Равнозамедленное движение уравнение для координаты и скорости

Равнозамедленное движение. Формула равнозамедленного движения. График равнозамедленного движения

Что такое равнозамедленное движение?

Равнозамедленное движение определение

Определение равнозамедленного движения:

Если укорение отрицательно, то модуль скорости равномерно уменьшается.

График скорости равнозамедленного движения

Пример графика скорости равнозамедленного движения, здесь начальная скорость равна 2 м/с, ускорение отрицательно и модуль его равен 0,3 м/с 2 :

(Этот график я построил с помощью построителя графиков. Выбрал в нём вид функции «Линейная: y = k * x + b» установил k = -0.3, b = 2 и нажал кнопку «Построить график».)

Чем больше отрицательное ускорение, тем быстрее будет падать скорость в нашем примере, т.е. если задать большее ускорение, то график круче пойдёт вниз.

Равнозамедленное движение формула

Формула скорости равнозамедленного движения (прямолинейного):

в этой формуле все величины являются скалярами, а не векторами.

Из формулы скорости равнозамедленного движения видно, что если увеличить ускорение, то быстрее будет падать скорость.

В момент времени t₁ скорость падает до нуля, а после этого момента скорость нарастает, тело движется равноускоренно, но с отрицательной скоростью.

Графики прямолинейного движения

Рассмотрим поступательное движение. Когда тело движется поступательно, его координаты изменяются.

Прямолинейное движение – это когда тело движется по прямой. Прямую, вдоль которой движется тело, назовем осью Ox.

Будем отдельно рассматривать:

• движение без ускорения (равномерное), и
• движение с ускорением (неравномерное).

1). Равномерное движение — скорость тела остается одной и той же (т. е. не изменяется). При таком движении ускорения нет: \(\vec =0\).

2). Неравномерное движение — скорость меняется и появляется ускорение.

Пусть ускорение есть и, оно не изменяется: \(\vec =const\). Такое неравномерное движение называют равнопеременным. Чтобы уточнить, увеличивается ли скорость, или уменьшается, вместо слова «равнопеременное» говорят:

• Равноускоренное движение — скорость тела увеличивается.
• Равнозамедленное движение — скорость уменьшается.

Примечание: Когда изменяется скорость, всегда появляется ускорение!

Движение будем изображать графически, используя две перпендикулярные оси.

На графиках будем откладывать:

• по горизонтали — время в секундах.
• по вертикали — координаты тела, или проекции скорости и ускорения.

Для каждого вида движения получим три графика. Графики будем называть так:

1. x(t) – зависимость координаты от времени;
2. v(t) – зависимость проекции скорости от времени;
3. a(t) – зависимость проекции ускорения от времени.

Прочитайте вначале, что такое проекция вектора на ось, это поможет лучше усвоить материал.

Тело покоится, его координата не меняется, а скорость и ускорение отсутствуют

Пусть тело покоится на оси Ox – (рис 1а).
Точкой \(x_<0>\) обозначена координата этого тела. Когда тело неподвижно, его координата не меняется. На графике неизменную координату обозначают горизонтальной линией, расположенной параллельно оси времени (рис. 1б).
\[x=x_<0>\]

Скорость и ускорение неподвижного тела равны нулю:

Из-за этого, графики скорости (рис. 1в) и ускорения (рис. 1г) – это горизонтальные линии, лежащие на оси t времени.

Скорость не меняется — движение равномерное

Разберём равномерное движение в направлении оси (рис. 2а).

Начальная координата тела – это точка \(x_<0>\), а конечная координата — точка \(x\) на оси Ox. В точку «x» тело переместится к конечному времени «t».

Красной стрелкой обозначено направление, в котором тело движется.

Примечание: Тело движется туда, куда направлен вектор его скорости.

Координата возрастает со временем, так как тело движется туда же, куда указывает ось. Поэтому график координаты от времени — это возрастающая прямая x(t) – рис. б).

Уравнение, описывающее изменение координаты выглядят так:

\[ x = x_ <0>+ v \cdot t \]

Скорость на графике рис. в) изображена горизонтальной прямой линией, потому, что скорость остается одной и той же (не изменяется). Уравнение скорости записывается так:

Ускорение рис. г) изображается прямой, лежащей на оси времени, так как ускорения нет. Математики посмотрят на такой график и скажут: «Ускорение равно нулю и не изменяется». Эту фразу они запишут формулой:

Равномерное движение в направлении противоположном оси

Пусть теперь тело движется с одной и той же скоростью в направлении, противоположном оси (рис. 3а).

Так как тело теперь движется против направления оси, то координата тела будет уменьшаться. График (рис 3б) координаты x(t) выглядит, как убывающая прямая линия.

Так как скорость не изменяется, то график v(t) – это горизонтальная прямая.

Тело движется против оси, его вектор скорости направлен противоположно оси Ox. Поэтому проекция скорости будет отрицательной (рис 3в) и на графике v(t) скорость — это горизонтальная прямая, лежащая ниже оси времени.

А график ускорения (рис 3г) лежит на оси времени, так как ускорение нулевое.

Равноускоренное движение в направлении оси, скорость увеличивается

Следующий набор графиков – это случай, когда тело движется вдоль оси Ox с возрастающей скоростью (рис. 4). То есть, мы рассматриваем равноускоренное движение.

