«А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие отражает содержание первой части лекционного курса Обыкновенные дифференциальные . »
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И
КИБЕРНЕТИКИ
А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Пособие отражает содержание первой части лекционного курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения», читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.
Ломоносова в соответствии с программой по специальности «Прикладная математика и информатика».
c Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009 г.
c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.
Оглавление Оглавление 1 Основные понятия 7
1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях. 7
1.2 Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. 10 1.2.1 Движение материальной точки. 10 1.2.2 Модели динамики популяций. 12
1.3 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. 13
1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах. 15 1.4.1 Уравнение в симметричном виде. 17 1.4.2 Уравнение в полных дифференциалах. 19 1.4.3 Интегрирующий множитель. 22 2 Задача Коши 25
2.1 Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. 25 2.1.1 Редукция к интегральному уравнению. 25 2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана. 27 2.1.3 Условие Липшица. 29 2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши.. 30 2.1.5 Локальная теорема существования решения задачи Коши. 31
2.2 Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. 36 2.2.1 Примеры постановки задачи Коши. 36 2.2.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 39 4 Оглавление 2.2.3 Методы интегрирования.
B Общая теория линейных дифференциальных уравнений с точки зрения систем линейных дифференциальных уравнений 112 B.1 Связь линейной зависимости скалярных функций и вектор-функций. 112 B.2 Линейная зависимость решений линейного однородного дифференциального уравнения. 114 B.3 Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения. 116 B.4 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, метод вариации постоянных. 117 B.5 Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. 120
Глава 1 Основные понятия
1.1. Понятия о дифференциальных уравнениях Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.
Пример 1.1.
1. Найти функцию y(t) такую, что
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции только по одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера 1.1.3 – дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных.
Данный курс посвящен, в основном, обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции y(t) называется уравнение
где F (t, y, p) – заданная функция трех переменных.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка относительно неизвестной функции y(t) называется уравнение
где F (t, y, p1. pn ) – заданная функция n + 2 переменных.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнение
Рис. 1.1. К примеру 1.1.4: слева – интегральная кривая (спираль), справа – фазовая траектория (окружность).
При решении уравнения (1.1) или системы (1.2) часто приходится проводить операцию интегрирования. Процесс нахождения решений обычно называется интегрированием дифференциального уравнения или системы.
Всякое решение (y1 (t), y2 (t). yn (t)) системы (1.2) можно интерпретировать геометрически как кривую в n + 1 мерном пространстве переменных (t, y1, y2. yn ). Кривая (t, y1 (t), y2 (t). yn (t)) называется интегральной кривой. Пространство переменных (y1, y2. yn ) называется фазовым пространством, а определенная в этом пространстве кривая (y1 (t), y2 (t). yn (t)) – фазовой траекторией.
Пример 1.1.
4. Нормальная система
1.2. Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями Обыкновенные дифференциальные уравнения являются основой математических моделей разнообразных процессов и явлений. Приведем некоторые примеры подобных математических моделей.
1.2.1. Движение материальной точки Рассмотрим процесс движения материальной точки с единичной массой вдоль прямой, которую будем считать осью x. Движение точки обусловлено тем, что на нее действует сила f (t), зависящая от времени t. Обозначим положение точки в момент времени t через x(t). В соответствии с вторым законом Ньютона получим, что
где t0 — некоторое заданное число, а c1 и c2 – произвольные постоянные.
Из формулы (1.5) следует, что уравнение (1.4) не определяет однозначно процесс движения x(t). Это легко понять и из физических соображений. Действительно, для однозначного определения положения точки x(t) нужно знать её положение в некоторый момент времени t0, то есть величину x0 = x(t0 ) и ее скорость v0 = x (t0 ). В этом случае c1 = x0, c2 = v0 и положение точки x(t) в любой момент времени определяется однозначно.
Уравнение (1.4) определяет простейший вариант движения точки вдоль прямой. Если сила, действующая на точку, зависит не только от
1.2. Некоторые математические модели 11 времени, но также и от положения точки x(t) и её скорости x (t), то обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее положение точки x(t), будет иметь вид
Очевидно, что для однозначного определения траектории точки в пространстве следует задать ее положение в некоторый момент времени t0 и её скорость в этот же момент времени, то есть значения x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ), u(t0 ), v(t0 ) w(t0 ).
