Список вопросов базы знаний
Алгебра и начала анализа (11 класс)
- Страница:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
Решить неравенство методом введения новой переменной.
Введите номер правильного ответа: 1 х € (8;16); 2 x € (-∞;8]U[16;+∞); 3 x € (-∞;8)U(16;+∞)
Являются ли равносильными неравенства (да/нет)
Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
- Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
- Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) — ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).
Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)
Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .
Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
\(↑\) не подходит под ОДЗ
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида \(a^
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009
Страница № 166.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемoзина, 2009. — 264 с.: ил.
OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):
Г Уравнения u неравенства. f Системы уравнений Г и неравенств
Pi I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
§ 26. Равносильность уравнений
26.1. Равносильно ли уравнение 2 х = 256 уравнению:
a) log2 х = 3; в) Зх 2 — 24х = 0;
б) х 2 — 9л; + 8 = 0;
26.2. Равносильно ли уравнение sin* = 0 уравнению:
а) cos х = 1; в) cos 2х = 1;
б) tgx = 0; г) у/х — 1 sinx = 0?
26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:
а) у/2х — 1 = 3; в) lg х 2 = 4;
26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:
а) у/7х 4- 3 = х; в) sin (л — х) • ctg х = -0,5;
б) lo g2 (х-1) — io g2 х = 0; г) sin ^ — х ■ tg х = 0.
26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:
а) х 37 — 12х 2 + 1 = 0 и х 37 + = х 2
б) Ух 2 — 2х — 3 = 2 и х 2 — х -2 =332
26.6. Равносильны ли уравнения:
а) V2* 2 + 2 = -Jx 4 + 3 и 2х 2 + 2 = х 4 + 3;
б) %/sin 2 х + 1 = 1 и sin 2 * = О?
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемoзина, 2009. — 264 с.: ил.
http://cos-cos.ru/math/175/
http://vsesdali.com/urok/algebra/11/006/166.html