Разделить почленно уравнения чтобы избавиться от одной переменной

Деление многочленов

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся их делить.

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на этот одночлен каждый член многочлена, затем сложить полученные частные.

Например, разделим многочлен 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy . Запишем это деление в виде дроби:

Теперь делим каждый член многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy. Получающиеся частные будем складывать:

Получили привычное для нас деление одночленов. Выполним это деление:

Таким образом, при делении многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy получается многочлен 15xy 2 + 10y + 5y 2 .

При делении одного числа на другое, частное должно быть таким, чтобы при его перемножении с делителем, получалось делимое. Это правило сохраняется и при делении многочлена на одночлен.

В нашем примере произведение полученного многочлена 15xy 2 + 10y + 5y 2 и делителя xy должно быть равно многочлену 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 , то есть исходному делимому. Проверим так ли это:

Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Мы помним, что для сложения дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Например, чтобы сложить дроби , и нужно записать следующее выражение:

Если мы вычислим выражение , то получим дробь , значение которой равно 1,5.

При этом выражение мы можем вернуть в исходное состояние , и вычислить по отдельности каждую дробь, затем сложить полученные частные. Результат по прежнему будет равен 1,5

Тоже самое происходит при делении многочлена на одночлен. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена. Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x , образуется три дроби с общим знаменателем x

Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c

Пример 2. Разделить многочлен 8m 3 n + 24m 2 n 2 на одночлен 8m 2 n

Пример 3. Разделить многочлен 4c 2 d − 12c 4 d 3 на одночлен −4c 2 d

Деление одночлена на многочлен

Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.

Допустим, мы захотели разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5 .

Результатом этого деления должен быть многочлен, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 даёт одночлен 2xy . Но не существует многочлена, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 давало бы в результате одночлен 2xy , поскольку перемножение многочленов даёт в результате многочлен, а не одночлен.

Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В исходных выражениях таких заданий бывает выполнено деление одночлена на многочлен. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.

Например, найдём значение выражения при x = 2 .

Выражение представляет собой деление одночлена на многочлен. В данном случае мы не сможем выполнить какие-либо преобразования. Единственное, что мы сможем сделать — это подставить число 2 в исходное выражение вместо переменной x и найти значение выражения:

Деление многочлена на многочлен

Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x + 5 на многочлен x + 3 , получается многочлен x 2 + 8x + 15

Если произведение разделить на множитель, то получится множимое. Это правило распространяется не только для чисел, но и для многочленов.

Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5 .

Деление многочлена на многочлен выполняется уголком. Отличие будет в том, что при делении многочленов не нужно определять первое неполное делимое, как в случае деления обычных чисел.

Выполним уголком деление многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 . Так мы поэтапно увидим, как получается многочлен x + 5 .

В данном случае результат нам известен заранее. Это будет многочлен x + 5 . Но чаще всего результат бывает неизвестным. Поэтому решение будем комментировать так, будто результат нам неизвестен.

Результатом деления должен быть новый многочлен. Члены этого многочлена будут появляться один за другим в процессе деления.

Сейчас наша задача найти первый член нового многочлена. Как это сделать?

Когда мы изначально перемножали многочлены x + 5 и x + 3 , мы сначала умножили первый член первого многочлена на первый член второго многочлена. Тем самым мы получили первый член третьего многочлена:

Если мы обратно разделим первый член третьего многочлена на первый член второго многочлена, то получим первый член первого многочлена. А это то, что нам нужно. Ведь мы должны прийти к многочлену x + 5 .

Этот же принцип нахождения первого члена будет выполняться и при решении других задач на деление многочленов.

Итак, чтобы найти первый член нового многочлена, нужно первый член делимого разделить на первый член делителя.

Если первый член делимого (в нашем случае это x 2 ) разделить на первый член делителя (это x), получится x. То есть первым членом нового многочлена является x. Записываем его под правым углом:

Теперь, как и при делении обычных чисел, умножаем x на делитель x + 3 . На этом этапе нужно суметь умножить одночлен на многочлен. При умножении x на x + 3 , получается x 2 + 3x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 + 8x+ 15 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого x 2 + 8x + 15 вычитаем x 2 + 3x . Подобные члены вычитаем из подобных им членов. Если из x 2 вычесть x 2 , получится 0 . Ноль не записываем. Далее если из 8x вычесть 3x , получится 5x . Записываем 5x так, чтобы этот член оказался под членами 3x и 8x

Теперь, как и при делении обычных чисел, сносим следующий член делимого. Следующий член это 15. Сносить его нужно вместе со своим знаком:

Теперь делим многочлен 5x + 15 на x + 3 . Для этого нужно найти второй член нового многочлена. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член 5x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если 5x разделить на x , получится 5. То есть вторым членом нового многочлена является 5. Записываем его под правым углом, вместе со своим знаком (член 5 в данном случае положителен)

Теперь умножаем 5 на делитель x + 3 . При умножении 5 на x + 3 , получается 5x + 15 . Записываем этот многочлен под делимым 5x + 15

Теперь из делимого 5x + 15 вычитаем 5x + 15 . Если из 5x + 15 вычесть 5x + 15 получится 0.

На этом деление завершено.

После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3 , должен получаться многочлен x 2 + 8x + 15

Пример 2. Разделить многочлен x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7

Записываем уголком данное деление:

Находим первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x . Записываем x под правым углом:

Умножаем x на x − 7 , получаем x 2 − 7x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 − 8x + 7 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Вычитаем из x 2 − 8x + 7 многочлен x 2 − 7x . При вычитании x 2 из x 2 получается 0 . Ноль не записываем. А при вычитании −7x из −8x получается −x , поскольку −8x − (−7x) = −8x + 7x = −x . Записываем −x под членами −7x и −8x . Далее сносим следующий член 7

Следует быть внимательным при вычитании отрицательных членов. Часто на этом этапе допускаются ошибки. Если на первых порах вычитание в столбик даётся тяжело, то можно использовать обычное вычитание многочленов в строку, которое мы изучили ранее. Для этого нужно отдельно выписать делимое и вычесть из него многочлен, который под ним располагается. Преимущество этого метода заключается в том, что следующие члены делимого сносить не нужно — они автоматически перейдут в новое делимое. Давайте воспользуемся этим методом:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим многочлен −x + 7 на x − 7 . Для этого нужно найти второй член частного. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член −x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если −x разделить на x , получится −1 . Записываем −1 под правым углом вместе со своим знаком:

Умножаем −1 на x − 7 , получаем −x + 7 . Записываем этот многочлен под делимым −x + 7

Теперь из −x + 7 вычитаем −x + 7 . Если из −x + 7 вычесть −x + 7 получится 0

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7 равно x − 1

Выполним проверку. Умножим частное x − 1 на делитель x − 7 . У нас должен получиться многочлен x 2 − 8x + 7

Пример 3. Разделить многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3

Найдём первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x 4

Умножаем x 4 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если x 4 умножить на x 2 + x 3 получится x 6 + x 7 . Члены этого многочлена записываем под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого вычитаем многочлен x 6 + x 7 . Вычитание x 6 из x 6 даст в результате 0. Вычитание x 7 из x 7 тоже даст в результате 0. Оставшиеся члены 2x 4 и 2x 5 снесём:

Получилось новое делимое 2x 4 + 2x 5 . Это же делимое можно было получить, выписав отдельно многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 и вычтя из него многочлен x 6 + x 7

Разделим многочлен 2x 4 + 2x 5 на делитель x 2 + x 3 . Как и раньше сначала делим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем этот член в частном:

Умножаем 2x 2 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если 2x 2 умножить на x 2 + x 3 получится 2x 4 + 2x 5 . Записываем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом. Затем выполним вычитание:

Вычитание многочлена 2x 4 + 2x 5 из многочлена 2x 4 + 2x 5 дало в результате 0, поэтому деление успешно завершилось.

В промежуточных вычислениях члены нового делимого располагались друг от друга, образуя большие расстояния. Это было по причине того, что при умножении частного на делитель, результаты были записаны так, чтобы подобные члены располагались друг под другом.

Эти расстояния между членами нового делимого образуются тогда, когда члены исходных многочленов расположены беспорядочно. Поэтому перед делением желательно упорядочить члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда решение примет более аккуратный и понятный вид.

