Рациональные уравнения с примерами решения
Содержание:
Рациональные уравнения. Равносильные уравнения
два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.
Так, например, равносильными будут уравнения 
Уравнения 
— не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.
Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.
1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.
Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.
В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.
Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.
Применение условия равенства дроби нулю
Напомним, что 
когда 
Пример №202
Решите уравнение 
Решение:
С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду 
где 
и 
— целые рациональные выражения. Имеем:
Окончательно получим уравнение: 
Чтобы дробь 
равнялась нулю, нужно, чтобы числитель 
равнялся нулю, а знаменатель 
не равнялся нулю.
Тогда 
откуда 
При 
знаменатель 
Следовательно, 
— единственный корень уравнения.
Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:
Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:
1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду 
2) приравнять числитель 
к нулю и решить полученное целое уравнение;
3) исключить из его корней те, при которых знаменатель 
равен нулю, и записать ответ.
Использование основного свойства пропорции
Если 
то 
где 
Пример №203
Решите уравнение 
Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то 
Имеем: 
то есть ОДЗ переменной 
содержит все числа, кроме 1 и 2.
Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: 
получив пропорцию: 
По основному свойству пропорции имеем:
Решим это уравнение:
откуда 
Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.
Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:
Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:
1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;
2) привести уравнение к виду 
3) записать целое уравнение 
и решить его;
4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.
Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей
Пример №204
Решите уравнение 
Решение:
Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:
Областью допустимых значений переменной будут те значения 
при которых 
то есть все значения 
кроме чисел 
А простейшим общим знаменателем будет выражение 
Умножим обе части уравнения на это выражение:
Получим: 
а после упрощения: 
то есть 
откуда 
или 
Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.
Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.
Решая дробное рациональное уравнение, можно:
3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;
4) решить полученное целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.
Пример №205
Являются ли равносильными уравнения
Решение:
Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.
Первое уравнение имеет единственный корень 
а второе — два корня 
(решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Степень с целым показателем
Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:
где 
— натуральное число, 
В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: 
кг. Как понимать смысл записи 
Рассмотрим степени числа 3 с показателями 
— это соответственно 
В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: 
Число 
должно быть втрое меньше числа 
равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, 
Равенство 
справедливо для любого основания 
при условии, что 
Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть 
при 
Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа 
записано число 
Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно 
Следовательно, 
Рассуждая аналогично получаем: 
и т. д.
Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:
если 
натуральное число, то 
Отрицательная степень
О чем эта статья:
7 класс, 8 класс
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
Например, a n — степень, где:
- a — основание степени,
- n — показатель степени.
Читается такое выражение как a в степени n.
Если говорить проще, то степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 3 = 2 · 2 · 2, где:
- 2 — основание степени,
- 3 — показатель степени.
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Степень с отрицательным показателем
Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:
К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/4 2 , 2 в минус 3 степени — это 1/2 3 , 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 или 0,1.
Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10 -9 ). В школьной программе такие величины — редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.
Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 3 : a 6 =a 3 — 6 = a -3
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Действия с отрицательными степенями
Умножение отрицательных степеней
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, так же как и при умножении положительных степеней:
a m · a n = a m + n
Деление отрицательных степеней
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя, так же как и при делении положительных степеней:
Возведение дроби в отрицательную степень
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
Возведение произведения в отрицательную степень
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно: 
Рациональные уравнения с отрицательными степенями
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 86. Степень положительного числа с отрицательным дробным показателем
Подобно тому как в § 71 мы определили степень а — п числа а с отрицательным целым показателем — п, можно определить и степень 
положительного числа а с отрицательным дробным показателем — m /n.
Пусть а— произвольное положительное число, а т и п — натуральные числа. Тогда по определению
Степень положительного числа с отрицательным дробным, показателем равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, противоположным показателю данной степени.
Теперь мы знаем, что представляет собой степень положительного числа с любым рациональным показателем.
Степени с рациональными показателями обладают следующими основными свойствами:
Частично эти свойства были доказаны нами в предыдущих параграфах, но лишь для положительных показателей. Теперь же мы можем доказать их для произвольных рациональных показателей.
Докажем, например, свойство 1.
Для положительных показателей m /n и p /q доказательство было дано в предыдущем параграфе. Поэтому нам нужно рассмотреть следующие случаи:
1) оба показателя отрицательны;
2) один из показателей отрицательный, а другой — положительный;
3) хотя бы один из показателей равен нулю.
Пусть т, п, р и q — натуральные числа. Покажем, что
Действительно, по определению степени с отрицательным показателем
откуда и вытекает требуемое соотношение.
Мы рассмотрели случай, когда показатели каждой из двух степеней отрицательны. Теперь рассмотрим случай, когда один из них положителен, а другой отрицателен. Докажем, например, что
Здесь мы используем определение а 0 = 1. Таким образом,
Нам осталось рассмотреть случай, когда из двух степеней с одинаковыми основаниями хотя бы одна имеет нулевой показатель.. Докажем, например, что
Свойство 1 доказано.
Аналогично можно доказать и все остальные свойства. Заметим, что если в предыдущем параграфе мы могли говорить о свойстве 5 лишь при m /n > p /q, то теперь, используя определения степени положительного числа с нулевым и отрицательным дробным показателем, мы можем доказать его и для случая, когда m /n p /q
http://skysmart.ru/articles/mathematic/otricatelnaya-stepen
http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov86.htm