Рациональные уравнения с параметром 10 класс

Дробные рациональные уравнения с параметром

Примеры

Об уравнениях с параметром также см. §32 данного справочника.

Особенностью дробных рациональных уравнений с параметром являются дополнительные условия на переменные и параметры, чтобы знаменатель не превращался в 0.

Пример 1. При каких a уравнение

Проверяем условия $x \neq -1, x \neq 2$.

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq -1 \Rightarrow 14-a \neq 2-3a \Rightarrow 2a \neq -12 \Rightarrow a \neq -6 $$

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq 2 \Rightarrow 14-a \neq 6a-4 \Rightarrow 7a \neq 18 \Rightarrow a \neq \frac<18> <7>$$

Пример 2. Решите уравнение: $ \frac+ \frac = 1$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-x-a(a^2-1) = 0$

Дискриминант: $D = 1+4 \cdot a \cdot a(a^2-1) = 4a^4-4a^2+1 = (2a^2-1)^2$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $ax \neq 1$.

2) При D = 0 значение параметра $2a^2-1 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac<1> <2>\Rightarrow a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$

Один корень: $x_0 = \frac<1> <2a>= \pm \frac<1> <2>\sqrt <2>= \pm \frac<1><\sqrt<2>> = a$

3) Исследуем особые точки $a = \pm 1$.

При a = 1 уравнение имеет вид 0+1-x = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид 0-(-1-x) = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = 0 решений нет

При $a = \pm 1$ один корень x = 0

При $a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$ один корень x=a

При остальных a два корня $x_1 = \frac<1-a^2>, x_2 = a$

Пример 3. Решите уравнение: $ \frac = (a+1)^2$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-(a+1)^2 x+(a+1)^2 = 0$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $x \neq 1$:

$a+1 \neq 1 \Rightarrow a \neq 0$

2) При D = 0 параметр равен $a^2-1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1$

При a = 1 уравнение имеет вид: $\frac = 4 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow $

x = 2 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид: $-\frac = 0 \Rightarrow x = 0$ — один корень.

3) Особые точки a = 0 и a = -1(уже рассмотрели)

При a = 0 уравнение имеет вид: $0 \cdot \frac = 1 \Rightarrow x \in \varnothing$, решений нет.

При a = 0 решений нет

При a = -1 один корень x = 0

При a = 1 один корень x = 2

При остальных a два корня $x_1 = \frac, x_2 = a+1$

Пример 4. Решите уравнение: $ \frac<5a> — \frac<2a> + \frac<3a> = 8 $

1) Замена переменной:

Решаем квадратное уравнение:

2) Накладываем условия $z \neq 0, z \neq \pm a$ на полученные решения.

$$ z = \frac)> <2>\neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $$

$$ z = \frac)> <2>\neq \pm a \Rightarrow a(1 \pm \sqrt<5>) \neq \pm 2a \Rightarrow a \neq 0 $$

3) Особая точка a = 0.

При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.

4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a

При a = 0 корней нет

При $a \neq 0$ три корня $x_1 = -\frac<9> <4>a; x_ <2,3>= \frac-3)><2>$

Занятие №2. Тема: Решение дробных рациональных уравнений с параметром

Тема : Решение дробных рациональных уравнений с параметром .

Напоминаю, что решить уравнение с параметрами означает:

— исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

— найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения .

При решении дробных рациональных уравнений необходимо отметить ключевые моменты:

1) знаменатель не может быть равен нулю ;

2) затем решить как линейное уравнение;

3) из полученных значений исключить те, при которых знаменатель равен нулю.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

(к-1)х=к-2 –вид уравнения, удобный для исследования.

а) Пусть к 1, тогда х= .

б) Выясним, при каких значениях параметра к

х=-1, и исключим их. Для этого решим уравнение:

тогда к= 1,5.

в) Если к= 1, то 0х= — 1 решений нет.

Ответ :1) при к 1, к 1,5, уравнение имеет единственный корень х = ,

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. 1) ОДЗ: х ≠ — 1, х ≠ 3.