Решим предыдущий пример, упорядочив члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Если члены многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 7 + x 6 + 2x 5 + 2x 4 . А если члены многочлена x 2 + x 3 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 3 + x 2

Тогда деление уголком многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 примет следующий вид:

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 равно x 4 + 2x 2

Выполним проверку. Умножим частное x 4 + 2x 2 на делитель x 2 + x 3 . У нас должен получиться многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5

При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней. Тогда члены полученного многочлена тоже будут упорядочены в порядке убывания степеней.

Перепишем умножение (x 4 + 2x 2 )(x 2 + x 3 ) упорядочив члены многочленов в порядке убывания степеней.

Пример 4. Разделить многочлен 17x 2 − 6x 4 + 5x 3 − 23x + 7 на многочлен 7 − 3x 2 − 2x

Упорядочим члены исходных многочленов в порядке убывания степеней и выполним уголком данное деление:

Пример 5. Разделить многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 4a 2 . Записываем 4a 2 в частном:

Умножим 4a 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 4a 4 − 12a 3 b − 36a 2 b 2

Теперь делим −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим −2ab . Записываем −2ab в частном:

Умножим −2ab на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4

Вычтем из многочлена −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 многочлен −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 18ab 3 . При вычитании подобных членов обнаруживаем, что члены −54b 4 и 18ab 3 не являются подобными, а значит их вычитание не даст никакого преобразования. В этом случае выполняем вычитание там где это можно, а именно вычтем −2a 3 b из −2a 3 b и 6a 2 b 2 из 12a 2 b 2 , а вычитание 18ab 3 из −54b 4 запишем в виде разности −54b 4 − (+18ab 3 ) или −54b 4 − 18ab 3

Этот же результат можно получить, если выполнить вычитание многочленов в строку с помощью скобок:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Делим первый член делимого на первый член делителя, получим 6b 2 . Записываем 6b 2 в частном:

Умножим 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2 равно 4a 2 − 2ab + 6b 2 .

Выполним проверку. Умножим частное 4a 2 − 2ab + 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . У нас должен получиться многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4

Деление многочлена на многочлен с остатком

Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.

Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:

То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:

Рациональное число читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.

Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c , да еще останется остаток q , то ответ будет записан так:

Например, разделим многочлен 2x 3 − x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем 2x 2 в частном:

Умножим 2x 2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 2x 3 − 6x 2

Теперь делим 5x 2 − 5x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x . Записываем 5x в частном:

Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5x 2 − 5x + 4

Вычтем из многочлена 5x 2 − 5x + 4 многочлен 5x 2 − 15x

Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10 . Записываем 10 в частном:

Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4

Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4 , является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34 .

Поэтому при делении многочлена 2x 3 − 2x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2x 2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:

Когда деление многочленов невозможно

Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.

Например, нельзя разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.

Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , и даже получить частное x − 1 , которое при перемножении с делителем будет давать делимое:

Но при делении многочлена на многочлен должен получаться именно многочлен, а частное x − 1 многочленом не является. Ведь многочлен состоит из одночленов, а одночлен в свою очередь это произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x − 1 это дробь , которая не является произведением.

Пусть имеется прямоугольник со сторонами 4 и 2

Площадь этого прямоугольника будет равна 4 × 2 = 8 кв.ед.

Увеличим длину и ширину этого прямоугольника на x

Достроим отсутствующие стороны:

Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2 . Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражаться многочленом x 2 + 6x + 8

При этом мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x 2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4 .

Степень многочлена x 2 + 6x + 8 равна сумме степеней многочленов-сомножителей x + 4 и x + 2 , а значит ни одна из степеней многочленов-сомножителей не может превосходить степень многочлена-произведения. Следовательно, чтобы обратное деление было возможным, степень делителя должна быть меньше степени делимого.

10. Многочлены от одной переменной и действия над ними.

