМЕН» 2017г.), алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений, авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. 2013г.,М. Просвещение,2013г.

I . Организационный момент .

Здравствуйте ребята! Садитесь! Мне хочется привести строки Омара Хайяма, персидского философа, астронома, математика и поэта 12 в.

Цель творца и вершина творения – мы.

Мудрость, разум, источник прозрения – мы.

Этот круг мироздания перстню подобен-

В нём граненый алмаз, без сомнения, мы.

Сегодня, мы продолжим оттачивать грани своего разума и научимся решать задачи на составление рациональных уравнений.

II . Актуализация знаний ( фронтальный устный опрос)

1.Найти НОЗ дробей в каждом из уравнений:

а) x 4 x
—— + — = 2.
x — 2 x

б) y 1
—— – —— = 0
4 y – 7 7 – 4 y

в) 10x 4
——— + ——— = 1
x 2 – 25 (x + 5)

ответы: а) x ( x -2); б) 4 y – 7 или 7 – 4 y ; в) ( x – 5)( x + 5).

2) Какие условия должны выполняться, чтобы дроби в уравнениях не потеряли смысл?

3) Верно ли решены уравнения:

x 2 – 6 x + 8
а) ————— = 0 x = 2 и x = 4
x – 2

б) x 2 – 5 4 x
——— = ——— x = –1 ?
x – 1 x – 1

ответы: а) нет, корень x = 2 – посторонний; б) нет, есть ещё один корень x = 5.

III .Примеры задач из физики и математики, математическими моделями

которых, являются дробные уравнения

Ребята, мы научились решать рациональные уравнения. Каков алгоритм решения рациональных уравнений? (фрагмент презентации)

1) Найти НОЗ дробей;

2)Найти значения переменных, при которых рациональные дроби теряют смысл;

3)Умножить обе части уравнения на НОЗ;

4)Найти корни полученного целого уравнения;

5)Исключить посторонние корни.

Какие же задачи в физике и математике приводят к дробным уравнениям?

плотность вещества = ———- скорость = ————-

сторона прямоугольника = ——————— производительность = —————

другая сторона время

Задача 1. №619 стр.138 учебника

Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Составим и решим уравнение:

20 20 1
—— – —— = —
x x + 2 3

X ₁ = – 12 – не удовлетворяет условию задачи;

Ответ : 10 км/час скорость первого лыжника, а 12 км/час скорость второго лыжника.

Краткая беседа . Ребята, этот урок у нас проходит в преддверии ДНЯ ЗАЩИТНИКА ОТЕЧЕСТВА.

На территории нашего поселения, сегодня, проживают 24 воина — это и участники ВОВ, которые грудью защищали нашу Родину, проливали свою кровь, подарив нам жизнь и свободу, это и воины-интернационалисты, которые защищали интересы нашего государства за пределами России, поэтому мы должны помнить о их подвигах и в ДЕНЬ ЗАЩИТНИКА ОТЕЧЕСТВА отблагодарить их посильной помощью и поздравлениями.

Вам необходимо ко ДНЮ ЗАЩИТНИКА ОТЕЧЕСТВА на уроках труда изготовить 24 подарка. Если вы будете за урок делать на 2 подарка больше, чем было запланировано, то закончите работу на 1 урок раньше срока. Сколько подарков за урок вы должны сделать по плану?

Под контролем учителя учащиеся самостоятельно заполняют таблицу, составляют уравнение и решают его.

24 24
—— – —— = 1
x x + 2

X ₁ = –8 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 6 подарков.

Задача 3. №621 стр.139 учебника, самостоятельная работа в группах

Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Учащиеся самостоятельно чертят таблицу, заполняют её, составляют и решают уравнение

Уравнение: 720 720
—— – —— = 1
x x + 10

Ответ: скорость поезда по расписанию 80 км/ч.

V . Самостоятельная работа в группах

Используются КИМы для 9 класса, модуль «Алгебра» часть 2 (ГИА 9, типовые тестовые задания)

1 группа: вариант 1 №22

Два велосипедиста одновременно отправились в 108-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час 48 мин. раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

2 группа: вариант 2 №22

На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на один час меньше, чем второй рабочий на изготовление 18 таких же деталей. Известно, что второй рабочий за час делает на 1 деталь меньше, чем первый. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

3 группа: вариант 7 №22

На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 2 часа больше, чем второй на изготовление 36 деталей. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше?

4 группа : вариант 18 №22

Моторная лодка прошла против течения реки 60 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 45 минут меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Далее, после проверки самостоятельной работы, консультант каждой группы вместе с членами группы оценивают работу каждого члена группы за весь урок и выставляют оценку каждому в специальной карточке.

1. Составьте алгоритм решения задач с помощью рациональных уравнений.

1) Анализ данных задачи.

2) Вводим переменную и заполняем таблицу.

3) На основе табличных данных составляем рациональное уравнение.

4) решаем полученное уравнение.

5) Анализируем корни уравнения и исключаем посторонние корни.

6) Записываем ответ.

2. Отвечаем на вопросы:

4) Я продолжил подготовку к …

1) Все получают оценку за урок 2) На дом № 617,620,638 (на повторение) и для желающих- составить задачу, при решении которой используется рациональное уравнение.

Благодарю всех за работу на уроке!

Краткое описание документа:

Урок по алгебры в 8 классе по теме: «Решение задач с помощью рациональных уравнений с элементами подготовки к ГИА»

Цели урока:Обучение учащихся умению анализировать условие задачи и оформлять условие задачи в виде таблицы; обучение учащихся составлению рациональных уравнений по условию задачи; построение алгоритма решения задач с помощью рациональных уравнений; развивать алгоритмическое мышление; продолжить воспитание интерактивных качеств личности, умения продуктивного общения в группах.