2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (х + 1)(х – 3), получим:

(х + а)(х – 3) + (а – 3х)(х + 1) = — 2(х + 1)(х – 3)

х2 – 3х + ах – 3а + ах + а – 3х2 – 3х = — 2х2 + 6х – 2х + 6

— 2х2 – 6х + 2ах – 2а = — 2х2 +4х + 6

-2х2 – 6х + 2ах + 2х2 – 4х = 6 + 2а

2ах – 10х = 6 + 2а

Разделим обе части уравнения на 2, получим:

Уравнение имеет единственный корень х = при условии: а – 5 ≠ 0, т. е. а ≠ 5.

Но пройдёт ли этот корень по ОДЗ? ОДЗ х ≠ — 1, х ≠ 3.

1) если х = — 1 , то

Значит, при а = 1 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

2) если х = 3 , то

Значит, при а = 9 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень при а ≠ 1, а ≠ 5, а ≠ 9.

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

Умножив обе части на получаем уравнение:

( a — b ) x =(а — b )(а + b ).

При уравнение принимает вид , то есть может принимать любые действительные числа кроме

При корень уравнения

Найдем теперь те значения параметров, при которых

Ответ : при уравнение имеет единственный корень

При a = b x — любое число, кроме

При уравнение не имеет корней

1. + = ;

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

В отчете нужно присылать только ответы на каждое задание. Номер задания следует обязательно указывать.

Литература:

«Уравнения и неравенства с параметром» . С.-Петербург. 2004.

Жду с нетерпением ваших ответов и желаю вам успешной работы над заданием !

Урок-презентация «Дробно-рациональные уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

13.11.13г. Дробно-рациональные уравнения с параметрами Ференчук Людмила Вячеславовна учитель математики МБОУ «СОШ №12 с УИОП» г. Старый Оскол

Устный счет: 1) Сколько корней имеет линейное уравнение ax=b, если a) a=0, b=0; b) a=0, b≠0; c) a≠0.

Устный счет: 2) Решите уравнения: а) ax=a-4; b) (a-1)x=(a-1)(a+3); c) (a-1)(a+3)x=a-1

Каким цветом изображены графики дробно-рациональных функций? Как вы это определили?

Решение линейных уравнений Решить уравнение: ax=2x+5. При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 не имеет решений? При каком значении параметра а уравнение (а2–4)х=а2+а–6 имеет бесконечно много решений?

Проверь себя при а=2 решений нет, при: а ≠2 2. Решений не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому 2а(a–2)=0, а , отсюда следует, что а=0 Ответ: а=0 3. Решив первое уравнение системы, получим а1,2= . Корни 2-го уравнения: а1=–3, а2=2. Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2 Ответ: а=2

Дробно-рациональные уравнения с параметрами Решить уравнение

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с параметрами Приводим к общему знаменателю. Переходим к равносильной системе уравнений. Исследуем получившееся линейное уравнение

Вариант 1 1. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Вариант 2 1. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? 2. Решите уравнение: 3.При каких значениях параметра решения нет 2. Решите уравнение: 3.При каких значениях параметра решения нет

Вариант 1 1. при b≠-3 уравнение имеет один корень (х=3) Вариант 2 1. при а≠-2 уравнение имеет один корень (х=2) 2. при b≠3 х=b при b=3 решения нет 3. при а=1 решения нет 2. при а≠2 х=а при а=2 решения нет 3. при а=0 решения нет

Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.

Краткое описание документа:

Разработка представляет собой урок-презентацию по алгебре 9 класса на тему «Дробно-рациональные уравнения с параметрами». Она может быть использована как в классах с углубленным изучением, так и в общеобразовательных классах. На слайдах представлена теоретическая часть материала с подробным объяснением алгоритма решения таких уравнений, а также примеры для закрепления. Кроме того на слайдах есть упражнения для устного счета и задания для самостоятельной работы с последующей проверкой. Также есть задания на повторение темы «Решение линейных уравнений с параметрами».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 570 116 материалов в базе

Другие материалы

• 15.05.2014
• 1055
• 0

• 15.05.2014
• 1173
• 0

• 15.05.2014
• 2545
• 2

• 15.05.2014
• 6486
• 74

• 15.05.2014
• 1442
• 4

• 15.05.2014
• 1838
• 7

• 15.05.2014
• 898
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.05.2014 4088
• PPTX 458 кбайт
• 60 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ференчук Людмила Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 63096
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.