Равносильные переходы в логарифмических уравнениях

Использование равносильных переходов и нестандартных приемов при решении иррациональных и логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

1. показать широкие возможности использования равносильных переходов при решении уравнений,
2. показать некоторые нестандартные приёмы при решении иррациональных уравнений.

Анализ решения уравнений при проведении ЕГЭ показывает, что с уравнениями обычно складывается странное положение. Эти задачи не считаются обычно трудными, и большинство решающих с ними, по их мнению, справляются. В то же время, многим не засчитываются эти решения из-за грубых ошибок.

Почему же так происходит?

Дело в том, что у многих, окончивших среднюю школу, имеется огромный разрыв между приобретёнными техническими, вычислительными навыками и сознательным пониманием тех теоретических и логических основ, без которых правильно решать уравнения невозможно.

Упростить уравнение с помощью безошибочно проведённых выкладок может большинство, но заметить, как и почему эти выкладки приводят к приобретению или потере решения может далеко не каждый, а очень многие об этом даже и не задумываются.

Или взять вопрос о проверке. Одни считают, что это прихоть учителей, которой нужно волей или неволей подчиняться. Другие проверяют всё подряд. Такие мнения основаны на непонимании того, что такое проверка и какое значение она должна занимать в решении.

Короче говоря, всякий должен владеть тем теоретическим минимумом, который необходим для решения уравнений.

Остановимся на этом минимуме! [1]

1. Прежде всего, что такое ОДЗ – область допустимых значений уравнения?

Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество значений неизвестного, при котором имеют смысл (определены) его левая и правая части.

Уравнение 1:

ОДЗ ,

ОДЗ .

При решении уравнения ОДЗ изменилась. Но это ли привело к появлению посторонних корней, мы узнаем позже.

Уравнение 2:

ОДЗ

ОДЗ

При решении уравнения ОДЗ изменилась. Но это ли привело к появлению посторонних корней, мы узнаем позже.

Прежде ответим на следующие вопросы.

2. Какое уравнение является следствием другого?.

Ответ: Если все корни первого уравнения, являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

3. Какие уравнения являются равносильными?

Ответ: Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

4. Какие преобразования приводят к нарушению равносильности?

Ответ: Посторонние корни могут получиться:

1. при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные,
2. при возведении в чётную степень,
3. использование различных логарифмических формул, в частности заменяя на , мы расширяем ОДЗ уравнения,
4. при взаимном уничтожении подобных членов, может произойти снятие ограничений, при которых уничтожаемые слагаемые должны иметь смысл, и тем самым может произойти расширение ОДЗ.

Все эти преобразования приводят к образованию новых корней, которые можно отбросить с помощью проверки или следить, чтобы равносильность не нарушалась.

Также равносильность может нарушиться в другую сторону, т.е. может произойти потеря корней, что потом восстановить будет невозможно. Это может быть в следующих случаях:

1. при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное,
2. обратная замена логарифма произведения на сумму логарифмов приводит к сужению ОДЗ, и поэтому недопустимо, при переходе к новому основанию логарифма,
3. введение универсальной тригонометрической подстановки.
4. Какие преобразования приводят к уравнению следствию?

Ответ: Все преобразования, которые ведут к расширению области корней, или оставляют её неизменной, приводят к уравнению следствию.

6. Одинаков ли будет ответ на эти два вопроса (4 и 5)?

Ответ: как видим ответы разные.

Равносильны ли уравнения? Объясните, какое преобразование было выполнено при переходе от первого уравнения ко второму и может ли оно привести к нарушению равносильности?

1. и ; (Да)
2. и ; (Да)
3. и ; (Нет)
4. и ; (Да)
5. и . (Нет)

Значит при переходе ко второму уравнению в случаях а), б), г) нужна оговорка (они равносильны в своей ОДЗ), а в случаях в) и д) нужно наложить условие (в случае «в»: , в случае «д»: ).

При каком условии равносильны уравнения:

1. и Ответ: при .
2. и Ответ: при .

Вернёмся к уравнениям:

Уравнение 1:

(I)

(II)

— посторонний корень.

Ответ: .

Вопрос: За счёт чего появился посторонний корень?

Ответ: Т.к. уравнение является уравнением следствием не только для уравнения , но и для постороннего уравнения . Таким образом при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут.

Уравнения (I) и (II) неравносильны, но они равносильны на области .

Заменим уравнение (I) на равносильную систему:

Рассмотрим Уравнение 2:

(III)

(IV)

— посторонний корень,

Ответ: .

Вопрос: За счёт чего появился посторонний корень?

Ответ: За счёт расширения ОДЗ.

Уравнения (III) и (IV) неравносильны, но они неравносильны в ОДЗ первого уравнения, то есть заменим (III) на равносильную систему:

Рассмотрим следующие уравнения:

Уравнение 3: [3]

Уравнение 4: [3]

Уравнение 5: [3]

Все эти уравнения имеют вид .

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное уравнение . Поэтому

[2]

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.

Применяя данный способ, решим каждое из этих уравнений.

Уравнение 3:

Ответ:

Уравнение 4:

Ответ:

Уравнение 5:

.

Ответ: корней нет.

Перейдём к логарифмическим уравнениям:

В тетрадях своих учащихся, я встретилась со следующими решениями логарифмических уравнений. Ребята были уверены, что решили всё правильно. Получив тетрадь разочаровывались, увидев оценку ниже, чем рассчитывали. Вам предстоит найти эти ошибки:

Пример 1:

(I)

(II)

Ответ: .

Пример 2:

(I)

(II)

Т.к. , то корней нет

Ответ: корней нет.

Ошибки состоят в следующем: в процессе решения в обоих случаях уравнение (I) заменено на уравнение (II), не являющееся его следствием. В этом случае имеется корень уравнения (I), не являющийся корнем уравнения (II). Поэтому произошла потеря корня. В примере 1 , В примере 2 .

В примере 1 корень был потерян при переходе к другому основанию логарифма. Перейдя к основанию, тем самым было исключено из ОДЗ число , которое является корнем исходного уравнения.

В примере 2, убрав показатель 4, нужно было перейти к равносильному уравнению вида

.

Подведём итог:

Таким образом, в процессе решения, каждое уравнение заменяется на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть новые корни. Проследить за изменением корней, не допустить потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.

Нестандартные приёмы при решении уравнений.

Кроме того, хочется сказать, что не всегда уравнения решают по алгоритму. Хотя внешний вид уравнений стандартен, но требует нестандартного подхода.

Уравнение 1: .

Решение «в лоб» даёт уравнение четвёртой степени, которое решить практически невозможно. Используем для решения метод оценки:

, , поэтому сумма.

Делаем вывод: корней нет.

Уравнение 2:

Решение: Данное уравнение можно решить стандартным способом, что приводит к «большим» числам в квадратном уравнении.

Однако, его можно решить проще: один корень легко находится подбором, это . Левая часть уравнения — сумма возрастающих функций есть функция возрастающая, т.е. монотонная на своей области определения, каждое своё значение принимающая при одном значении аргумента. Т.е. и значение 5 она принимает один раз при .

Ответ: .

Уравнение 3:

Решение: заметим, что сумма коэффициентов в каждом подкоренном выражении равна 0. Значит корень уравнения .

Возможно предположить, что ОДЗ состоит только из этого числа. Найдя ОДЗ, убеждаемся, что так оно и есть. Значит корень уравнения один .

Ответ: .

Уравнение 4:

Решение: т.к. левая часть является суммой двух неотрицательных слагаемых, то от уравнения перейдём к равносильной системе:

Ответ: .

Уравнение 5: [1]

Это уравнение можно переписать в виде

.

Итак, степени равны, основания равны. Чтобы не потерять корней, посмотрим, может ли основание быть равным 0 или 1. Так как выражение не имеет смысла, то число 0 не входит в ОДЗ, а потому не является корнем уравнения. Напротив, , очевидно, является корнем. Будем теперь искать корни, отличные от 0 и 1. Тогда, применяя указанное правило, получим , откуда находим второй корень уравнения .

Ответ: , .

Конечно, невозможно указать все методы решения «нестандартных» задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и – последнее по счету, но первое по важности – логику.

Вывод: Сегодня на уроке мы постарались охватить тот минимум теоретических знаний, который необходим для решения уравнений. Знание этого минимума позволяет нам решать уравнения не допуская ошибок.

Список литературы:

1. Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов «Пособие по математике для поступающих в вузы». Издательство «Наука» 1970.
2. С.И. Колесникова «Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена». Издательство «Айрис-пресс» 2006.
3. Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс Б) за курс средней школы. 11 класс». Издательство «Дрофа» 2006.

Методическая разработка «Методы решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Методы решения логарифмических уравнений.docx

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них

И это решение состоит из двух равноценных частей:

1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ),

2) решение самого уравнения.

Эти части решаются независимо друг от друга. Главное — в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить.

ОДЗ — это те значения х , которые разрешены для исходного примера . А как искать ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия . Таких запретных действий в математике очень мало. ( Нельзя делить на ноль, в корнях чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, выражение стоящее под логарифмом должно быть неотрицательным и основание логарифма а >0 и а ≠1.)

П ростейшие логарифмические уравнения

Умение решать простейшие логарифмические уравнения — это очень важно. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим! Собственно, простейшие уравнения — это финишная часть решения любых уравнений.

Уравнения вида log _а f(х) = log _а g(х)

Простейшее уравнение log _а f(х) = log _а g(х) решается методом потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
log _а f(х) = log _а g(х) f(х) = g(х) , при f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. т.е. если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то и равны логарифмируемые выражения. В виде равносильного перехода:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве

-В уравнении log ₃ х = 2log ₃ (3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет . Коэффициент.

— В примере log ₃ х+log ₃ (х+1) = log ₃ (3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два .

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: log _а (. ) = log _а (. )

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: способ 1 . В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения .

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: 7. ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ получится верное числовое неравенство, то он идет в Решение: способ 2 . Если это уравнение решим путем равносильных переходов , то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак

Уравнение х 2 — 5х – 14 = 0 имеет корни х ₁ = 7, х ₂ = -2. В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение. Решим методом равносильных переходов . Тогда уравнение равносильно системе

Корни уравнения -2 и 5. Только -2 ϵ ОДЗ . Ответ: -2

Итак уравнения такого вида решили 2-мя способами: 1) отдельно найдя ОДЗ и отдельно решив само уравнение; 2) используя равносильные переходы. Какой способ вам по душе?

Уравнение log _a f ( x ) = b — п ростейшее логарифмическое уравнение, где а и b — числа; а >0, a ≠1. Переменная х присутствует только внутри аргумента.

1 ) Применение определения логарифма

Решение уравнений применением определения логарифма

Решение уравнения
основано на применении определения логарифма и в решении равносильного уравнения

Для уравнений log _a f ( x ) = b записывать область определения не нужно ( f ( x ) >0 ) , потому что она будет выполняться автоматически . Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а , на выходе мы все равно получим положительное число, т.е. если а > 0, то a b > 0 всегда => f ( x ) = a b > 0.

Пример 1 . Решите уравнение log ₅ ( x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо. log ₅ ( x – 2) = 1  x – 2 = 5 1  x – 2 = 5  x = 7. Ответ: 7.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение: Три раза выполним переход: log _a f ( x ) = b f ( x ) = a b

2). Решение простейшего логарифмического уравнения log _a f ( x ) = b представлением числа в виде логарифма b = log _a a b (методом потенцирования).

Пример 3 . Решите уравнение:

Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 1>0 будет выполняться автоматически. Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число . Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3* log _0,5 0,5= log _0,5 0,5 −3 тогда уравнение примет вид: log _0,5 (3 x − 1) = log _0,5 0,5 −3

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Заметим что 0,5 -3 = (1/2) −3 = (2 -1 ) -3 = 2 3 = 8 и получим

Пример 4 . Решите уравнение

Решение: Это простое логарифмическое уравнение, поэтому можно не найти ОДЗ. Первый шаг- дробь справа представим в виде логарифма. Получим:

Учитывая, что 16 1/4 = (2 4 ) 1/4 = 2

избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: где надо будет учесть ОДЗ.

, решим равносильным переходом к системе:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Ответ: 9 .

Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов

Схема решения не простых логарифмических уравнений

1. Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:

2. Решить равносильное уравнение

f ( x ) = a b или f ( x ) = g ( x ) по их алгоритму .

Пример 1. Решите уравнение

Если lg ( x – 1) переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида log _а f(х) = log _а g(х).

Если неравенства неудобные, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы

Пример 2 . Решите уравнение

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то, прежде всего, следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода , и

Пример 3 . Решите уравнение

Решение. ОДЗ: х > 0. Сразу видно, что у логарифмов основания разные. Используя формулу придем к одинаковому основанию

Уравнения, решаемые введением новой переменной

Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной

Пример 1 . Решите уравнение

ОДЗ: x > 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:

Пример 2 . Решите уравнение

Оба корня удовлетворяют ОДЗ нашего уравнения.