Координата «x» теперь изменяется не по линейному, а по квадратичному закону. На графике квадратичное изменение выглядит, как ветвь параболы (рис. 4б). Тело движется по оси и скорость его растет. Такое движение описывается правой ветвью параболы, направленной вверх.

Уравнение, которое описывает квадратичное изменение координаты, выглядит так:

Скорость, так же, растет (рис. 4в). Рост скорости описан наклонной прямой линией – то есть, линейной зависимостью:

\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]

Ускорение есть (рис. 4г) и оно не меняется:

Скорость и ускорение сонаправлены с осью Ox, поэтому их проекции на ось положительны, а их графики лежат выше оси времени.

Примечания:

1). Координата «x» будет изменяться:

• по линейному закону, когда скорость не меняется — остается одной и той же.
• по квадратичному закону, когда скорость будет изменяться (расти, или убывать).

2). Линейный закон – это уравнение первой степени, на графике – наклонная прямая линия.

3). Квадратичный закон – это уравнение второй степени, на графике — парабола.

4). Когда скорость увеличивается, для графика координаты x(t) выбираем правую ветвь параболы, а когда скорость уменьшается – то левую ветвь.

Равноускоренное движение против оси

Если тело будет увеличивать свою скорость, двигаясь в направлении, противоположном оси (рис. 5а), то ветвь параболы, описывающая изменение координаты тела, будет направлена вниз (рис. 5б).

Скорость направлена против оси и увеличивается в отрицательную область. Такое изменение скорости изображаем прямой, направленной вниз (рис. 5в).

Примечание: Чтобы скорость увеличивалась (по модулю), нужно, чтобы векторы скорости и ускорения были сонаправленными (ссылка).

Так как скорость увеличивается, то векторы скорости и ускорения сонаправлены. Но при этом, они направлены против оси, поэтому проекции векторов \(\vec\) и \(\vec\) на ось Ox будут отрицательными. Значит, графики скорости и ускорения будут лежать ниже горизонтальной оси времени.

Ускорение (рис. 5г) не изменяется, поэтому изображается горизонтальной прямой. Но эта прямая будет лежать ниже горизонтальной оси времени, так как ускорение имеет отрицательную проекцию на ось Ox.

Скорость уменьшается — движение равнозамедленное

Когда скорость тела уменьшается с постоянным ускорением, движение называют равнозамедленным. Координата в этом случае изменяется по квадратичному закону. График координаты – это ветвь параболы. Когда скорость уменьшается, координату описываем с помощью левой ветви параболы, с вершиной вверху (рис. 6б).

Примечание: Чтобы скорость уменьшалась по модулю, нужно, чтобы векторы скорости и ускорения были направлены в противоположные стороны (ссылка).

Скорость уменьшается, при этом, скорость направлена по оси. Поэтому, график скорости – это убывающая прямая линия, лежащая выше оси времени (рис. 6в).

А ускорение есть, оно не изменяется и направлено против оси. Поэтому, ускорение отрицательное, его график – это горизонтальная прямая, лежащая ниже оси времени (рис. 6г).

Равнозамедленное движение против оси

Если тело будет двигаться против оси, замедляясь, то график координаты — это левая ветвь параболы, вершиной вниз (рис. 7б).

Скорость вначале была большой, но так как тело замедляется, она падает до нуля. Но тело двигается против оси Ox, поэтому график скорости лежит ниже оси времени (рис. 7в).

Скорость отрицательная. А чтобы она уменьшалась, нужно, чтобы ускорение было направлено противоположно скорости. Поэтому ускорение будет положительным. Значит, график ускорения будет лежать выше оси времени. Так как ускорение не меняется, то его график изображен горизонтальной прямой линией (рис. 7г).

Примечание: Можно вычислить перемещение тела по графику скорости v(t), не пользуясь для этого графиком функции x(t) для координат тела.

Выводы

1). Все, что лежит:

• выше оси t – положительное;
• ниже оси t – отрицательное;
• на горизонтальной оси t – равно нулю.

2). Когда ускорение, или скорость направлены против оси, они будут отрицательными, т. е. будут лежать ниже горизонтальной оси t. Если график ускорения лежит на горизонтальной оси, то ускорение отсутствует (т. е. равно нулю, нулевое).

3). Если скорость не меняется, ускорения нет.

• График x(t) координаты – это прямая линия.
• График v(t) скорости – горизонтальная прямая.
• График a(t) ускорения лежит на оси t.

4). Если скорость растет, ускорение и скорость направлены в одну и ту же сторону.

• График x(t) координаты – это правая ветвь параболы.
• График v(t) скорости – наклонная прямая.
• График a(t) ускорения – горизонтальная прямая.

5). Если скорость уменьшается, ускорение и скорость направлены в противоположные стороны.

• График x(t) координаты – это левая ветвь параболы.
• График v(t) скорости – наклонная прямая.
• График a(t) ускорения – горизонтальная прямая.

Формулы равномерного и равноускоренного движения

Равномерное движение (движение тела с постоянной скоростью)

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v₀ — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с 2
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v₀ — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Равнозамедленное движение — это движение тела, при котором модуль скорости равномерно уменьшается с течением времени, а вектор ускорения остается постоянным как по модулю, так и по направлению.

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a 2
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:


Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно: