Равносильные уравнения 10 класс конспект урока алимов

Конспект урока по математике для 10-11 классов «Равносильность уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: «Равносильность уравнений».

Образовательная: ввести определение равносильности, следствия уравнения, записать теоремы равносильности.

Развивающая: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету, развивать умение выделять главное, логически излагать мысли .

Воспитательная: воспитывать коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности, сотрудничества, взаимопомощи , воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудования: учебники, блокноты, интерактивная доска, карточки с заданиями.

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

б) Работа в группах.

в) Самостоятельная работа.

Приветствие, проверка отсутствующих в группе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Сегодня мы с вами рассмотрим тему: «Равносильность уравнений». Узнаем, что такое равносильность уравнений, дадим определение «равносильности», запишем с вами определения и теоремы равносильности, порешаем примеры, в конце занятия напишем самостоятельную работу.

Давайте вместе с вами посмотрим на слайд и распознаем, какие из этих примеров являются уравнениями, какие неравенствами и системами.

а) Уравнение

б) Неравенство

в) Система

г) Неравенство

д) Уравнение

е) Система неравенства

Что вы понимаете под словом «уравнение»? И под словом «равносильность»?

Объяснение нового материала.

Изучая курс алгебры, мы постоянно решали уравнения и неравенства с одной переменной, системы уравнений с двумя переменными, системы неравенств с одной переменной. В сегодняшней теме мы снова обращаемся к уравнениям, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) =h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

№ 1663, № 1665(а, б), № 1667, № 1673 (а, б, в), № 1674 (а, г), № 1675(б, в)

б) Работа в группах.

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) sinx =5 б)

а) б) 3(х-2)=5х+9

Найдите корни уравнения:

а) б)

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) tgx=2 б)

а) б) 4(х+3)=2х-6

Найдите корни уравнения:

а) б)

Придумайте 2 уравнения, равносильных уравнению:

а) ctg x =9 б)

а) б) 5(х-3)+4х=6(х-8)

Найдите корни уравнения:

а) б)

в) Самостоятельная работа.

Сегодня мы с вами рассмотрели тему: «Равносильность уравнений». Узнали, что такое равносильность уравнений, дали определение «равносильности», записали с вами определения и теоремы равносильности, порешали примеры, в конце занятия написали самостоятельную работу, результаты которой сообщу на следующей паре.

1. Было ли интересно на уроке? 2. Все ли было на уроке понятно?

Читать § 55 по учебнику; решить уравнения № 1665(в), № 1674 (б), № 1675 (г) по задачнику .

методическая разработка. Открытый урок по теме «Равносильные уравнения»
методическая разработка по алгебре (10 класс)

методическая разработка состит из двух файлом

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГАОУ СПО Санкт- Петербургский Морской Технический Колледж имени адмирала Д.Н.Сенявина

Открытый урок по теме: «Равносильные уравнения».

Преподаватель: Скляренко Е.В.

Урок проводиться на 1 курсе

По специальности « Эксплуатация

судового энергетического оборудования»

Образовательная: выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

Развивающая: развитие самостоятельного мышления учащихся, развитие навыков правильной речи школьников.

Воспитательная : положительный интерес к изучению математики, самостоятельности, инициативности учащихся на уроке.

2. Актуализация знаний

3. Повторение изученного материала и постановка целей

4. Изучение нового материалы

6. Домашнее задание

Оборудование и материалы: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация к уроку.

Тип урока: изучение нового материала, систематизация знаний и умений учащихся.

Учитель приветствует учащихся. Отмечает отсутствующих.

Сообщает тему урока «Равносильные уравнения»

Приветствуют учителя. Садятся на места.

Записывают в тетрадь Слайд 1

1)Что называется уравнением?

2)Что такое корень уравнение?

3) Что значит решить уравнение?

4)Что называют ОДЗ уравнения?

1)Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции р

2)Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. равны значениям другой функции

3) Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет

4) Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения

Повторение изученного материала и постановка цели урока

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

6) .

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа они и числа и корнями исходного уравнения .

Можно сделать вывод: Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

Допустима ли потеря корней? Почему?

Как же избежать потери корней?

чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

1)

2)

3)

4)

6)

Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным

Числа , и являются корнями исходного уравнения, а — нет

Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни

Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней

знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было

Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было

Изучение нового материала

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний.

Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Запишем операции, которые сохраняют равносильность.

Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

Сравните множество корней уравнений и

при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения .

Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие.

Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)

б)

Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

В результате какого преобразования из получили ?

Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

В результате какого преобразования из получили ?

Что произошло с ОДЗ уравнения?

Запишем теорему подтверждающую наши выводы.

Теорема 1. ,

а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из предложенных уравнений равносильны?

Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?

Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?

Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?

Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или — уравнение-следствие для уравнения ?

Можно сделать вывод.

Теорема 2. , — определена

на ОДЗ уравнения

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?

Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.

Запишем теорему 3.

Теорема 3.

— определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.