1.2.2. Модели динамики популяций Модели динамики популяций описывают процессы изменения численности биологических объектов во времени. Приведем простые примеры подобных моделей.
Рассмотрим популяцию некоторых биологических организмов. Обозначим их количество, нормированное относительно некоторого достаточно большого значения, в момент времени t через u(t). Далее будем считать функцию u(t) непрерывно дифференцируемой и предположим, что изменение количества организмов происходит за счет рождения и смерти. Если скорость рождаемости и скорость смертности пропорциональны количеству организмов u(t), то du = au(t) bu(t), (1.6) dt где a – постоянный коэффициент рождаемости, а b – постоянный коэффициент смертности организмов. Таким образом, мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции u(t). Решениями уравнения (1.6) являются функции
где C – произвольная постоянная. Для устранения подобной неоднозначности нужно знать количество организмов в некоторый момент времени, то есть величину u0 = u(t0 ). В этом случае решение уравнения
1.3. Уравнение первого порядка 13 (1.6) определяется однозначно и имеет вид
Рассмотрим теперь более сложную модель динамики популяций, которая описывает изменение численности биологических объектов двух видов: жертв и хищников. Обозначим количество жертв через u(t), а количество хищников через v(t). Различие в изменении количества жертв и хищников состоит в том, что жертвы являются кормом для хищников, а хищники не являются кормом для жертв. В связи с этим считаем, что скорость рождения жертв пропорциональна их количеству, а скорость их смертности пропорциональна произведению количества жертв на количество хищников. В результате мы получим следующую формулу для изменения количества жертв: u (t) = au(t) bu(t)v(t), где a и b – постоянные положительные коэффициенты. С другой стороны, скорость рождаемости хищников зависит как от их количества, так и от количества корма, а скорость смертности зависит только от количества хищников. Эти предположения можно описать следующей формулой для изменения количества хищников: v (t) = cu(t)v(t) dv(t), где c и d – постоянные положительные коэффициенты. Таким образом, мы получили следующую нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций u(t) и v(t)
Для однозначного определения количества жертв и хищников кроме этих уравнений нужно задать в некоторый момент времени t0 количество жертв u0 = u(t0 ) и количество хищников v0 = v(t0 ).
1.3. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
Рис. 1.2. Геометрический смысл уравнения y (t) = f (t, y(t)).
где функция f (t, y) определена и непрерывна в некоторой области D на плоскости переменных (t, y).
Определим понятие решения уравнения (1.7).
Определение 1.3.1. Функция y(t) называется решением уравнения (1.7) на отрезке [a, b], если:
где C – произвольная постоянная. Также решением уравнения (1.8) является y0 (t) = 0. Очевидно, что это решение не может быть получено из семейства (1.9) ни при каком выборе постоянной C.
Решение дифференциального уравнения (1.7) называется частным решением, если во всех точках его интегральной кривой выполняется условие единственности, то есть ее не касаются другие интегральные кривые уравнения (1.7).
Решение называется особым, если в каждой точке его интегральной кривой происходит ее касание с другими интегральными кривыми.
В примере 1.3.1 решение y0 (t) = 0 является особым решением, так как в каждой точке (t0, 0) его интегральной кривой ее касается инt t0 )3 тегральная кривая, соответствующая решению y(t, t0 ) = (см.
1.4. Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах
Его решениями на отрезке [C +, C ] при 0 C являются функции y1 (t) = C 2 t2, y2 (t) = C 2 t2.
Очевидно, что оба этих решения не существуют на отрезке [C, C], поскольку при t C и t C производные решений стремятся к бесконечности. Интегральная кривая (t, y1 (t)) представляет собой верхнюю полуокружность, а интегральная кривая (t, y2 (t)) – нижнюю полуокружность (см. рис. 1.4). Таким образом, интегральные кривые уравнения (1.10) определяют окружность радиуса C за исключением точек (C, 0), (C, 0). Эта особенность связана только с тем, что при определении решения мы использовали параметризацию y = y(t).
Устранить этот недостаток можно, перейдя к более общей форме дифференциального уравнения первого порядка.
1.4. Уравнение в симметричном виде 17 1.4.1. Уравнение в симметричном виде Дифференциальным уравнением в симметричном виде (или в дифференциалах) называется уравнение
Уравнение (1.11) является более общим по сравнению с уравнением (1.7), поскольку последнее уравнение можно записать в виде (1.11) с функциями M (t, y) = f (t, y), N (t, y) = 1.
Дадим определение решения уравнения (1.11). Так как переменные входят в него симметрично, то определение решения естественно дать в параметрической форме.
Определение 1.4.1. Пара функций t = ( ), y = ( ) называется параметрическим решением уравнения в симметричном виде (1.11) на отрезке [1, 2 ], если:
1. функции ( ), ( ) непрерывно дифференцируемы на [1, 2 ] и | ( )| + | ( )| 0, [1, 2 ];
3. при подстановке t = ( ), y = ( ) в (1.11) получается тождество, то есть [1, 2 ]. (1.13) M (( ), ( )) ( ) + N (( ), ( )) ( ) = 0, Пусть t = ( ), y = ( ) – параметрическое решение уравнения (1.11). Интегральной кривой уравнения в симметричной форме называется совокупность точек на плоскости (t, y) таких, что t = ( ), y = ( ), [1, 2 ].
Из условия 1 в определении параметрического решения вытекает, что либо ( ) = 0, либо ( ) = 0 в окрестности каждой точки 0 (1, 2 ). Это, в свою очередь, означает существование одной из обратных функций = 1 (t) либо = 1 (y) и, соответственно, возможность представить решение уравнения (1.11) либо в виде y = (1 (t)) 18 Глава 1. Основные понятия в окрестности точки t0 = (0 ), либо в виде t = ( 1 (y)) в окрестности точки y0 = (0 ).
Убедимся в преимуществе исследования уравнения в симметричной форме на примере уравнения (1.10).
Пример 1.4.
2. Запишем уравнение (1.10) в симметричном виде
Его параметрическое решение t = C cos, y = C sin, [0, 2] определяет интегральные кривые, представляющие собой окружности радиуса C. То есть, в отличие от интегральных кривых уравнения (1.10), параметрическое решение задает окружность целиком без каких-либо исключенных точек.
Заметим, что, если параметрическое решение рассматривается отрезке [0, 2], то не существует однозначной функции y = y(t) или t = t(y), описывающей соответствующую дугу целиком. В то же время, в окрестности каждой точки рассматриваемой дуги такие представления нетрудно выписать.
С уравнением в симметричной форме связаны важные понятия интеграла и общего интеграла. Пусть функция (t, y, c) определена и непрерывна для (t, y) D и постоянных c, принадлежащих некоторому множеству C0.
Определение 1.4.2. Уравнение (t, y, c) = 0 называется интегралом уравнения (1.11) в области D, если при любом значении c C0 оно определяет решение уравнения (1.11).
Интеграл называется общим, если он определяет все решения уравнения (1.11), то есть для любого решения уравнения (1.11) t = ( ), y = ( ), интегральная кривая которого лежит в D, найдется постоянная c C0 такая, что (( ), ( ), c) 0.
Так как общий интеграл определяет все решения дифференциального уравнения, то в том случае, когда его удается найти, задача поиска решений дифференциального уравнения считается решенной. Рассмотрим примеры.
Пример 1.4.
3. Уравнение в симметричной форме tdt+ydy = 0 имеет общий интеграл t2 + y 2 c = 0. Множество C0 в этом случае является множеством положительных чисел.
1.4. Уравнение в симметричном виде 19
На всей же плоскости R2 это уравнение является интегралом, но не является общим интегралом, поскольку решение y0 (t) 0 не может быть получено из данного уравнения ни при каком значении константы C.
1.4.2. Уравнение в полных дифференциалах
то есть t = t и y = g(t) является параметрическим решением уравнения (1.11). Следовательно, уравнение (1.15) является интегралом дифференциального уравнения (1.11).
Покажем, что уравнение (1.15) является общим интегралом дифференциального уравнения (1.11). Пусть t = ( ), y = ( ), [1, 2 ] – произвольное решение (1.11) такое, что (( ), ( )) D при [1, 2 ].
Покажем, что найдется постоянная C такая, что
и уравнение (1.15) – общий интеграл дифференциального уравнения (1.11).
Замечание 1.4.1. Из доказательства теоремы 1.4.1 следует, что через любую точку (t0, y0 ) D проходит единственная интегральная кривая уравнения в полных дифференциалах (1.11), (1.14).
1.4. Уравнение в симметричном виде 21 Замечание 1.4.2. Если ввести векторное поле
Критерий того, что уравнение (1.11) является уравнением в полных дифференциалах, дается следующей теоремой.
Теорема 1.4.
2. Пусть функции M (t, y), N (t, y) и их частные производные первого порядка непрерывны в прямоугольнике D со сторонами, параллельными координатным осям, и выполнено условие (1.12).
Тогда для того, чтобы уравнение (1.11) было уравнением в полных дифференциалах в D, необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть уравнение (1.11) является уравнением в полных дифференциалах. Тогда существует функция V (t, y) такая, что выполнены равенства (1.14). Дифференцируя первое из них по y, а второе по t, получим равенства
Следовательно, V (t, y) удовлетворяет определению 1.4.3 и уравнение (1.11) является уравнением в полных дифференциалах.
1.4.3. Интегрирующий множитель Определение 1.4.4. Непрерывно дифференцируемая в области D функция µ = µ(t, y) = 0 называется интегрирующим множителем, если уравнение
то µ(t, y) является интегрирующим множителем, причем (1.18) является уравнением в полных дифференциалах с функцией V = (t, y).
Замечание 1.4.3. Интегрирующий множитель определяется неоднозначно. Действительно, если µ(t, y) является интегрирующим множителем, то найдется непрерывно дифференцируемая функция V (t, y) такая, что справедливо равенство dV = µM dt + µN dy. Умножая это равенство на f (V ), где f (s) – произвольная непрерывно дифференцируемая функция скалярного аргумента, f (s) = 0, получаем
Глава 2 Задача Коши
2.1. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной Пусть функция f (t, y) определена и непрерывна в прямоугольнике
2.1.1. Редукция к интегральному уравнению Покажем, что решение задачи с начальным условием (2.1), (2.2) эквивалентно решению некоторого интегрального уравнения.
Рассмотрим на отрезке [t0 T, t0 + T ] уравнение относительно неизвестной функции y(t) t
Тогда q (t) = z(t) 0, q(t0 ) = 0. Из неравенства (2.5) следует, что c + dq(t), t [a, t0 ]. Умножив это неравенство на ed(t0 t), q (t) получим
2.1.4. Теорема единственности решения задачи Коши Докажем теперь теорему единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2).
Теорема 2.1.
1. Пусть функция f (t, y) непрерывна в и удовлетворяет в условию Липшица по y. Если y1 (t), y2 (t) – решения задачи Коши (2.1), (2.2) на отрезке [t1, t2 ], то y1 (t) = y2 (t) для t [t1, t2 ].
Доказательство. Так как y1 (t) и y2 (t) – решения задачи Коши (2.1), (2.2), то из леммы 2.1.1 следует, что они являются решениями интегрального уравнения (2.3). То есть t
Применяя лемму Гронуолла-Беллмана 2.1.2 с c = 0 и d = L, имеем z(t) = 0, t [t1, t2 ]. Следовательно, y1 (t) = y2 (t), t [t1, t2 ] и теорема 2.1.1 доказана.
2.1.5. Локальная теорема существования решения задачи Коши Перейдем к доказательству существования решения задачи с начальным условием. Следует отметить, что мы можем доказать теорему существования не на всем исходном отрезке [t0 T, t0 + T ], а на некотором, вообще говоря, меньшем. Поэтому эта теорема часто называется локальной теоремой существования решения задачи Коши.
Теорема 2.1.
2. Пусть функция f (t, y) непрерывна в, удовлетворяет в условию Липшица по y и
Доказательство. Из леммы 2.1.1 следует, что для доказательства теоремы достаточно доказать существование функции y(t) C[t0 h, t0 +h] такой, что |y(t) y0 | A, t [t0 h, t0 + h], и являющейся решением интегрального уравнения
Проведем доказательство, используя метод последовательных приближений. Рассмотрим последовательность функций yk (t), k = 0, 1, 2. таких, что y0 (t) = y0,
Таким образом |ym+1 (t) y0 | A, t [t0 h, t0 + h]. Следовательно, мы показали что все yk (t) C[t0 h, t0 +h] и |yk (t)y0 | A, t [t0 h, t0 +h], k = 0, 1, 2.
