Равносильность уравнений и неравенств конспект

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Равносильность неравенств»

Разработка содержит конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Равносильность неравенств». Данный урок относится к уроку открытия новых знаний и изучения нового материала.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Равносильность неравенств»»

Название предмета: Алгебра и начала анализа

УМК: Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П.В.Семенов.- М. : Мнемозина, 2013.

Уровень обучения: профильный

Тема урока: «Равносильность неравенств»

Количество часов на изучение темы: 3

Место урока в системе уроков по теме: первый урок

Тип урока: урок изучения нового материала

— формировать навыки равносильных переходов при решении неравенств, их коррекция и

— создавать условия для закрепления, повторения и углубления знаний.

ввести понятие равносильности неравенств, рассмотреть теоремы равносильности,

рассмотреть примеры равносильных переходов при решении неравенств с одной переменной;

закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении неравенств с одной переменной;

способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

развитие логического мышления, познавательного интереса;

формирование математической речи, умения анализировать и сравнивать, делать выводы;

развитие навыков работы над проектами;

развитие приемов умственной деятельности, умения искать рациональный способ решения поставленной задачи;

повышение информационной культуры учащихся, интереса к предмету;

развитие потребности к самообразованию, умение вырабатывать собственную позицию (обосновывать свой решения, свой результат);

обучение эстетическому оформлению записи в тетради и на доске,

воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе;

обучение умению выступать перед аудиторией и выслушивать других;

повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;

воспитание уважения друг к другу, коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу.

— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; выстраивать аргументацию, приводить примеры и контр-примеры;

— креативность мышления, активность при решении математических задач;

— умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;

— формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики;

— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;

-умение понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

— умение видеть различные стратегии решения задач;

— умение определить значение идеи, методов и результатов алгебры для построения модели реальных процессов и ситуаций;

-усвоение учащимися решение неравенств с одной переменной, применяя теоремы о равносильности и используя решения ключевых задач.

-компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока, буклеты.

— индивидуальная, групповая, работа в парах.

— репродуктивный, дедуктивный, проблемно-поисковый.

Постановка цели и задач урока

Актуализация опорных знаний и их коррекция:

а) математический диктант, работа по карточкам;

б) повторение теоретических сведений по изучаемой теме, проверка домашнего задания.

4) Изучение и закрепление материала:

а) равносильность неравенств;

б) системы и совокупности неравенств.

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

6) Домашнее задание

1) Организационный момент

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)

2) Постановка цели и задач урока

Ребята, я предлагаю сегодня на уроке привести в систему знания и расширить представление о равносильности неравенств. Дьёрдь По́йа сказал: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Где есть желание, найдется путь!» А я уверена, что у вас есть желание узнать новое, анализировать, делать выводы, найти свой путь решения и расширить знания, которые вам понадобятся для успешной сдачи ЕГЭ. Учитель вместе с учащимися формулирует цели и задачи урока. Здесь мы сначала дадим определение равносильных неравенств и приведем примеры. Дальше перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств и докажем их. А в заключение выясним, почему при решении неравенств нужно использовать только равносильные преобразования.

3)Актуализация опорных знаний и их коррекция

а) Математический диктант, работа по карточкам

Математический диктант (слайд 2):

Запишите ответы к неравенствам (слайд 3):

По окончании проверка осуществляется в парах по ответу: (0; 5) (слайд 4)

Во время диктанта трое учащихся работают у доски по карточкам

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решите неравенство . В ответе укажите количество целых решений

1.Решите неравенство (3х+15) 2 2

2.Решите неравенство

б) Повторение теоретических сведений по изучаемой теме, проверка домашнего задания

— работа по домашнему заданию, проверка заданий учениками, вызвавших затруднения;

— вспоминают определение решения неравенства, частного и общего решения неравенства

(учащиеся приводят примеры решений).

Решением неравенства называется всякое действительное значение неизвестного, при котором неравенство справедливо. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым, т. е. существуют неравенства, которые не имеют решений.

Изучение и закрепление материала

а) Равносильность неравенств

Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства. Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства (далее учащиеся записывают определения в тетради).

Определение1. Два неравенства с одной переменной f(x)g(x) и p(x)h(x) называют равносильными, если их решения совпадают.

Определение2. Если общее решение неравенства f(x)g(x) содержится в общем решении неравенства p(x)h(x), то второе неравенство называют следствием первого (слайд 5).

Например (слайд 6):

х 2 9 –это неравенство — следствие неравенства 2х6.

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства. Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Итак, приступим (учащиеся записывают краткие формулировки теорем) .

Теорема1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному неравенству.

f(x)g(x) f(x) — g(x)0 (слайд 7)

Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием. К примеру, оно позволяет от неравенства 3×12+5х перейти к равносильному неравенству 3x – 5х12.

Теорема 2.Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному.

f(x)g(x) (f(x)) 2n-1 (g(x)) 2n-1

Пример: (слайд 8)

Теорема 3. Показательное неравенство а f ( x ) а g ( x ) равносильно:

а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1,

б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0

а f ( x ) а g ( x ) f(x)g(x), если а1 и а f ( x ) а g ( x ) f(x)g(x), если 0

Примеры: и (слайд 9)

Теорема4.а)Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, о получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному.

б) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному.