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ТОЖДЕСТВЕННОЕ РАВЕНСТВО

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной пе­ременной, например от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в на­туральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел запи­сать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандарт­ном виде), то получим выражение вида ах n , где а — некоторое число. Поэто­му одночлен от одной переменной х — это выражение вида ах п , где а — не­которое число, п — целое неотрицательное число. Если а 0, то показатель степени п переменной х называется степенью одночлена. Например, 25х 6 —одночлен шестой степени, — х 2 /3— одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (по­скольку 0 = 0 • х = 0 • х 2 = 0 • х 3 . ).

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одно­членов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

Если а_n 0, то этот многочлен называют многочленом п-й степени от переменной х. При этом член а_nх п называют старшим членом многочлена f (х), число а_n — коэффициентом при старшем члене, а член а₀ — свобод­ным членом. Например, 5х 3 — 2х + 1 — многочлен третьей степени, у кото­рого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) запи­сывают так:

Т е о р е м а 1. Одночлены ах n , где а ≠ 0, и bx m , где b ≠ 0, тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и п = т.д.

Одночлен ах n тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

aх n = bх n (2)

выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тожде­ственно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что a = b. Сокращая обе части равенства (2) на a (где a ≠ 0 по условию), получаем x n =x m . При х = 2 из этого равенства имеем: 2 n = 2 m . Поскольку 2 n = 2• 2•. • 2 (n раз),

а 2 m = 2 • 2 •. • 2 (m раз), то равенство 2 n = 2 m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства ax n = bx m (a 0, b 0) по­лучаем, что a = b и n = m.

Если известно, что ax n = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен ax п тождественно равен нулю при a = 0 (тогда ax n = 0 • x n = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • х n будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

При n = 0 имеем f (х) = a₀ = 0, поэтому a₀ = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при n = k это утверждение также выполняется: если многочлен a_kх k + a_k-1х k-1 + . + a₁х + a₀ тождественно равен 0, то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подстав­ляя в это равенство х = 0, получаем, что a₀ = 0. Тогда равенство (3) об­ращается в следующее равенство: a_k+1x k +1 + a_kx k + . + a₁x = 0. Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при х 0, должно выполняться тождество a_k+1x k + a_kx k -1 + . + a₁ = 0.

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от х 0 до x k .Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: a_{k + 1} = a_k = …= a₁ = 0. Но мы также доказали, что a₀ = 0,

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательно­го n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называ­ют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен f (х) = а_nх n + а_n-1х n — 1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀, а много­член g (x) = b_mx m + b_{m — 1}x m — 1 + . + b₂x 2 + b₁x + b₀. Рассмотрим многочлен f (x) — g (x). Поскольку многочлены f (x) и g (x) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) — g (x) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Тогда a₀ — b₀ = 0, a₁ — b₁ = 0, а₂ — b₂ = 0, . . Отсюда a₀ = b₀, a₁ = b_1s а₂ = b₂, . . Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, n боль­ше m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (m + 1)-го номера все коэффициенты a_t также будут равны нулю. То есть действительно многочлены f (x) и g (x) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах 2 + bх + с (а ≠ 0).

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравни­вая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1.

При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b и с последние два равенства также выпол­няются. Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, b = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а = -1, b = -10, с = -20).

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

3. Докажите тождество:

2)1+х 4 =(1+х +х 2 )(1-х +х 2 ).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х 4 + 4х 3 + 8х 2 + 3х + 2 = (3х 2 + ах + 1)(х 2 + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х 2 +x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2

10.2. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В ре­зультате выполнения действий сложения или умножения над многочлена­ми от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени можно получить многочлен этой же степени или многочлен меньшей степени.

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей из степеней слагаемых.

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению це­лых чисел. Напомним, что число а делится на число b (b≠ 0), если суще­ствует такое число q, что а = b • q.

Определение 3. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) —не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (x), что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен вы­полняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком

Разделить с остатком многочлен А (х) на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) — это означает найти такую пару многочленов Q (x) и R (x), что А (х) = В (х) • Q (x) + R (x), причем степень остатка R (x) меньше степени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называют неполным частным.)

Например, поскольку х 3 — 5х + 2 = (х 2 — 5) х + 2, то при делении много­члена х 3 — 5х + 2 на многочлен х 2 — 5 получаем неполное частное х и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

Алгоритм. При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член де­лимого на старший член делителя. Потом полученный результат умножают на делитель, и это произведение вычитают из делимого. С полу­ченной разностью выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат снова умножа­ют на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не по­лучится в остатке 0 (если один многочлен делится на другой) или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Докажем, что полученный результат действительно является результа­том деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через f₁ (x), второго шага — через f₂ (x), третьего — через f₃ (x), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

Учитывая, что степень многочлена f₃ (x) = х + 4 меньше степени делителя

В (х) = х 2 — 2х + 3, обозначим f₃ (x) = R (x) (остаток), а х 2 — 3х — 8 = Q (x) (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: А (х) = В (х) — Q (x) + R (x), то есть х 4 — 5х 3 + х 2 + 8х — 20 = (х 2 — 2х + 3)(х 2 — 3х — 8) + х + 4, а это и означает, что мы разделили А (х) на В (х) с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (x) и остаток R (x).

То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Для любой пары многочленов А (х) и В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) существует и притом единственная пара многочленов
Q(x) и R(x), такая, что А(х)=В(х)*Q(x) + R(x), причем сте-
пень R (x) меньше степени В (х) (или R (x) — нулевой многочлен).

Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени дели­теля В (х), считают, что неполное частное Q (x) = 0, а остаток R (x) = А (х).

1.Выполните деление многочлена на многочлен:

1)3х 3 — 5х 2 + 2х — 8 на х — 2; 2) х 10 + 1 на х 2 + 1;

2. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

1)4х 4 — 2х 3 + х 2 — х + 1 на x 2 + x + 2;

2)х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + 1 на х 2 — х — 2.

3.При каких значениях а и b многочлен А (х) делится без остатка на мно­гочлен В(х)?

4.Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена А(х) на многочлен В(х) методом неопределенных коэффициентов:

10.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ФОРМУЛЫ ВИЕТА

Рассмотрим деление многочлена f (x) на двучлен (х – а). Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен f (x) на двучлен (х – а), то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При х = а имеем f (а) = R. Полученный результат называют теоремой Безу.

Те о р е м а 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (х) на двучлен (х – а) равен f (а) (то есть значению многочлена при х = а).

Задача 1. Докажите, что х 5 – 3х 4 + 2х 3 + 4х – 4 делится на х – 1 без остатка.

• Подставив в f (х) = х 5 – 3х 4 + 2х 3 + 4х – 4 вместо х значение 1, получаем: f (1) = 0. Таким образом, остаток от деления f (х) на (х – 1) равен 0, то есть f (x) делится на (х – 1) без остатка.

О п р е д е л е н и е. Число α называют корнем многочлена f (x), если f (α) = 0.

Если многочлен f (х) делится на (х – α), то α — корень этого многочлена.

• Действительно, если f (х) делится на (х – α), то f (х) = (х – α)*Q (x) и поэтому f (α) = (α – α)*Q (α) = 0. Таким образом, α — корень многочлена f (х).

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Т е о р е м а 2. Если число α является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на двучлен (х – α) без остатка.

• По теореме Безу остаток от деления f (x) на (х – α) равен f (α). Но по условию α — корень f (x), таким образом, f (α) = 0.

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Те о р е м а 3. Если многочлен f (x) имеет попарно разные корни α₁, α₂, . α_n, то он делится без остатка на произведение

• Для доказательства используем метод математической индукции.

При n= 1 утверждение доказано в теореме 2. Допустим, что утверждение справедливо при n = k. То есть если α₁, α₂, . α_k — попарно разные корни многочлена f (x), то он делится на произведение (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k). Тогда

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при n = k + 1. Пусть α₁, α₂, . α_k, α_{k + 1} — попарно разные корни многочлена f (x). Поскольку α_{k + 1} — корень f (x), то f (α_{k + 1)} = 0.

Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно предположению индукции, получаем:

По условию все корни α₁, α₂, . α_k, α_{k + 1} разные, поэтому ни одно из чисел α_{k + 1} – α₁, α_{k + 1} – α₂, . α_{k + 1} – α_k не равно нулю. Тогда Q (α_{k + 1}) = 0. Таким образом, α_{k + 1} — корень многочлена Q (x). Тогда по теореме 2 Q (x) делится на (х – α_{k + 1}), то есть Q (x) = (х – α_{k + 1})*Q₁ (x) и из равенства (1) имеем

Это означает, что f (х) делится на произведение

то есть теорема доказана и при n = k + 1.

