Равносильные уравнения с 2 переменными

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида может выглядеть так: Фигурная скобка означает, что решение. должно удовлетворять каждому уравнению.

Содержание:

Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы

Пусть даны два уравнения с двумя переменными: f(x; у) = 0 и g(x; у) = 0. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Уравнения, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись

означает, что уравнения образуют систему.

Две системы уравнений называют равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными. При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной», но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами.

Теорема 5.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Следствие:

Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Так, равносильными будут следующие системы:

Теорема 6.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

равносильны: мы заменили уравнение х — Зу = 10 суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение Зх — 2у = 2 оставили неизменным.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

Метод подстановки заключается в следующем.

1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражен через х (или х через у).

2) Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3) Находят корни этого уравнения.

4) Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующие значения у (или х).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения находим х = Зу + 10. Подставим выражение Зу + 10 вместо х во второе уравнение системы. Получим откуда находим Соответствующие значения х найдем из уравнения х = 3у + 10. Если у = 0, то х = 10; если у = -4, то х = -2. Итак, система имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения

Метод сложения основан на теоремах 5 и 6 (см. п. 163). Суть его поясним на примерах.

Пример 1.

Решить систему уравнений

(1)

Решение:

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(2)

равносильную данной по теореме 5.

Сложим уравнения полученной системы. По теореме 6, система

(3)

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Из уравнения 11х = 55 находим х = 5. Подставив это значение в уравнение 2х + Зу = 7, находим У = -1.

Итак, (5; -1) — решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем у = х — 1; значит,

Если х = 0, то у = х — 1 = 0 — 1 = -1; если х = 1,5, то у = х — 1 = 1,5 — 1 = 0,5

Ответ: (0; -1) и (1,5; 0,5).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1.

Решение:

Положим , тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной z:

Таким образом, либо , т.е. , либо

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Из первой системы находим х = 2, у = 3, из второй х = 3, у = 2.

Ответ: (2; 3); (3; 2).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Положим

Тогда и система примет вид

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения через , получим . Подставим этот результат в первое уравнение системы (1):

Соответственно находим Итак, нашли два решения системы (1):

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример 1.

Решить графически систему линейных уравнений

Решение:

Построим прямую — график уравнения Зх + 2у = 5 — по двум точкам, например (1; 1) и (3; -2) (рис. 1.111).

Построим прямую — график уравнения 2х — у = 8 — по точкам (0; -8) и (4; 0) (рис. 1.111).

Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка М(3; -2). Значит, (3; -2) — решение заданной системы.

Пример 2.

Решить графически систему уравнений

Решение:

Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5 (см. «Геометрия», п. 107). Графиком уравнения ху = 12 является гипербола (см. п. 82). Построив графики в одной системе координат (рис. 1.112), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: А(4; 3), Б(3; 4), С(-4; -3), D (-3; -4). Значит, решения заданной системы таковы:

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными и все коэффициенты при переменных отличны от нуля:

Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая (см. п. 162). Если , то прямые пересекаются в одной точке; если , то прямые совпадают; если то прямые параллельны и не совпадают.

Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными

имеет единственное решение, если ,

имеет бесконечно много решений, если ,

не имеет решении, если

имеет одно решение, так как . Система

не имеет решений, поскольку Система

имеет бесконечно много решений, поскольку

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.

Теорема 7.

Если обе части уравнения ни при каких значениях (х; у) одновременно не обращаются в нуль, то системы

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение:

Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при у = 0. Если у = 0, то правая часть обращается в 0 при х = 0. Но при х = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим

8 = (х + у) — (х — у), т.е. у = 4.

Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим

(1)

Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150):

Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Ни при каких значениях (х; у) обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Из второго уравнения этой системы находим

Подставим найденное выражение у через х в первое уравнение системы. Получим и далее — Из уравнения находим, что если х = 5, то у = 3. Итак, (5; 3) — решение системы.

Системы показательных и логарифмических уравнений

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. пп. 151, 152) и обычные приемы решения систем уравнений (см. пп. 164—166, 169).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что

(см. п. 121). Тогда уравнение можно записать в виде и далее (см. п. 120), откуда Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

Задача свелась к решению следующей системы уравнений:

Подставим 15у + 4 вместо в первое уравнение:

(15у + 4)у = 256,

Если у = 4, то откуда находим Если то

т.е. — это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы нашли две пары значений переменных:

Так как заданная система содержит выражения то должны выполняться условия х > 0, у > 0. Поэтому пара исходной системе не

Ответ: (8; 4).

Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными

При решении систем тригонометрических уравнений используются обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Положим Тогда получим систему Из первого уравнения этой системы находим Подставив выражение вместо во второе уравнение системы, получим

Если

Если то

Итак, мы получили две пары решений

Так как то нам остается решить две системы уравнений:

Из уравнения sin х = 1 находим

Из уравнения находим

Значит, решения системы имеют вид

Из уравнения находим

Из уравнения cos у = 1 находим

Значит, решения системы имеют вид

Замечание:

При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра в записи решений первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в рассмотренном примере для этой цели использовалась буква .

Системы трех уравнений с тремя переменными

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными

Решением такой системы называют всякую тройку чисел, удовлетворяющую каждому уравнению системы.

Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х через у и z и подставим результат во второе и третье уравнения системы.

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки.

Из уравнения находим . Из уравнения у = z — 3 получаем соответственно а из уравнения х = 2 — у — z находим

Итак, получили два решения исходной системы: (3; -2; 1) и (-1; 0; 3).

Решение задач с помощью составления систем уравнений

3адача 1.

Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение:

Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, а у км/ч — скорость второго пешехода. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи 4,5 ч, тогда как второй — 2,5 ч. За 4,5 ч первый пройдет путь 4,5л: км, а за 2,5 ч второй пройдет путь 2,5у км. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т. е.

4,5х + 2,5у = 30 — первое уравнение.

Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи 5 ч, тогда как первый — 3 ч. Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:

В итоге получаем систему уравнений

откуда находим х = 5, у = 3.

Ответ: первый пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 км/ч.

Задача 2.

У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк старшего брата. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 руб., а младший — 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

Решение:

Пусть х руб. — сумма денег, которую положил в банк младший брат, тогда 2х руб. — сумма денег, которую положил в банк старший брат.

Пусть, далее, банк старшего брата дает у% годовых, тогда банк младшего брата дает (у + 5)% годовых.

Значит, через год на счету старшего брата будет руб., а на счету младшего брата будет руб.

В итоге приходим к системе уравнений

Решив эту систему, получим х = 2000, у = 15.

Осталось получить ответ на вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки? В этом случае младший брат положил бы свои 2000 руб. в банк под 15% годовых, а старший — 4000 руб. в банк под 20% годовых. Младший брат в конце года получил бы 2300 руб., а старший — 4800 руб. Всего у них стало бы 7100 руб.

Ответ: 7100 руб.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие равносильных уравнений.
Изучение равносильных систем уравнений.
Практическое применение равносильности систем уравнений.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Пример 4. Решите систему уравнений

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/ravnosilnye-uravnenija-preobrazovanie-uravnenij/

http://resh.edu.ru/subject/lesson/7272/conspect/