Равнопеременное прямолинейное движение
Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.
Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.
Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.
Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).
Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.
Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.
Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.
В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.
Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.
Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:
Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:
Проекция вектора скорости на ось ОХ:
это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).
Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:
Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:
Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:
Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.
Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).
Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.
Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.
График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что
При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).
Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:
Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:
В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).
Общая формула для определения проекции перемещения:
График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.
Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.
Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.
Скорость тела в данный момент времени t1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:
Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:
Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:
Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:
Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При аx
Прямолинейное равнопеременное движение
Прямолинейное равнопеременное движение — движение тела вдоль прямой, характеризующееся постоянным по модулю и направлению линейным ускорением.
Траектория такого движения — прямая, поэтому в задачах равнозначными являются понятия пути и модуля перемещения. Такое движение может быть описано несколькими соотношениями:
- вектор скорости тела при равнопеременном движении
- где
- — вектор конечной скорости движения
- — вектор начальной скорости движения
- — вектор ускорения
- — время движения
- вектор перемещения тела при равнопеременном движении
Однако это векторные уравнения, с которыми работать достаточно сложно, а иногда, просто не хочется. Попробуем, анализируя условия задачи, составить уравнения скалярного вида, спроецировав вектора на некую ось.
Рис. 1. Равноускоренное движение 1
Пример 1. Тело движется прямо с начальной скоростью и ускоряется. По задаче выставляем вектора на ось OX (движение прямолинейное) (рис. 1). Сказано, что тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси) и ускоряется (вектор также направлен вдоль оси). Осталось зафиксированные вектора спроецировать:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
В общем случае, мы не можем предугадать направления векторов и , соответственно, мы не можем указать точный знак проекции этих векторов на выбранную ось. Но не заморачиваемся: в результате решения задачи мы получим одно и то же по модулю число, даже если ошибёмся. Т.е. выбираем направления как хотим, а потом анализируем ответ.
Рис. 2. Равноускоренное движение-2
Пример 2. Тело движется в положительном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против оси OX (рис. 2). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Рис. 3. Равноускоренное движение-3
Пример 3. Тело движется в отрицательном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против движения, а значит, по оси OX (рис. 3). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Рис. 4. Равноускоренное движение-4
Пример 4. Тело движется в отрицательном направлении оси и ускоряется. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а ускорение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен в сторону движения, а значит, против оси OX (рис. 4). Проецируем:
- Для уравнения (1):
- Для уравнения (2):
Вывод: только что мы получили восемь различных формул, применимых для решения задач. Очень не хотелось бы их помнить. К счастью, есть выход: запомнить и понять векторный вид этих уравнений (1) и (2), а далее, применительно к данной вам задаче, просто адаптировать их, используя проекции.
Кроме формул (1) и (2), имеется ещё одна расчётная формула, которая чаще всего используется, когда в задаче на нужно найти время или его не дано. Воспользуемся уже имеющимися (1) и (2), считая движение тела равноускоренным. Выделим из (1) время:
Подставим (3) в (2) при условии :
Таким образом, мы получили формулу, в которой нет параметра времени.
Равнопеременное движение
Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.
Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.
Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;
Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.
Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.
При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.
Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».
Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.
Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.
Равноускоренное движение
Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.
Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.
Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).
Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.
В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.
Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.
Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:
\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]
Уравнение движения выглядит так:
\[ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.
Равнозамедленное движение
Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.
Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.
На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.
В начале и в конце пути скорости будут различаться.
Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.
Связь между скоростями выглядит так:
\[ v = v_ <0>— a \cdot t \]
А уравнение движения имеет такой вид:
\[ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac
Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_<0>\), получим:
\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac
Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.
Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси
Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).
А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.
Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».
Запишем связь между скоростями:
\[ v = — v_ <0>+ a \cdot t \]
Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:
\[ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac
Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:
\[ \large \boxed < \begin
Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.
Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.
Мгновенная скорость
Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.
Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:
\[ v = v_ <0>\pm a \cdot t \]
Знак ускорения зависит его направления.
Средняя скорость
Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.
Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.
Примечания:
- Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
- Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
- Если скорость изменяется, появляется ускорение.
Формула для расчета средней скорости:
\( S_<\text<весь>>(\text<м>) \) – полный путь, пройденный телом;
\( t_<\text<полное>> \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.
http://www.abitur.by/fizika/teoreticheskie-osnovy-fiziki/mexanicheskoe-dvizhenie/pryamolinejnoe-ravnoperemennoe-dvizhenie/
http://formulki.ru/mehanika/ravnoperemennoe-dvizhenie