Рациональные уравнения с параметром 8 класс объяснение

Дробные рациональные уравнения с параметром

Примеры

Об уравнениях с параметром также см. §32 данного справочника.

Особенностью дробных рациональных уравнений с параметром являются дополнительные условия на переменные и параметры, чтобы знаменатель не превращался в 0.

Пример 1. При каких a уравнение

Проверяем условия $x \neq -1, x \neq 2$.

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq -1 \Rightarrow 14-a \neq 2-3a \Rightarrow 2a \neq -12 \Rightarrow a \neq -6 $$

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq 2 \Rightarrow 14-a \neq 6a-4 \Rightarrow 7a \neq 18 \Rightarrow a \neq \frac<18> <7>$$

Пример 2. Решите уравнение: $ \frac+ \frac = 1$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-x-a(a^2-1) = 0$

Дискриминант: $D = 1+4 \cdot a \cdot a(a^2-1) = 4a^4-4a^2+1 = (2a^2-1)^2$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $ax \neq 1$.

2) При D = 0 значение параметра $2a^2-1 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac<1> <2>\Rightarrow a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$

Один корень: $x_0 = \frac<1> <2a>= \pm \frac<1> <2>\sqrt <2>= \pm \frac<1><\sqrt<2>> = a$

3) Исследуем особые точки $a = \pm 1$.

При a = 1 уравнение имеет вид 0+1-x = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид 0-(-1-x) = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = 0 решений нет

При $a = \pm 1$ один корень x = 0

При $a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$ один корень x=a

При остальных a два корня $x_1 = \frac<1-a^2>, x_2 = a$

Пример 3. Решите уравнение: $ \frac = (a+1)^2$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-(a+1)^2 x+(a+1)^2 = 0$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $x \neq 1$:

$a+1 \neq 1 \Rightarrow a \neq 0$

2) При D = 0 параметр равен $a^2-1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1$

При a = 1 уравнение имеет вид: $\frac = 4 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow $

x = 2 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид: $-\frac = 0 \Rightarrow x = 0$ — один корень.

3) Особые точки a = 0 и a = -1(уже рассмотрели)

При a = 0 уравнение имеет вид: $0 \cdot \frac = 1 \Rightarrow x \in \varnothing$, решений нет.

При a = 0 решений нет

При a = -1 один корень x = 0

При a = 1 один корень x = 2

При остальных a два корня $x_1 = \frac, x_2 = a+1$

Пример 4. Решите уравнение: $ \frac<5a> — \frac<2a> + \frac<3a> = 8 $

1) Замена переменной:

Решаем квадратное уравнение:

2) Накладываем условия $z \neq 0, z \neq \pm a$ на полученные решения.

$$ z = \frac)> <2>\neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $$

$$ z = \frac)> <2>\neq \pm a \Rightarrow a(1 \pm \sqrt<5>) \neq \pm 2a \Rightarrow a \neq 0 $$

3) Особая точка a = 0.

При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.

4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a

При a = 0 корней нет

При $a \neq 0$ три корня $x_1 = -\frac<9> <4>a; x_ <2,3>= \frac-3)><2>$

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели: изучить понятие «уравнения с параметром», сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

Место урока в рабочей программе:

Провести либо перед контрольной работой №6 «Дробно-рациональные уравнения», либо после нее.

Урок проводить в классе с хорошей математической подготовкой. Для учащихся, которые учатся на «3», можно подготовить индивидуальные задания, с целью исправления ошибок из контрольной работы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (Приложение 1, слайды 2-14).

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. (Приложение 2).

2) Из учебника № 703

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка (Приложение 1, слайды 15-16)

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

8. Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а≠0 называется… .

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение в зависимости от коэффициентов? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Определение. Уравнение вида f(а,в,с …,х) =0, переменные а,в,с … которые при решении уравнения являются постоянными называются параметрами, а само уравнение , уравнением с параметрами.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а.

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а.

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах со с. 141–143 учебника рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы:

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (Учащийся, который сам вызвался к доске).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = (a-2)(a 2 -9)/(a-2),

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

Если а ≠ 0, то D > 0 и

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

х₁ 2 + х₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

V. Физкультминутка (Приложение 3, Приложение 4, Приложение 1, слайд 20)

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

VII. Итог урока

1. Какие уравнения мы сегодня изучили?
2. Какое уравнение называются уравнением с параметром? (Слайд с определением). Приведите свои примеры.
3. Уравнения с параметрами встречаются в экзаменах 9 и 11 классов. (Можно предложить на дом задания из ГИА).

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Информационные ресурсы:

1. Алгебра, 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ ЛебединцкваЕ.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интелект-Центр, 2007.
3. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворовой (компакт-диск) – издательство «Учитель». 2011.
4. Интернет-ресурсы.

Занятие №2. Тема: Решение дробных рациональных уравнений с параметром

Тема : Решение дробных рациональных уравнений с параметром .

Напоминаю, что решить уравнение с параметрами означает:

— исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

— найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения .

При решении дробных рациональных уравнений необходимо отметить ключевые моменты:

1) знаменатель не может быть равен нулю ;

2) затем решить как линейное уравнение;

3) из полученных значений исключить те, при которых знаменатель равен нулю.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

(к-1)х=к-2 –вид уравнения, удобный для исследования.

а) Пусть к 1, тогда х= .

б) Выясним, при каких значениях параметра к

х=-1, и исключим их. Для этого решим уравнение:

тогда к= 1,5.

в) Если к= 1, то 0х= — 1 решений нет.

Ответ :1) при к 1, к 1,5, уравнение имеет единственный корень х = ,

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. 1) ОДЗ: х ≠ — 1, х ≠ 3.

2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (х + 1)(х – 3), получим:

(х + а)(х – 3) + (а – 3х)(х + 1) = — 2(х + 1)(х – 3)

х2 – 3х + ах – 3а + ах + а – 3х2 – 3х = — 2х2 + 6х – 2х + 6

— 2х2 – 6х + 2ах – 2а = — 2х2 +4х + 6

-2х2 – 6х + 2ах + 2х2 – 4х = 6 + 2а

2ах – 10х = 6 + 2а

Разделим обе части уравнения на 2, получим:

Уравнение имеет единственный корень х = при условии: а – 5 ≠ 0, т. е. а ≠ 5.

Но пройдёт ли этот корень по ОДЗ? ОДЗ х ≠ — 1, х ≠ 3.

1) если х = — 1 , то

Значит, при а = 1 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

2) если х = 3 , то

Значит, при а = 9 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень при а ≠ 1, а ≠ 5, а ≠ 9.

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

Умножив обе части на получаем уравнение:

( a — b ) x =(а — b )(а + b ).

При уравнение принимает вид , то есть может принимать любые действительные числа кроме

При корень уравнения

Найдем теперь те значения параметров, при которых

Ответ : при уравнение имеет единственный корень

При a = b x — любое число, кроме

При уравнение не имеет корней

1. + = ;

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

В отчете нужно присылать только ответы на каждое задание. Номер задания следует обязательно указывать.

Литература:

«Уравнения и неравенства с параметром» . С.-Петербург. 2004.

Жду с нетерпением ваших ответов и желаю вам успешной работы над заданием !