Алгебра и начала математического анализа, 11 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009

Страница № 166.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемoзина, 2009. — 264 с.: ил.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Г Уравнения u неравенства. f Системы уравнений Г и неравенств

Pi I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

§ 26. Равносильность уравнений

26.1. Равносильно ли уравнение 2 х = 256 уравнению:

a) log₂ х = 3; в) Зх 2 — 24х = 0;

б) х 2 — 9л; + 8 = 0;

26.2. Равносильно ли уравнение sin* = 0 уравнению:

а) cos х = 1; в) cos 2х = 1;

б) tgx = 0; г) у/х — 1 sinx = 0?

26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:

а) у/2х — 1 = 3; в) lg х 2 = 4;

26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:

а) у/7х 4- 3 = х; в) sin (л — х) • ctg х = -0,5;

б) lo g₂ (х-1) — io g₂ х = 0; г) sin ^ — х ■ tg х = 0.

26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:

а) х 37 — 12х 2 + 1 = 0 и х 37 + = х 2

б) Ух 2 — 2х — 3 = 2 и х 2 — х -2 =332

26.6. Равносильны ли уравнения:

а) V2* 2 + 2 = -Jx 4 + 3 и 2х 2 + 2 = х 4 + 3;

б) %/sin 2 х + 1 = 1 и sin 2 * = О?

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемoзина, 2009. — 264 с.: ил.

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

• Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
• Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) — ни одно из них не имеет корней.
• А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^=a^\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.

Равносильность уравнений

Презентация к уроку по теме «Равносильность уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений»

Определение 1. Два уравнения с одной переменной

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 — 4 = 0 и (х + 2)(2 x — 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

является в то же время корнем уравнения

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х — 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х — 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х — 2 = 3 является одним из корней уравнения (х — 2) 2 = 9. Значит, уравнение (х — 2) 2 = 9 — следствие уравнения х — 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). » width=»640″

Теоремы о равносильности уравнений

• «Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1 . Е сли какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х) » width=»640″

« Беспокойные теоремы » работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² — 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 — посторонний корень. Ответ: х = 2 » width=»640″

Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) — (2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²

9х ² — 416х + 796 = 0

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = 398/9 — посторонний корень.

Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением

ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g <х ) h <х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря корня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой

lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей