Равносильные уравнения рациональные уравнения 8 класс 41

Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. — презентация

Презентация была опубликована год назад пользователемАнастасия Ричкова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения.» — Транскрипт:

1 Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения.

2 Решим и рассмотрим уравнения. х 2 =4 | х |=2 х =2, х =-2 2 х =4 4 х -8=0 х =2 х =2 х 2 =-5 | х |=-3 нет корней 3 х =9 х 2 =9 х =3 х =3, х =-3 7 х =14 -7 х =14 х =2 х =-2 5 х -10=0 2 х +5=0 х =2 х =-2,5 Какие уравнения имеют одинаковые корни ?

3 Равносильные уравнения — Это уравнения которые имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней. х 2 =4 | х |=2 х =2, х =-2 2 х =4 4 х -8=0 х =2 х =2 х 2 =-5 | х |=-3 нет корней

4 Свойства уравнений 1)Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение равносильное данному. 2) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение равносильное данному. 3) Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же не равное нулю число, то получим уравнение равносильное данному.

5 Левая и правая части каждого равенства являются рациональными выражениями. Такие уравнения называются рациональными уравнениями. Целое рациональное уравнение Дробные рациональные уравнения

6 Решим целое уравнение Ответ : 1,5 6 Наименьший общий знаменатель

7 Решим целое уравнение 6 Решим дробное рациональное уравнение Если x= 3, то Если x= — 3, то Ответ : — 3 Ответ : 1,5

8 Решим дробное рациональное уравнение Если x= 3, то Если x= — 3, то Ответ : — 3 Алгоритм решения дробно — рационального уравнения : 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение ; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель ; 3) решить получившееся целое уравнение ; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

9 Алгоритм решения дробно — рационального уравнения : 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение ; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель ; 3) решить получившееся целое уравнение ; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения

Даны функции y=f(x) и y=k(x). Необходимо вычислить множество значений x, при которых значения функций f и k равны. То есть нужно решить уравнение f(x)=k(x).

Множество значений аргумента x, при которых обе части уравнения f(x)=k(x) имеют смысл, называют областью определения этого уравнения.

Следовательно, множество D(f)∩D(k) и есть область определения уравнения f(x)=k(x).

Для лучшего понимания приведем примеры:

• область определения линейного уравнения ax=b – множество всех чисел;
• область определения уравнения

• область определения уравнения

Выполнение x∈D(f)∩D(k) является необходимым условием для того, чтобы значение x было корнем уравнения f(x)=k(x). Для наглядности изобразим это утверждение на рисунке 1.

Рисунок 1 – Соотношение между областью определения уравнения и множеством его корней

Равносильные уравнения

У двух уравнений: |x|=2 и x 2 =4 два одинаковых корня: -2 и 2. Эти уравнения называют равносильными.

Если множества корней уравнений равны, то такие уравнения равносильны.

Для доказательства равносильности уравнений будет достаточным показать, что каждый корень одного уравнения является корнем другого уравнения, и наоборот.

Рассмотрим примеры равносильных уравнений:

• 3x–6=0 и 6x=12;
• ⅓x=0, 4x=0 и 3x=0;
• x 2 =9 и (x+3)(x–3)=0;
• (2x–7) 12 =0 и (2x–7) 120 =0.

Множества корней уравнений x 2 =-9 и |x|=-11 – пустые множества, следовательно, они равны. Тогда согласно определению эти уравнения равносильны.

Какие преобразования можно использовать, чтобы заменить исходное уравнение равносильным? Это нужно знать для решения уравнений.

Теорема 1. При сложении обеих частей уравнения с одним и тем же числом получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Возьмем два уравнения: f(x)=k(x) (1) и f(x)+a=k(x)+a (2), где a некоторое число. Надо доказать, что эти уравнения равносильные.

Допустим, что x₁ корень уравнения (1). Значит f(x₁)=k(x₁). Тогда верно и f(x₁)+a=k(x₁)+a. Следовательно, x₁ корень уравнения (2). Соответственно можно показать, что любой корень уравнения (1) – корень уравнения (2).

И наоборот, с помощью подобных утверждений можно доказать, что любой корень уравнения (2) – корень уравнения (1).

Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильные.

Теорема 2. При переносе какого-либо слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Теорема 3. При умножении обеих частей уравнения на одно и тоже отличное от нуля число получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Доказательства теорем 2 и 3 подобны доказательству теоремы 1.

Уравнение-следствие

Однако следует учитывать, что при сложении обеих частей уравнения с выражением, которое содержит переменную, полученное новое уравнение необязательно будет равносильно исходному.

сложим обе части с выражением

Тогда получим новое уравнение 2x 2 =98, которое не будет равносильным исходному.

Если множество корней уравнения f₂(x)=k₂(x) содержит множество корней уравнения f₁(x)=k₁(x), то уравнение f₂(x)=k₂(x) называют следствием уравнения f₁(x)=k₁(x).

Из предыдущего примера уравнение 2x 2 =98 – следствие уравнения

На рисунке 2 приведена иллюстрация определения уравнения-следствия.

Рисунок 2 – Соотношение между множествами корней уравнения-следствия и исходного уравнения

Корни уравнения-следствия, которые не являются корнями исходного уравнения, называют посторонними корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Уравнение (3x+9)(2x–8)=0 – это уравнение-следствие для уравнения x–4=0. У исходного уравнения один корень: x=4, а уравнение-следствие имеет 2 корня: x₁=-3, x₂=4. Здесь корень x=-3 является посторонним исходного уравнения x–4=0.

Согласно определению пустого множества, оно является подмножеством всех множеств. Тогда следствием уравнения, которое не имеет корней, является любое уравнение с той же переменной.

Пример. Уравнение 2x 2 =-98. Его следствием будет уравнение 8x 6 +x 3 +11=0. Все корни этого уравнения будут посторонними для исходного уравнения, которое не имеет корней.

Нужно отметить, что равносильные уравнения будут следствием по отношению друг к другу.

Таким образом, чтобы решить уравнение, нужно построить цепочку равносильных уравнений и получить уравнение, которое равносильно исходному, а его корни можно легко найти.

Но если при построении подобной цепочки будет нарушен принцип равносильности и получено уравнение-следствие, то все корни последнего надо проверять.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Для этого приравняем числитель к нулю и решим уравнение 2x 2 –18=0. Корнями будут числа 3 и -3. Но корень -3 не входит в область определения исходного уравнения. Второй корень 3 является единственным корнем исходного уравнения.

В процессе решения исходного уравнения был сделан переход к уравнению-следствию 2x 2 –18=0, найденные корни которого были проверены.

Вообще, в процессе решения уравнений надо определять, на каком шаге преобразований был нарушен принцип равносильности, и что явилось причиной этого.

В рассматриваемом примере при переходе от исходного уравнения к 2x 2 –18=0 была расширена область определения начального уравнения. Поэтому пропуск недопустимого значения x≠-3 привел к постороннему корню x=-3.

Однако расширение области определения исходного уравнения необязательно ведет к появлению посторонних корней. Возьмем уравнение

Переход от него к 2x 2 –18=0 не ведет к появлению пустых корней, несмотря на расширение области определения первоначального уравнения. Следовательно, этот переход будет равносильным.

Разобранные в примерах уравнения – это уравнения вида

По определению дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, чтобы решить уравнение такого вида надо решить уравнение f(x)=0 и проверить ограничение k(x)≠0. То есть множество корней такого уравнения равно пересечению множеств и или это уравнение равносильно системе

Число 2 будет решением этой системы. Исходное уравнение равносильно этой системе, поэтому без проверки, очевидно, что единственным корнем уравнения является число 2.

Рациональные уравнения

Рациональным называют уравнение, обе части которого рациональные выражения.

Все рациональные уравнения можно представить к виду

Разберем данное утверждение на конкретном примере.

Задание. Решить уравнение

Решение. Перенесем дробь из правой части уравнения в левую с противоположным знаком и сложим дроби:

Это уравнение равносильно системе

Единственным корнем уравнения будет x=-4/13.

Уравнения. Рациональные уравнения. Равносильные уравнения.

К равносильным относят такие уравнения, для которых присущи идентичные (одинаковые) корни (в случае кратных корней требуется, чтобы кратности соответствующих корней совпадали). Равносильными будут считаться и уравнения, у каждого из которых корни не существуют.

К примеру уравнения х 2 = 3х — 2 и x 2 +2 = 3x равносильны (решением обоих будут х=1 и х=2).

Равносильными будут преобразования.

— когда к обеим частям уравнения добавить (отнять) один и тот же многочлен;

— когда обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же не равное нулю число.

— когда в уравнении какой угодно параметр переместить из одной части в другую, поменяв его знак на противоположный.