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального n.

С л е д с т в и е. Многочлен степени n имеет не больше n разных корней.

Пусть теперь многочлен n-й степени f (x) = а_nх n + а_{n– 1} х n –1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀ (a_n ≠ 0) имеет n разных корней α₁, α₂, . α_n. Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение (х – α₁)(х – α₂)*. *(х – α_n). Это произведение является многочленом той же n-й степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что b = а_n, то есть

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

Например, при n = 2 имеем:

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием того, чтобы числа α₁, α₂, …, α_n были корнями многочлена f (x) = а_nх n + а_{n – 1} х n – 1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀ (a_n ≠ 0). Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена f (x) разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен f (x) делится без остатка на (х – α) k , но не делится без остатка на (х – α) k + 1 , то говорят, что число α является корнем кратности k многочлена f (x).

Например, если произведение (х + 2) 3 (х – 1) 2 (х + 3) записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (–2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (–3) — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Задача 2. Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

f (x) = х 3 + 2х 2 – 4х – 8.

• f(x) = х 3 + 2х 2 – 4х – 8 = х 2 (х + 2) – 4 (х + 2) = (х + 2)(х 2 – 4) = (х – 2)(х + 2) 2 .

Поэтому f (х) имеет корни: α₁ = 2, α₂ = –2, α₃ = –2 (поскольку (–2) — корень кратности 2). Проверим справедливость формулы (5).

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Задача 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 – 8х + 4 = 0.

• Обозначим корни уравнения х 2 – 8х + 4 = 0 через х₁ и х₂. Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа a₁=x₁ 2 и a2=x2 2 . Поэтому искомое уравнение имеет вид х 2 + рх + q = 0,

По формулам Виета имеем х₁ + х₂ = 8 и х₁х₂ = 4. Отсюда находим, что

Таким образом, искомое уравнение имеет вид х 2 – 56х + 16 = 0.

Упражнения

1. Найдите остаток от деления многочлена х 5 – 4х 4 + 2х 3 – 5х + 1 на х + 2.
2. Найдите коэффициент а, зная, что остаток от деления многочлена х 3 – ах 2 + 5х – 3 на х – 1 равен 6.
3. Многочлен f (х) при делении на х – 1 дает остаток 4, а при делении на х – 3 дает остаток 6. Найдите остаток от деления многочлена f (х) на х 2 – 4х + 3.
4. При каких значениях а и b многочлен х 4 + 2х 3 + ах 2 – bх + 2 делится без остатка на х + 2, а при делении на х – 1 имеет остаток, который равен 3?
5. Остаток от деления многочлена f (x) на 3х 2 – 5х + 2 равен 7х + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на двучлены х – 1 и 3х – 2.
6. Запишите формулы Виета при n = 4.
7. Составьте кубический многочлен, который имеет корни 5, –2, 1 и коэффициент при старшем члене –2. Решите задачу двумя способами.
8. При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена х 2 – (а + 2) х + 3а равна 12?
9. Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

f (х) = х 5 – 5х 4 + 7х 3 – 2х 2 + 4х – 8?

1. Составьте кубический многочлен, который имеет корень 3 кратности 2 и корень (–1), а коэффициент при старшем члене 2.
2. Найдите такие а и b, чтобы число 3 было корнем кратности не меньше чем 2 для многочлена f (х) = х 3 – 5х 2 + ах + b.
3. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения х 2 – 5х + 1 = 0.
4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 2х 2 – 5х + 1 = 0.
5. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 + 6х + 3 = 0.

10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен f (x) = а₀хn+ а₁хn– 1+ . + а_{n– 1}х + а_n(a₀ ≠ 0) необходимо разделить на двучлен (х – а). В результате деления многочлена n-й степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен Q (x) (n – 1)-й степени (то есть Q (x) = b₀xn– 1+ b₁xn– 2+ . + b_{n– 2}x + b_{n– 1}, где b₀ ≠ 0) и остаток R. Тогда f (x) = (х – а)*Q (x) + R, то есть а₀хn+ а₁хn– 1+ . + а_{n– 1}х + а_n= = (х – а)*(b₀xn– 1+ b₁xn– 2+ . + b_{n– 2}x + b_{n– 1}) + R. Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х:

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент b_{k + 1} неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент b_k умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х 4 – 2х 3 – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 3х 4 – 2х 3 – 4х +1 = (х – 2)(3х 3 + 4х 2 + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х 4 + 6х 3 + 4х 2 – 2х – 42.

• По теореме Безу остаток от деления многочлена f (х) на х – а равен f (а), поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления f (х) на х – (–3) = х + 3

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

1. Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = х 3 + 3х 2 + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х 3 – 26х 2 + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х 4 – 15х 2 + 10х + 24; В (х) = х + 3.

1. Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен f (x) на двучлен q (x):

1) f (х) = 4х 3 – х 2 – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х 4 – 8х 3 + 15х 2 + 4х – 20; q (x) = x – 2.

1. Разделите многочлен А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = 2х 3 – 19х 2 + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х 3 – 24х 2 + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1. Найдите рациональные корни уравнения:

1. Разложите многочлен на множители:

1. Найдите действительные корни уравнения:

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

1. Область определения функции y = f (x) ¾ отрезок [– 2; 1]. Найдите об­ласть определения функции:

1. Постройте график функции:

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

4 (МТУСИ). Решите уравнение:

5 (МЭСИ). Решите систему уравнений:

8 (СТАНКИН). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет точно три корня.

9 (МГАТХТ). Найдите все значения параметра а, при которых система урав­нений не имеет решений.

10 (МГУ, ИСАиА). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

11 (МИСиС). При каких значениях параметра а неравенство

выполняется для всех отрицательных значений х?

12 (МГУ, мех.-мат. ф-т). При каких значениях параметра а уравнение

имеет точно три различных корня?

1. При каких значениях параметра а уравнение име­ет три действительных корня, которые образуют геометрическую про­грессию?

Решите задачи (14–25) на составление уравнений или неравенств и их систем.

14 (МГТУ). Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 детали. Так как каждый день он изготавливал на 2 детали меньше плана, то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен был изготовлять рабочий по плану?

15 (МГУ, хим. ф-т). Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали пер­вое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

16 (РЭА). Производительность первого станка на 25 % больше производи­тельности второго станка. Второй станок сделал деталей на 4 % больше, чем первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей работы, больше времени первого станка?

17 (ГФА). Первая из труб наполняет бассейн водой в два раза быстрее, чем другая. Если половину бассейна наполнить только из первой трубы, а оставшуюся часть — только из второй, то для наполнения бассейна потребуется 6 час. За сколько часов можно наполнить бассейн только из первой трубы?

18 (МГУПБ). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, и встреча­ются через час. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же ско­ростью, и первый прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость первого велосипедиста.

19 (МГУПБ). В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вер­нулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой скоростью судно шло по течению?

20 (ПГУ). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и полу­чили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

21 (ВШЭ). Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Из­вестно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

22 (МАИ). Найти такое двузначное число, в котором число его единиц на два больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

23 (ЛТА). Около дома посажены березы и липы, причем общее их количе­ство более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количе­ство берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько берез и сколько лип было посажено?

24 (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

25 (МГУ, эк. ф-т). В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1 руб. 50 коп., роза — 2 руб. На покупку гвоздик и роз можно затратить не более 30 руб. 50 коп. При этом число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возмож­ное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно меньше. Сколько гвоздик и сколько роз будет куплено при ука­занных условиях?

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых переменные уже разделены

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения — .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

.

Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения, в которых требуется разделить переменные

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

.

В таком уравнении и — функции только переменной x, а и — функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

.

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение и получим

.

,

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

.

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то перепишем данное уравнение в виде

.

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

.

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,

.

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

.

Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть правильные решения

Пример 5. Найти общее решение диффференциального уравнения

.

Пример 6. Найти общее решение диффференциального уравнения

.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

или
.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

,

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде и получим

.

Разделяем «игреки» и «иксы»:

.

Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

.

Теперь по свойству логарифма имеем

.

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

или
.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.