Равносильные переходы в показательных уравнениях

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Равносильные переходы в показательных уравнениях

1. Уравнение вида $$ \left| \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$

Решение:

• если a0 — решением уравнения $$ \left| \right| = a,\,\,\,\,a \in R $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \beginf(x) = a; \\ f(x) = — a. \\ \end \right.$$

2. Уравнение вида $$ \left| \right| = g(x) $$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$ \left| \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin \left\< \begin g(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end \right. \\ \left\< \begin g(x) \ge 0; \\ — f(x) = g(x). \\ \end \right. \\ \end \right.$$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$ \left| \right| = g(x) $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin \left\< \begin f(x) \ge 0; \\ f(x) = g(x), \\ \end \right. \\ \left\< \begin f(x) 3. Уравнение вида $$\left| \right| = \left| \right|$$

Решение:

1 случай. Решением уравнения $$\left| \right| = \left| \right|$$ будет решение равносильного уравнения $$ f^2 (x) = g^2 (x) $$

Решение:

2 случай. Решением уравнения $$\left| \right| = \left| \right|$$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin f(x) = g(x), \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right. $$

4. Уравнение вида $$ \left| \right| = — f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| \right| = — f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \le 0$$

5. Уравнение вида $$ \left| \right| = f(x)$$

Решение: Решением уравнения $$ \left| \right| = f(x)$$ будет решение равносильного неравенства $$ f(x) \ge 0 $$

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.710. Равносильные системы

Два неравенства являются равносильными, если множества их решений совпадают. При решении неравенств иногда приходится переходить от одного неравенства к другому, более простому. Рассмотрим несколько равносильных переходов: для решения иррациональных, показательных, логарифмических неравенств, неравенств с модулем, дробно-рациональных неравенств.

1. Равносильные переходы для решения иррациональных неравенств

Для избавления от радикалов в иррациональных неравенствах требуется умение возводить обе части неравенства в соответствующую степень. Однако нужно быть осторожными при возведении в четную степень, если хотя бы одна из частей неравенства отрицательная. Неосторожное возведение в квадрат неравенства может повлечь за собой приобретение или потерю решений.

Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных чисел, это непосредственно относится к возведению корня четной степени $ \sqrt[2n] $ в соответствующую четную степень, после чего $f(x)$ стоит уже не под корнем, а значит, лишено неявного ограничения $f(x)\geq 0$. Следовательно, это неявное ограничение мы должны учесть, однако, учитываем мы его для меньшего подкоренного выражения (т.к. для большего это ограничение выполнится автоматически).

$\sqrt[2n]\geq \sqrt[2n]\leftrightarrow \left\< \begin f(x)\geq g(x) \\ g(x)\geq 0. \end \right. $

Пример. Решите неравенство

Решение. Применим равносильный переход:

$\left\< \begin x^<2>-5x+6\geq 0 \\ (x-3)(x-1)\geq 0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin (x-2)(x-3)\geq 0 \\ (x-3)(x-1)\geq 0 \end \right. $

Видим, что решением системы является промежуток $x\in (-\infty ;1]\cup \lbrack 3;\infty )$

Ответ: $x\in (-\infty ;1]\cup \lbrack 3;\infty )$

Встречаются такие неравенства, в которых корень сравнивают с выражением. Тогда тоже пользуемся возведением в квадрат для избавления от иррациональности, однако, накладываем дополнительное ограничение – неотрицательность выражения, поскольку значение корня четной степени – число неотрицательное.

$\sqrt[2n] &lt g(x) \leftrightarrow \left\ < \begin f(x)&lt g^<2n>(x), \\ f(x)\geq 0, \\ g(x)>0. \end \right. $

$\sqrt[2n]\leq g(x)\leftrightarrow \left\< \begin f(x)\leq g^<2n>(x), \\ f(x)\geq 0, \\ g(x)\geq 0. \end \right. $

Пример. Решите неравенство

$\sqrt 0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x+5 -7 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x^<2>-15x+44>0 \\ x\geq -5 \\ x 0 \\ x\geq -5 \\ x g(x)\leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)>g^<2n>(x) \\ g(x)\geq 0, \end \right. \\ \left\< \begin f(x)\geq 0, \\ g(x) 7-x$

Воспользуемся равносильным переходом.

Пример. Решите неравенство $\sqrt[3]>\sqrt[3]<2x+1>$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$x 1$, тогда неравенство $a^\vee a^$ равносильно неравенству $f\vee g$.

В этом правиле последнее неравенство имеет тот же знак, что и первое, т.к. показательная функция с основанием $a>1$ возрастает.

Пример. Решите неравенство: $0,1^+4x> 0;$

Ответ $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$.

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$

Если неизвестная входит как в основание, так и в показатель степени, то заранее неизвестно, будет ли основание степени больше или меньше единицы, поэтому при решении неравенства нужно учитывать оба этих случая. Если неравенство строгое, то получаем следующий равносильный переход:

$(\phi (x))^ &gt (\phi (x))^\Leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)>g(x) \\ \phi (x) &gt 1 \end \right. \\ \left\< \begin f(x) &lt g(x) \\ 0 &lt \phi (x) (x+5)^<4>$

Используем следующий равносильный переход:

Если неравенство нестрогое, то нужно дополнительно рассмотреть случай – основание равно единице, т.к. тогда получается, что единица в любой степени равна единице, неравенство выполнится. Т.е. получаем следующий равносильный переход:

$(\phi (x))^\geq (\phi (x))^\Leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)>g(x) \\ \phi (x)>1 \end\right. \\ \left\< \begin f(x) &lt g(x) \\ 0 0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x\neq 0 \\ x>0 \end \right. $

Используем следующий равносильный переход:

$\left[ \begin \left\< \begin x^<2>\geq -(x^<2>-4) \\ \frac<4><9>x>1 \end \right. \\ \left\< \begin x^<2>\leq -(x^<2>-4) \\ 0 &lt \frac<4><9>x &lt 1 \end \right. \\ \frac<4><9>x=1 \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x^<2>+x^<2>-4\geq 0 \\ x>\frac<9> <4>\end \right. \\ \left\< \begin x^<2>+x^<2>-4\leq 0 \\ 0 &lt \frac<<>><9>x &lt \frac<9> <4>\end \right. \\ x=\frac<9> <4>\end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin 2x^<2>+4\geq 0 \\ x>\frac<9> <4>\end \right. \\ \left\< \begin 2x^<2>+4\leq 0 \\ 0 &lt x &lt \frac<9> <4>\end \right. \\ x=\frac<9> <4>\end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin 2(x^<2>+2)\geq 0 \\ x>\frac<9> <4>\end \right. \\ \left\< \begin 2(x^<2>+2)\leq 0 \\ 0 &lt x &lt \frac<9> <4>\end \right. \\ x=\frac<9> <4>\end \right. \leftrightarrow $

Таким образом, решение неравенства: $x\in \lbrack \frac<9><4>;\infty )$

Ответ $x\in \lbrack 2,25;\infty )$

3. Равносильные переходы для решения логарифмических неравенств

Метод решений простейших логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции, т.е. на правило отбрасывания логарифмов. Однако есть отличие от аналогичного правила отбрасывания оснований, которое объясняется тем, что при отбрасывании логарифмов расширяется ОДЗ неравенства. Значит, выражения, стоящие под логарифмами после отбрасывания последних могут стать отрицательными или равными нулю, следовательно, мы должны дополнительно учесть, что подлогарифмическое выражение положительно.

Если неизвестная входит как в основание, так и под знак логарифма, то заранее неизвестно, будет ли основание больше или меньше единицы, поэтому при решении неравенства нужно учитывать оба этих случая.

Воспользуемся равносильным переходом:

$\left[ \begin \left\< \begin 2-x>1+x \\ 2-x>0 \\ 1+x>0 \\ 1+x>1 \end \right. \\ \left\< \begin 2-x &lt 1+x \\ 2-x>0 \\ 1+x>0 \\ 0 &lt 1+x &lt 1 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin -x-x>1-2 \\ -x>-2 \\ x>-1 \\ x>0 \end \right. \\ \left\< \begin -x-x &lt 1-2 \\ <-x>-2> \\ -1> \\ -1 &lt x &lt 0 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin -2x>-1 \\ x &lt 2 \\ x>-1 \\ x>0 \end \right. \\ \left\< \begin -2x &lt -1 \\ x &lt 2 \\ x>-1 \\ <-1 &lt x &lt 0>\end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x &lt 0,5 \\ x &lt 2 \\ x>-1 \\ x>0 \end \right. \\ \left\< \begin x>0,5 \\ x &lt 2 \\ x>-1 \\ <-1 &lt x &lt 0>\end \right. \end \right. $

Решением первой системы является интервал (0;0,5)

При решении неравенств второй системы видим, что пересечений решений нет.

Таким образом, решением совокупности является интервал (0;0,5)

Пример. Решите неравенство

Воспользуемся равносильным переходом:

$\left[ \begin \left\< \begin x^<2>-2x-8\geq x^ <2>\\ x^<2>-2x-8>0 \\ x^<2>>0 \\ x>1 \end \right. \\ \left\< \begin x^<2>-2x-8\leq x^ <2>\\ x^<2>-2x-8>0 \\ x^<2>>0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x^<2>-2x-8-x^<2>\geq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end\right. \\ \left\< \begin x^<2>-2x-8-x^<2>\leq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin -2x-8\geq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end \right. \\ \left\< \begin -2x-8\leq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \end \right. $

$\left[ \begin \left\< \begin -2(x+4)\geq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end \right. \\ \left\< \begin -2(x+4)\leq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x+4\leq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end \right. \\ \left\< \begin x+4\geq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \end \right. $

$\left\< \begin x+4\leq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x\leq -4 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ x>1 \end \right. $

видим, что для указанной системы нет решений, т.к. и $x>1$

$\left\< \begin x+4\geq 0 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x\geq -4 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end \right. $

$\left\< \begin x\geq -4 \\ (x-4)(x+2)>0 \\ x\neq 0 \\ 0 &lt x &lt 1 \end\right. $

При нанесении решений каждого неравенства системы на числовую прямую видим, что пересечений решений нет. Значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4. Равносильные переходы для решения неравенств, содержащих знак модуля

Если модуль меньше функции, то избавляемся от модуля, но взамен получаем систему из двух неравенств. Учитываем случаи: если число под модулем положительно и если число под модулем отрицательно:

$\left\vert f(x)\right\vert &ltg(x) \leftrightarrow \left\< \begin f(x) &lt g(x) \\ f(x)>-g(x), \end \right. $

$\left\vert f(x)\right\vert \leq g(x)\leftrightarrow \left\< \begin f(x)\leq g(x) \\ f(x)\geq -g(x), \end \right. $

Этот метод работает всегда, даже если выражение $g(x)$ отрицательно. Убедимся в этом на примерах.

Пример. Решите неравенство: -5, \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x &lt 8 \\ x>-2 \end \right. $

Пример. Решите неравенство: $\left\vert x-3\right\vert &lt -5$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$\left\< \begin x-3 &lt -5 \\ x-3>-5 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x &lt -2 \\ x>8 \end\right. $

Ответ: решений нет

Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что метод работает всегда. Мы помним, что модуль числа по определению является величиной неотрицательной. В примере модуль меньше отрицательного числа, очевидно, что такое неравенство не имеет решений.

Пример. Решите неравенство

$\left\vert x+4\right\vert &lt 2x$

Воспользуемся равносильным переходом.

$\left\< \begin x+4 &lt 2x \\ x+4>-2x \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x+4-2x &lt 0 \\ x+4+2x>0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin -x+4 &lt 0 \\ 3x+4>0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x>4 \\ x>-\frac<4> <3>\end \right. $

Решением системы является луч (4;∞).

Ответ: $x\in (4;\infty )$

Пример. Решите неравенство

$\left\vert x+2\right\vert \leq 5x$

Воспользуемся равносильным переходом.

$\left\< \begin x+2\leq 5x \\ x+2\geq -5x \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x+2-5x\leq 0 \\ x+2+5x\geq 0 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin -4x\leq -2 \\ 6x\geq -2 \end \right. \leftrightarrow \left\< \begin x\geq 0,5 \\ x\geq -\frac<1> <3>\end \right. $

Решением системы является луч (0,5;∞).

Ответ: $x\in (0,5;\infty )$

Если модуль больше выражения, то здесь иной равносильный переход.

$\left\vert f(x)\right\vert >g(x)\leftrightarrow \left\< \begin f(x)>g(x) \\ f(x) &lt -g(x) \end \right. $

$\left\vert f(x)\right\vert \geq g(x)\leftrightarrow \left\< \begin f(x)\geq g(x) \\ f(x)\leq -g(x) \end \right. $

Другими словами, мы рассматриваем два случая: 1) сначала просто игнорируем модуль — решаем обычное неравенство; 2) затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак. При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.

Пример. Решите неравенство

$\left\vert x-7\right\vert >8x$

Воспользуемся равносильным переходом.

$\left[ \begin x-7>8x \\ x-7 &lt -8x \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin x-7-8x>0 \\ x-7+8x &lt 0 \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin -7x>7 \\ 9x &lt 7 \end\right. \leftrightarrow \left[ \begin x &lt 1 \\ x &lt \frac<7> <9>\end \right. $

Решением совокупности является луч (-∞;1).

Ответ: $x\in (-\infty ;1)$

Пример. Решите неравенство

$\left\vert 2x+8\right\vert \geq x-5$

Воспользуемся равносильным переходом.

$\left[ \begin 2x+8\geq x-5 \\ 2x+8\leq -(x-5) \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin 2x-x\geq -5-8 \\ 2x+x\leq 5-8 \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin 2x-x\geq -5-8 \\ 2x+x\leq 5-8 \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin x\geq -13 \\ 3x\leq -3 \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin x\geq -13 \\ x\leq -1 \end \right. $

Решением совокупности является луч все множество действительных значений

Ответ: $x\in (-\infty ;\infty )$

5. Метод расщепления неравенств

Ключевой момент в решении неравенства – преобразование его к виду, в котором левая часть представляет собой произведение каких-либо функций, а правая – равна нулю. Дробно-рациональные неравенства $\frac\vee 0$ можно привести к равносильной системе:

$\frac\geq 0\leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)\geq 0 \\ g(x)>0 \end \right. \\ \left\< \begin f(x)\leq 0 \\ g(x) &lt 0 \end \right. \end\right. $

$\frac\leq 0\leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)\leq 0 \\ g(x)>0 \end \right. \\ \left\< \begin f(x)\geq 0 \\ g(x) &lt 0 \end \right. \end \right. $

То есть иными словами, дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков.

Произведение двух множителей равносильно совокупности систем:

$f(x)\cdot g(x)\geq 0\leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \end \right. \\ \left\< \begin f(x) \leq 0 \\ g(x)\leq 0\end \right. \end \right. $

$f(x)\cdot g(x)\leq 0\leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin f(x)\leq 0 \\ g(x)\geq 0 \end \right. \\ \left\< \begin f(x)\geq 0 \\ g(x)\leq 0 \end \right. \end \right. $

То есть иными словами, произведение двух множителей положительно, когда оба множителя одного знака; произведение отрицательно, когда оба множителя разных знаков.

Пример. Решите неравенство $\frac\geq 0$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом.

$\left[ \begin \left\< \begin x-15\geq 0 \\ x-4>0 \end \right. \\ \left\< \begin x-15\leq 0 \\ x-4 &lt 0 \end \right. \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x\geq 15 \\ x>4 \end \right. \\ \left\< \begin x\leq 15 \\ x &lt 4 \end \right. \end \right. $

Решение первой системы – луч [15;∞)

Решение второй системы – открытый луч (-∞;4).

Значит, решением совокупности является объединение полученных решений, т.е. $x\in (-\infty ;4)\cup \lbrack 15;\infty )$

Ответ: $x\in (-\infty ;4)\cup \lbrack 15;\infty )$

Пример. Решите неравенство $\frac<2x-3>\leq 0$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом.

$\left[ \begin \left\< \begin 2x-3\leq 0 \\ x-1>0 \end \right. \\ \begin 2x-3\geq 0 \\ x-1 &lt 0 \end \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin 2x\leq 3 \\ x>1 \end \right. \\ \begin 2x\geq 3 \\ x &lt 1 \end \end \right. \leftrightarrow \left[ \begin \left\< \begin x\leq 1,5 \\ x>1 \end \right. \\ \begin x\geq 1,5 \\ x &lt 1 \end \end \right. $

Решение первой системы – полуинтервал (1;1,5]

Вторая система не имеет решений.

Значит, решением совокупности является $x\in (1;1,5]$