Равновесие системы сходящихся сил уравнения равновесия

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Уравнения равновесия системы сходящихся сил

Сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Величина равнодействующей при этом равна нулю (R = 0).

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляю­щих сил на те же оси, т. е.

Модуль равнодействующей определится по формуле:

Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведенные в ква­драт. Поэтому R = 0 только при выполнении условий:

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Формулы Σх=0 (сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю), Σy=0 (сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравне­ния. Эти уравнения позволяют определить две неизвест­ные величины.

Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равнове­сия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсо­лютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми. Их решение возможно только при отказе от допущения об абсолютной твердости тел; помимо уравнений равновесия для решения их составляют дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении деформаций тел. Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

iSopromat.ru

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Условия равновесия системы сходящихся сил

Условия равновесия системы сходящихся сил

Всякая система сходящихся сил может быть заменена равнодействующей, равной ее главному вектору. Если система сходящихся сил находится в равновесии, то ее равнодействующая, а следовательно, и ее главный вектор должны равняться нулю.

Соответственно двум способам определения главного вектора условие равновесия системы сходящихся сил может быть выражено в двух формах.

1. Условие равновесия в геометрической форме. Геометрически главный вектор системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника. Для того чтобы он равнялся нулю, нужно, чтобы равнялась пулю замыкающая сторона силового многоугольника, т. е. конец последней силы в этом многоугольнике должен совпадать с началом первой силы. Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнутым.
2. Условия равновесия в аналитической форме. Модуль главного вектора пространственой системы сил определяется формулой (8):

Но если , то равно нулю и подкоренное выражение. Так как стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел всегда неотрицательны, то может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности:

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из любых трех взаимно перпендикулярных осей.

В случае плоской системы сил, если координатные оси и расположить в плоскости действия данных сил, третье уравнение равновесия обращается в тождество 0 = 0 при любых значениях сил, и потому для равновесия плоской системы сил достаточно выполнения лишь двух уравнений:

Для равновесия плоской системы сходящихся сил не-обходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из любых двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости действия данных сил.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института