Пример 3. Решите уравнение 4 log ₂₅ 5x + log 2 ₅ x – 5 = 0; ОДЗ: x > 0.

Тут 2 основания, выполним переход к основанию 5, используя формулу

2(log ₅ 5 + log ₅ x) + log 2 ₅ x – 5 = 0.

2(1 + log ₅ x) + log 2 ₅ x – 5 = 0.

Пусть log ₅ x = t, тогда 2(1 + t) + t 2 – 5 = 0;

t = – 3 или t = 1; Обратно переходим на обозначение log ₅ x = t:

x = 1/125. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ:

Пример 4. Решите уравнение Решение: Область допустимых значений:

Решать систему необходимости нет. Пусть log ₂ (5x – 1) = t, тогда

Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в аргументе.

Уравнение log _{f ( x )} g ( x ) = b похож е простейшему у равнению log _a f ( x ) = b Сходство: в обеих уравнениях в левой части log , в правой число b . Отличие в том, что в первой переменная х присутствует не только внутри аргумента, но и в основании логарифма .

Но мы должны учесть определенные требования. 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: 2) осн о вание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1

1 ) Применение определения логарифма

2 )Представление числа в виде логарифма

По определению логарифма х 2 – 5х + 10 = (х — 1) 2 х 2 – 5х + 10 = :х 2 – 2х + 1, -3х = -9 х = 3

Проверим принадлежность х = 3 ОДЗ: 3 2 – 5*3 + 10 > 0 верно, 3 – 1 > 0 верно 3 – 1 ≠ 1 верно

Пример 2 . Решите уравнение log _х+1 (2 x 2 +1)=2 Решение: Решим методом равносильных переходов. Заменяем 2 на так как 2=2*1=2* log _{х + 1} (х+1)= log _{х + 1} (х+1) 2 тогда получим: log _х+1 (2x 2 +1)= log _х+1 (x+1) 2

Наше уравнение содержит неизвестное и в основании и в аргументе. Поэтому 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0. 2) основание должно быть не только больше 0, но и ≠ 1 . В итоге получим систему:

Решим уравнение 2х 2 +1=(х+1) 2 , 2х 2 + 1 = х 2 + 2х + 1 х 2 — 2x = 0  x ( x — 2) = 0  x=2 или x=0. х=0 не соответствует системе. Ответ: 2.

Способ 2. ОДЗ: по определению логарифма получим : 2х 2 +1 = (х+1) 2 , 2х 2 +1 = х 2 + 2х + 1, х 2 – 2х = 0  x ( x – 2) = 0  x = 0, x = 2. Корень х = 0 не удовлетворяет третьему неравенству ОДЗ.

Показательно – логарифмические уравнения

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1. Решить уравнение : х 1 – lgx = 0.01. Решение: ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим уравнение:

Положив t = lg x , придем к уравнению t 2 – t – 2 = 0 , откуда t ₁ = -1, t ₂ = 2. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:

Оба найденных значения входят в ОДЗ. Ответ: 0,1; 100

Пример 2 . Решить уравнение 3 2log 4 x +2 =16 x 2 .

Решение . Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Функционально – графический метод .

В одной и той же системе координат строим графики функции у= log ₂ x и у = 3 – x

Ответ: 2.

Обычно графически метод применяется, если трудно найти других методов. Графически метод менее точный . Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».

Метод использования монотонности функции

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции y = f ( x ) возрастает, а другая y = g ( x ) убывает на промежутке Х, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

Пример 1. Решить уравнение: l og ₃ x = 4- x Решение: ОДЗ х > 0. Так как функция у= log ₃ х возрастающая, а функция у = 4-х убывающая на (0; + ∞ ), то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Подбором определяем х = 3. Ответ: 3 .

Пример 2 . Решите уравнение : log ₃ ( x + 1) + log ₄ (5 x + 6) = 3. ОДЗ: х > -1

Решение: у = log ₃ ( x + 1) – возрастающая функция, y = log ₃ ( x + 1) – тоже возрастающая. Сумма двух возрастающих функции дает возрастающую функцию. В правой части постоянная функция у = 3. Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором определяем х = 2. Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.