Равносильные уравнения 10 класс конспект урока колягин

методическая разработка. Открытый урок по теме «Равносильные уравнения»
методическая разработка по алгебре (10 класс)

методическая разработка состит из двух файлом

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГАОУ СПО Санкт- Петербургский Морской Технический Колледж имени адмирала Д.Н.Сенявина

Открытый урок по теме: «Равносильные уравнения».

Преподаватель: Скляренко Е.В.

Урок проводиться на 1 курсе

По специальности « Эксплуатация

судового энергетического оборудования»

Образовательная: выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

Развивающая: развитие самостоятельного мышления учащихся, развитие навыков правильной речи школьников.

Воспитательная : положительный интерес к изучению математики, самостоятельности, инициативности учащихся на уроке.

2. Актуализация знаний

3. Повторение изученного материала и постановка целей

4. Изучение нового материалы

6. Домашнее задание

Оборудование и материалы: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация к уроку.

Тип урока: изучение нового материала, систематизация знаний и умений учащихся.

Учитель приветствует учащихся. Отмечает отсутствующих.

Сообщает тему урока «Равносильные уравнения»

Приветствуют учителя. Садятся на места.

Записывают в тетрадь Слайд 1

1)Что называется уравнением?

2)Что такое корень уравнение?

3) Что значит решить уравнение?

4)Что называют ОДЗ уравнения?

1)Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции р

2)Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. равны значениям другой функции

3) Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет

4) Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения

Повторение изученного материала и постановка цели урока

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

6) .

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа они и числа и корнями исходного уравнения .

Можно сделать вывод: Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

Допустима ли потеря корней? Почему?

Как же избежать потери корней?

чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

1)

2)

3)

4)

6)

Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным

Числа , и являются корнями исходного уравнения, а — нет

Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни

Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней

знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было

Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было

Изучение нового материала

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний.

Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Запишем операции, которые сохраняют равносильность.

Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

Сравните множество корней уравнений и

при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения .

Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие.

Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)

б)

Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

В результате какого преобразования из получили ?

Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

В результате какого преобразования из получили ?

Что произошло с ОДЗ уравнения?

Запишем теорему подтверждающую наши выводы.

Теорема 1. ,

а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из предложенных уравнений равносильны?

Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?

Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?

Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?

Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или — уравнение-следствие для уравнения ?

Можно сделать вывод.

Теорема 2. , — определена

на ОДЗ уравнения

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?

Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.

Запишем теорему 3.

Теорема 3.

— определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие» Методические комментарии

Главная > Документ

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие »

Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

— определение равносильных уравнений,

— формулировки основных теорем;

— из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

— применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

— какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

— что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

— что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

Тип урока. Школьная лекция (2 часа).

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

— мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

— решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

— подведение итогов урока,

— выдача домашнего задания.

I . Мотивационно-ориентировочная часть.

— Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

— Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).

— Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

— Найдите ОДЗ следующих уравнений.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

6) .

— На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

— Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа они и числа и корнями исходного уравнения .

(Числа , и являются корнями исходного уравнения, а — нет).

— Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней и приобретению постороннего корня .

— Как можно избавиться от посторонних корней?

— Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).

— Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

— Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

— Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

II . Операционно-познавательная часть.

— Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения — проставляет числа).

— Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

(Уравнения , ,, и ,).

— Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

…….

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).

— Менялись ли при этом их корни?

— На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

— Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

— Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?

(Корень уравнения является корнем уравнения ).

— То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).

Определение 2 . Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

— В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

— Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?

(Да, например, уравнение — следствие уравнения , а уравнение — следствие уравнения ).

— А какие это уравнения?

— Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

— Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?

(Да, уравнение — следствие уравнения ).

— Что происходит с корнями при переходе от к ?

(Потеряны два корня).

— В результате какого преобразования это произошло?

(Ошибка в применении тождества ).

— Применяя новое понятие уравнения-следствия, и используя символ «», процесс решения уравнения будет выглядеть так:

.

— Итак, полученная схема демонстрирует нам, что если осуществляются равносильные переходы , , то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: и . В первом случае уравнение — следствие уравнения , множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: , а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

— Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

(Да, и равносильны).

— В результате какого преобразования из получили ?

(Использовали тождество ).

— То есть выражение в одной части уравнения заменили тождественно равным ему выражением. Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

— Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

(Нет, уравнение — следствие уравнения ).

— В результате какого преобразования из получили ?

(Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением).

— Что произошло с ОДЗ уравнения?

— В результате расширения ОДЗ получили уравнение-следствие и посторонний корень для уравнения . Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б) сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

(Пусть в некотором уравнении , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения ).

— Это утверждение является теоремой о преобразованиях приводящих к равносильным уравнениям или уравнениям-следствиям.

Теорема 1. ,

а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется

— Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены три уравнения и их корни.

Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

— Какие из предложенных уравнений равносильны?

(Только уравнения и ).

— Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?

(К обеим частям уравнения в первом случае прибавили , во втором случае прибавили ).

— То есть в каждом случае прибавили некоторую функцию . Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

(Функция определена на ОДЗ уравнения ).

— Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?

(Получим уравнение равносильное ).

— Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?

(Она сузилась из-за функции ).

— Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или — уравнение-следствие для уравнения ?

(Нет, не то и ни другое).

— Рассмотрев два случая преобразования уравнения , которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.

(Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

— Действительно, это утверждение является теоремой.

Теорема 2. , — определена

на ОДЗ уравнения

Но утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении уравнений. Как оно звучит?

(К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число).

— Это свойство является частным случаем теоремы 2, когда .

Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

— Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

(Уравнения и ).

— В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?

(Обе части уравнения умножили на и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения умножили на ).

— Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

(Функция должна быть определена на всей ОДЗ уравнения ).

— Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

(Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля).

— Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.

(Функция не должна обращаться в ноль ни при одном из ОДЗ уравнения).

— Итак, запишем в символическом виде утверждение, которое позволяет от данного уравнения перейти к равносильному. (Учитель под диктовку учеников записывает теорему 3).

Теорема 3.

— определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ

— Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?

(Надо показать, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть следствие первого и первое уравнение является следствием второго).

— Докажем, что является следствием уравнения . Пусть — корень уравнения , что это значит?

(При подстановке в получим верное числовое равенство ).

— В точке функция определена и не обращается в ноль. Что это означает?

(Число . Поэтому числовое равенство можно помножить на . Получим верное числовое равенство ).

— Что это равенство означает?

( — корень уравнения . Этим показали, что уравнение — уравнение-следствие для уравнения ).

— Докажем, что — следствие уравнения . (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения, учитель записывает вторую часть доказательства на доске).

Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

— Равносильны ли уравнения и ?

— В результате какого преобразования из можно получить ?

(Возводим обе части уравнения в куб).

— От правой и левой частей уравнения можно взять функцию . На каком множестве определена функция ?

(На общей части множеств значений функций и ).

— Охарактеризуйте группу уравнений под буквой б)?

(Они не равносильны, является следствием , к уравнению применили функцию и перешли к уравнению , функция определена на общей части множеств значений функций и ).

— Чем же отличаются свойства функций в группе а) и б)?

(В первом случае функция монотонна, а во втором нет).

— Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся записывает теорему).

Теорема 4.

— определена на общей части множеств значений функций и

а) — монотонна

б) — не монотонна

Обсудим, как будет «работать» эта теорема при решении следующих уравнений.

Пример. Решить уравнение

1) ; 2) .

Какую функцию применим к обеим частям уравнения 1)?

(Возведем обе части уравнения в куб, т.е. применим функцию ).

— Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она монотонна).

— Значит, возведя обе части исходного уравнения в куб, какое уравнение получим?

— Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

— Какую функцию применим к обеим частям уравнения 2)?

(Возведем обе части уравнения в четвертую степень, т.е. применим функцию ).

— Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она не монотонна).

— Какое же уравнение, относительно исходного, мы получим, возведя данное уравнение в четвертую степень?

— Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Могут появиться посторонние корни. Значит, необходима проверка).

— Проведите решение этих уравнений дома.

III . Рефлексивно-оценочная часть.

— Мы сегодня вместе «открыли» четыре теоремы. Еще раз просмотрите их и скажите, о каких уравнениях в них говорится.

(О равносильных уравнениях и уравнении-следствии).

— Запишем тему урока. Вернемся к уравнению, которое рассматривали в начале сегодняшнего разговора. Какие из теорем 1-4 применялись при переходе от одного уравнения к другому? (Ученики вместе с учителем выясняют, какая теорема работала на каждом шаге, учитель на схеме отмечает номер теоремы).

.

T.2 Т.2 Т.1 Т.4 Т.2 Т.4

— Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятия равносильных уравнений, уравнения-следствия, теоремы о равносильности уравнений).

— Какую задачу мы поставили в начале урока?

(Выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере корней).

— Решили ли мы ее полностью?

— Поставленную задачу, мы решили частично, ее исследование продолжим на следующих уроках при решении новых видов уравнений.

— Используя новое для нас понятие равносильных уравнений, переформулируйте первую часть поставленной задачи «выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения».

(Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием).

— Что поможет ответить на этот вопрос?

(Теоремы о равносильности уравнений).

— А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению посторонних корней?

(Применяли, это возведение обеих частей уравнения в квадрат; использование формул, левая и правая части которых имеют смысл при разных значениях входящих в них букв).

— Существуют и другие «специфические» причины, которые приводят как к появлению, так и к потере корней уравнения, о некоторых из них мы говорили. Но есть и такие, которые, как правило, связаны с определенным классом уравнений, а об этом разговор у нас будет позже.

Запишем домашнее задание:

знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;

знать формулировки теорем 1-4;

провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются ли уравнения равносильными; решить уравнения ; .

Записи в тетрадях

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

Ответ: , . В группе а) использовали тождество , в группе б) заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением.

Вывод. Пусть в некотором уравнении , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения .

Теорема 1. ,

а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется

Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Ответ: . К обеим частям уравнения в первом случае прибавили , во втором случае прибавили .

Вывод. Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

Теорема 2. , — определена

на ОДЗ уравнения

Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Ответ: . Обе части уравнения умножили на , обе части уравнения умножили на .

Вывод. Если обе части уравнения умножить на функцию, определенную и не равную нулю на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3.

— определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ

Пусть — корень уравнения , тогда

,

,

,

— корень ;

Пусть — корень уравнения , тогда

,

,

,

— корень

Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

Ответ: , . От правой и левой частей уравнения взяли функцию , применили функцию .

Вывод. Пусть к обеим частям уравнения применили функцию, определенную на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях этого уравнения. Если эта функция монотонна, то получим уравнение, равносильное данному, если нет – то уравнение–следствие.

Теорема 4.

— определена на общей части множеств значений функций и

а) — монотонна

б) — не монотонна

Пример. Решить уравнение

1) ; 2) .