Если h(x)0 на ОДЗ неравенства f(x)g(x), то f(x)g(x)

Если h(x)f(x)g(x), то f(x)g(x)

Примеры: 2х4х2 и х(-х 2 -1) -х 2 -1х

Теорема5.Если обе части неравенства f(x)g(x) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень получится неравенство того же смысла (f(x)) 2 n (g(x)) 2 n , равносильное данному в его ОДЗ.

Если f(x)≥0 и g(x)≥0, то f(x)g(x)⇔ (f(x)) 2 n (g(x)) 2 n

Пример: х 2 ≥9⇔х≥3 при х≥0 (слайд11)

Теорема 6. Пусть Х – решение системы неравенств

Тогда логарифмическое неравенство равносильно на множестве Х:

а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1,

б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0

Пример:,

(слайд12)

Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является равносильным преобразованием неравенства.

Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент, касающийся замены на именно тождественно равное выражение

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств? (слайд 13)

1) x−2 и — . Решением первого является промежуток (−2, +∞), а второго – (-∞; -2) .

2) и хРешением первого является промежуток (0; 5), а второго – (-∞; 5)

Вывод: Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является сужение или расширение ОДЗ. Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов

Решим неравенство , применяя теоремы равносильности

Ответ: [1; 2] ) (слайд 14). (У доски решает один из учащихся)

б) Системы и совокупности неравенств

Определение3. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все одинаковые частные решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств называют решением системы неравенств.

Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему (неравенства записывают, объединяя вместе фигурной скобкой).

Пример: Решите систему неравенств. (Ответ: )) (слайд16)

Определение4. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств называют решением совокупности неравенств.

Решение системы неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность (неравенства записывают, объединяя вместе квадратной скобкой).

Пример: Решите совокупность неравенств. (Ответ: )) (слайд 17)

Работа по учебнику — №28.39(б) (У доски решает один из учащихся)

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

Понятно, что, кроме равносильных преобразований неравенств, есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

При обобщении изученного материала обучающие отвечают на вопросы:

Что нового было на уроке?

Больше всего затруднений вызвало…

Для меня непонятно было… (слайд18)

6) Домашнее задание

По учебнику решить — №28.1(б), 28.3(б,в), 28.10(б), 28.12(в), 28.41(б), 28.49 (а) (слайд 19)

Творческое задание для группы учащихся – привести примеры к каждому определению и теореме и сделать презентацию.

Список литературы и интернет ресурсов

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Часть 1.: учебник / А.Г.Мордкович, П.В. Семенов –2е изд. — М.: Мнемозина, 2011-2013.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Часть 2.: задачник / А.Г.Мордкович, П.В. Семенов –2-е изд. — М.: Ммнемозина, 2011 — 2013.

Алгебра и начала математического анализа. Контрольные работы.11 класс профильный уровень / В.И.Глизбург под редакцией А.Г.Мордковича.– М.: Мнемозина, 2009.

Алгебра и начала математического анализа. Самостоятельные работы (базовый и углубленный уровни).11 класс / Л.А.Александрова под редакцией А.Г.Мордковича.– М.: Мнемозина, 2015.

ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов. Тематическая рабочая тетрадь/ И.В. Ященко, С.А.Шестаков и др., под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, Экзамен, 2016

Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему «Равносильность уравнений и неравенств системам. Основные понятия» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: «Равносильность уравнений и неравенств системам. Основные понятия».

-организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;

— обеспечить закрепление новых понятий при решения уравнений и неравенств;

— развивать умение анализировать, сопоставлять, делать выводы, синтезировать полученные знания и умения;

— отрабатывать умение работать самостоятельно;

— готовиться к ЕГЭ.

II . Изучение нового материала.

Обучающиеся самостоятельно изучают п. 9.1. Фронтально отвечают на вопросы № 9.1, 9.2, 9.4.

III . Первичное закрепление.

“ Сегодня на уроке я научился…”
“Сегодня на уроке я познакомился…”
“Сегодня на уроке я повторил…”
“Сегодня на уроке я закрепил…”

VI . Домашнее задание. П. 9.1, № 9.3 (б), 9.5 (б), 9.6 (б); 95 (а), 96 (а) на стр.419 учебника.

, х = — 12

, х = 5

, х= — 22

, х = — 8

, х = — 11

, х = — 2

, х = 3

, х = — 4

, х = — 12

, х = 5

, х= — 22

, х = — 8

, х = — 11

, х = — 2

, х = 3

, х = — 4

, х = — 12

, х = 5

, х= — 22

, х = — 8

, х = — 11

, х = — 2

, х = 3

, х = — 4

, х = — 12

, х = 5

, х= — 22

, х = — 8

, х = — 11

, х = — 2

, х = 3

, х = — 4

Дайте определение логарифмического уравнения

Какими методами можно решать логарифмические уравнения?

Дайте определение логарифма.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 932 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Другие материалы

• 20.03.2019
• 266
• 3

• 11.03.2019
• 210
• 3

• 10.03.2019
• 798
• 7

• 05.03.2019
• 1076
• 7

• 02.03.2019
• 184
• 0

• 02.03.2019
• 431
• 7

• 02.03.2019
• 347
• 18

• 26.02.2019
• 1697
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.03.2019 2037
• DOCX 362 кбайт
• 176 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Рогожинару Надежда Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 10133
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.