Равносильные уравнения уравнение следствие рациональные уравнения

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения

Даны функции y=f(x) и y=k(x). Необходимо вычислить множество значений x, при которых значения функций f и k равны. То есть нужно решить уравнение f(x)=k(x).

Множество значений аргумента x, при которых обе части уравнения f(x)=k(x) имеют смысл, называют областью определения этого уравнения.

Следовательно, множество D(f)∩D(k) и есть область определения уравнения f(x)=k(x).

Для лучшего понимания приведем примеры:

• область определения линейного уравнения ax=b – множество всех чисел;
• область определения уравнения

• область определения уравнения

Выполнение x∈D(f)∩D(k) является необходимым условием для того, чтобы значение x было корнем уравнения f(x)=k(x). Для наглядности изобразим это утверждение на рисунке 1.

Рисунок 1 – Соотношение между областью определения уравнения и множеством его корней

Равносильные уравнения

У двух уравнений: |x|=2 и x 2 =4 два одинаковых корня: -2 и 2. Эти уравнения называют равносильными.

Если множества корней уравнений равны, то такие уравнения равносильны.

Для доказательства равносильности уравнений будет достаточным показать, что каждый корень одного уравнения является корнем другого уравнения, и наоборот.

Рассмотрим примеры равносильных уравнений:

• 3x–6=0 и 6x=12;
• ⅓x=0, 4x=0 и 3x=0;
• x 2 =9 и (x+3)(x–3)=0;
• (2x–7) 12 =0 и (2x–7) 120 =0.

Множества корней уравнений x 2 =-9 и |x|=-11 – пустые множества, следовательно, они равны. Тогда согласно определению эти уравнения равносильны.

Какие преобразования можно использовать, чтобы заменить исходное уравнение равносильным? Это нужно знать для решения уравнений.

Теорема 1. При сложении обеих частей уравнения с одним и тем же числом получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Возьмем два уравнения: f(x)=k(x) (1) и f(x)+a=k(x)+a (2), где a некоторое число. Надо доказать, что эти уравнения равносильные.

Допустим, что x₁ корень уравнения (1). Значит f(x₁)=k(x₁). Тогда верно и f(x₁)+a=k(x₁)+a. Следовательно, x₁ корень уравнения (2). Соответственно можно показать, что любой корень уравнения (1) – корень уравнения (2).

И наоборот, с помощью подобных утверждений можно доказать, что любой корень уравнения (2) – корень уравнения (1).

Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильные.

Теорема 2. При переносе какого-либо слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Теорема 3. При умножении обеих частей уравнения на одно и тоже отличное от нуля число получаем новое уравнение, которое равносильно исходному.

Доказательства теорем 2 и 3 подобны доказательству теоремы 1.

Уравнение-следствие

Однако следует учитывать, что при сложении обеих частей уравнения с выражением, которое содержит переменную, полученное новое уравнение необязательно будет равносильно исходному.

сложим обе части с выражением

Тогда получим новое уравнение 2x 2 =98, которое не будет равносильным исходному.

Если множество корней уравнения f₂(x)=k₂(x) содержит множество корней уравнения f₁(x)=k₁(x), то уравнение f₂(x)=k₂(x) называют следствием уравнения f₁(x)=k₁(x).

Из предыдущего примера уравнение 2x 2 =98 – следствие уравнения

На рисунке 2 приведена иллюстрация определения уравнения-следствия.

Рисунок 2 – Соотношение между множествами корней уравнения-следствия и исходного уравнения

Корни уравнения-следствия, которые не являются корнями исходного уравнения, называют посторонними корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Уравнение (3x+9)(2x–8)=0 – это уравнение-следствие для уравнения x–4=0. У исходного уравнения один корень: x=4, а уравнение-следствие имеет 2 корня: x₁=-3, x₂=4. Здесь корень x=-3 является посторонним исходного уравнения x–4=0.

Согласно определению пустого множества, оно является подмножеством всех множеств. Тогда следствием уравнения, которое не имеет корней, является любое уравнение с той же переменной.

Пример. Уравнение 2x 2 =-98. Его следствием будет уравнение 8x 6 +x 3 +11=0. Все корни этого уравнения будут посторонними для исходного уравнения, которое не имеет корней.

Нужно отметить, что равносильные уравнения будут следствием по отношению друг к другу.

Таким образом, чтобы решить уравнение, нужно построить цепочку равносильных уравнений и получить уравнение, которое равносильно исходному, а его корни можно легко найти.

Но если при построении подобной цепочки будет нарушен принцип равносильности и получено уравнение-следствие, то все корни последнего надо проверять.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Для этого приравняем числитель к нулю и решим уравнение 2x 2 –18=0. Корнями будут числа 3 и -3. Но корень -3 не входит в область определения исходного уравнения. Второй корень 3 является единственным корнем исходного уравнения.

В процессе решения исходного уравнения был сделан переход к уравнению-следствию 2x 2 –18=0, найденные корни которого были проверены.

Вообще, в процессе решения уравнений надо определять, на каком шаге преобразований был нарушен принцип равносильности, и что явилось причиной этого.

В рассматриваемом примере при переходе от исходного уравнения к 2x 2 –18=0 была расширена область определения начального уравнения. Поэтому пропуск недопустимого значения x≠-3 привел к постороннему корню x=-3.

Однако расширение области определения исходного уравнения необязательно ведет к появлению посторонних корней. Возьмем уравнение

Переход от него к 2x 2 –18=0 не ведет к появлению пустых корней, несмотря на расширение области определения первоначального уравнения. Следовательно, этот переход будет равносильным.

Разобранные в примерах уравнения – это уравнения вида

По определению дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, чтобы решить уравнение такого вида надо решить уравнение f(x)=0 и проверить ограничение k(x)≠0. То есть множество корней такого уравнения равно пересечению множеств и или это уравнение равносильно системе

Число 2 будет решением этой системы. Исходное уравнение равносильно этой системе, поэтому без проверки, очевидно, что единственным корнем уравнения является число 2.

Рациональные уравнения

Рациональным называют уравнение, обе части которого рациональные выражения.

Все рациональные уравнения можно представить к виду

Разберем данное утверждение на конкретном примере.

Задание. Решить уравнение

Решение. Перенесем дробь из правой части уравнения в левую с противоположным знаком и сложим дроби:

Это уравнение равносильно системе

Единственным корнем уравнения будет x=-4/13.

Уравнения. Рациональные уравнения. Равносильные уравнения.

К равносильным относят такие уравнения, для которых присущи идентичные (одинаковые) корни (в случае кратных корней требуется, чтобы кратности соответствующих корней совпадали). Равносильными будут считаться и уравнения, у каждого из которых корни не существуют.

К примеру уравнения х 2 = 3х — 2 и x 2 +2 = 3x равносильны (решением обоих будут х=1 и х=2).

Равносильными будут преобразования.

— когда к обеим частям уравнения добавить (отнять) один и тот же многочлен;

— когда обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же не равное нулю число.

— когда в уравнении какой угодно параметр переместить из одной части в другую, поменяв его знак на противоположный.