Равносильность уравнений и неравенств с одной переменной

Уравнения и неравенства Равносильность уравнений и неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнения и неравенства

1. Равносильность уравнений и неравенств

Определение. Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение. Областью определения уравнения (или ОДЗ — областью допустимых значений) f(x) —g(x) называется множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выpaжeнияf(x2 и g(x).

Определение. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их решений. (В частности, уравнения, не имеющие корней равносильны.) При решении уравнений часто используют понятие равносильности уравнений на множестве: два уравнения называются равносильными на множестве А, если совпадают множества их корней, принадлежащих множеству А (или они оба не имеют корней на множестве А).

Определение. Уравнение равносильно совокупности уравнений (неравенств, систем) на множестве А, если множество всех корней уравнения, принадлежащих А, совпадает с множеством всех решений совокупности уравнений (неравенств, систем), принадлежащих множеству А.

В определении равносильности двух уравнений ничего не говорится об ОДЗ этих уравнений. Равносильные уравнения могут иметь различные области допустимых значений.

Например, уравнение x=1 равносильно уравнению — 1, так как число 1 является единственным корнем каждого из уравнений. ОДЗ первого уравнения — множество всех действительных чисел, а ОДЗ второго уравнения — множество неотрицательных действительных чисел.

В процессе решения используют следующие правила преобразования уравнения в равносильное ему:

— если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному;

— если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному;

— если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение h (х), которое имеет смысл всюду в области определения данного уравнения и нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение, равносильное данному.

/(х) = 0,

— 0 р авносильно системе g х) 0

Если функции f(x) и g(x) определены на всей числовой оси, то уравнение вида

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Лекция 27. Неравенства с одной переменной

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 — 5 — истинное числовое неравенство. А множест­во его решений — это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1)Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2)Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х — 5

а) -12 — 7х 4; д) 17-12·8;

2.Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) 3;

б) x x х 3 — (1 — 2х) является любое действительное число.

7.Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 — х) — 2 > 5 — 3х.

8.Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ.Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8.Решите графически неравенство х 2 — 4 > 3х.

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х 2 — 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 — 4 расположен выше графика функции у = 3х при х 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; +оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4;+ оо ).

Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х — 3 > 0; б) -Зх 2 — 2х — 6 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х₂ = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х х_г> т.е. при х 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = — 3х 2 — 2х — 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 — 2х — 6 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х 0; поэтому |х -1| = — (х — I), |2 — х | = 2 — х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 — х > 3 + х, т.е. х 3 + х,

х 2, то х — 1 >0 и 2 – х 2,

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение — множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а — b | означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

— значение числового выражения;

— выражение, не имеющее смысла;

— выражение с переменной (переменными);

— область определения выражения;

— тождественно равные выражения;

— тождественное преобразование выражения;

— уравнение с одной переменной;

— что значит решить уравнение;

— неравенство с одной переменной;

— что значит решить неравенство;

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств — необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.