Докажем, используя метод математической индукции, что для t [t0 h, t0 + h] справедливы неравенства
то есть при k = 0 оценка (2.12) верна.
Пусть неравенство (2.12) справедливо для k = m 1. Покажем, что тогда оно справедливо при k = m. Действительно
на отрезке [t0 h, t0 + h]. Применим признак Вейерштрасса для доказательства равномерной сходимости ряда (2.13) на отрезке [t0 h, t0 + h].
Из оценки (2.12) следует, что
позволяющие перейти в (2.10) к пределу при k и произвольном фиксированном t [t0 h, t0 + h]. В результате получаем, что y(t) является решением интегрального уравнения (2.9).
Таким образом, мы показали, что y(t) C[t0 h, t0 +h], |y(t)y0 | A, t [t0 h, t0 + h] и является решением интегрального уравнения (2.9).
Следовательно, y(t) является решением задачи с начальным условием на отрезке [t0 h, t0 + h] и теорема 2.1.2 доказана.
Вернемся опять к вопросу о том, почему мы не можем доказать теорему существования на всем отрезке [t0 T, t0 + T ], а доказываем сущеГлава 2. Задача Коши
2.2. Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной 2.2.1. Примеры постановки задачи Коши Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной F (t, y(t), y (t)) = 0. (2.14)
Всюду в этом параграфе будем считать, что функция F (t, y, p) определена в параллелепипеде D с центром в некоторой точке (t0, y0, y0 ) R3 :
D = <(t, y, p) : |t t0 | a, |y y0 | b, |p y0 | c>, (2.15) где a, b, c – фиксированные положительные числа.
Определение 2.2.1. Функция y(t) называется решением уравнения (2.14) на отрезке [t1, t2 ], если:
2.2. Задача Коши для уравнения, не разрешенного относительно y 37
1. y(t) непрерывно дифференцируема на [t1, t2 ];
2. (t, y(t), y (t)) D для всех t [t1, t2 ];
3. на отрезке [t1, t2 ] выполнено (2.14).
Если уравнение (2.14) разрешено относительно производной, F (t, y, p) = p f (t, y), то при некоторых дополнительных условиях на функцию f (t, y) для получения единственного решения уравнения достаточно задать условие прохождения соответствующей интегральной кривой (графика решения) через некоторую точку (t0, y0 ). В общем случае приходим к задаче с дополнительным условием F (t, y(t), y (t)) = 0, y(t0 ) = y0. (2.16) Проиллюстрируем особенности такой задачи для случая уравнения, квадратично зависящего от производной:
2.2.2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Теорема 2.2.1. Пусть функция F (t, y, p) определена в параллелепипеде D, заданным (2.15), и выполнены следующие условия:
В окрестности 0 уравнение (2.14) эквивалентно дифференциальному уравнению y (t) = f (t, y(t)), разрешенному относительно производной, а задача Коши (2.20) принимает вид
Отметим, что фигурирующее в (2.20) начальное условие на производную y (t0 ) = y0 автоматически выполнено в силу равенства (2.30).
Рассмотрим задачу Коши (2.31) в прямоугольнике
Замечание 2.2.1. В приведенном выше примере 2.2.2 условия теоремы 2.2.1 выполнены для задач Коши (2.21), (2.22) и не выполнены для задач Коши (2.23), (2.24).
2.2. Задача Коши для уравнения, не разрешенного относительно y 41 2.2.3. Методы интегрирования Рассмотрим метод интегрирования уравнения (2.14), основанный на его почленном дифференцировании. Получающееся уравнение становится линейным относительно старшей производной, и в нем эффективно производится замена искомой функции.
Уравнение вида y = f (t, y ), разрешенное относительно переменной y, эквивалентно системе двух уравнений
Последнее равенство задает дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных t, p. Если удалось найти параметрическое решение этого уравнения t = (, c), p = (, c), то и решение исходного уравнения существует в параметрическом виде
Относительно первого уравнения предположим, что оно задает гладкую поверхность в R3, описываемую параметрически с помощью непрерывно дифференцируемых функций T (u, v), Y (u, v), P (u, v):
2.2.4. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка Определение 2.2.2. Функция y = (t) называется особым решением дифференциального уравнения
на отрезке [t1, t2 ], если y = (t) является решением уравнения на этом отрезке в смысле определения 2.2.1, и через каждую точку соответствующей интегральной кривой
проходит другое решение этого уравнения с тем же самым наклоном касательной, но отличающееся от данного решения в сколь угодно малой окрестности точки.
2.2. Задача Коши для уравнения, не разрешенного относительно y 43 Таким образом, в каждой точке интегральной кривой особого решения нарушается единственность решения задачи Коши
Ни одна из интегральных кривых этих семейств решений не касается интегральной кривой решения y(t) = 0 ни в одной точке. Следовательно, решение y(t) = 0 не является особым для рассматриваемого уравнения.
Пример 2.2.
6. Рассмотрим уравнение (2.17). Система (2.33) для дискриминантной кривой
дает функцию y(t) = t, которая не является решением (2.17). Следовательно, особых решений рассматриваемое уравнение не имеет.
2.3. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка на всем отрезке В этом разделе мы докажем теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка на произвольном отрезке.
2.3.1. Постановка задачи Коши для нормальной системы
где t0 – некоторая фиксированная точка отрезка [a, b], а y01, y02. y0n
– заданные вещественные числа. Эта задача называется задачей Коши или задачей с начальным условием для нормальной системы дифференциальных уравнений (2.34).
Определение 2.3.1. Функции y1 (t), y2 (t). yn (t) называются решением задачи Коши (2.34), (2.35) на отрезке [a, b], если:
Определение 2.3.2. Функция f (t, y1, y2. yn ) удовлетворяет условию Липшица по y1, y2. yn, если найдется такая положительная константа L 0, что выполнены неравенства
2.3.2. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы Докажем единственность решения задачи Коши (2.34), (2.35) для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема 2.3.
1. Пусть функции fk (t, y1, y2. yn ), k = 1, 2. n, определены и непрерывны при t [a, b], (y1, y2. yn ) Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константой L.
Тогда, если функции y1 (t), y2 (t). yn (t) и y1 (t), y2 (t). yn (t) являются решениями задачи Коши (2.34), (2.35) на отрезке [a, b], то yi (t) = yi (t) для t [a, b], i = 1, 2. n.
Доказательство. Так как функции y1 (t), y2 (t). yn (t) – решения задачи Коши (2.34), (2.35), то –  –  –
2.3.3. Теорема существования решения задача Коши для нормальной системы на всем отрезке Перейдем к доказательству теоремы существования решения задачи Коши для нормальной системы (2.34), (2.35). Теорема существования решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка была доказана в параграфе 2.1.5. Важно еще раз заметить, что в этой теореме существование решения доказывалось только на некотором малом отрезке, и без дополнительных предположений относительно функции f (t, y) более сильный результат получить невозможно. Конечно, подобные проблемы сохраняются и для задачи Коши для нормальной системы, поскольку задача Коши для одного уравнения является ее частным случаем. Однако в этом параграфе мы сделаем такие предположения относительно функций fk (t, y1. yn ), которые позволят доказать теорему существования решения на всем отрезке.
Локальная теорема существования решения задачи Коши (2.34), (2.35) аналогичная той, которая была доказана в параграфе 2.1.5, будет доказана позже в параграфе 2.4 Теорема 2.3.
2. Пусть функции fk (t, y1, y2. yn ), k = 1, 2. n, определены и непрерывны при t [a, b], (y1, y2. yn ) Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константой L.
Тогда существуют функции y1 (t), y2 (t). yn (t), являющиеся решением задачи Коши (2.34), (2.35) на всем отрезке [a, b].
Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a, b] систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций yi (t) t
Замечание 2.3.1. Для выполнения условия Липшица (2.36) достаточно, чтобы все функции fk (t, y1, y2. yn ) имели равномерно ограниченные частные производные
Следовательно, все функции fk (t, y1, y2. yn ) удовлетворяют условию Липшица (2.36) с постоянной L = D.
Используя это замечание, легко привести пример системы, удовлетворяющей условиям теорем 2.3.1 и 2.3.2.
Пример 2.3.
2.3.4. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка на всем отрезке Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,
с начальными условиями yi (t0 ) = y0i1, i = 1, 2. n. (2.46) Система (2.45) является частным случаем нормальной системы (2.34) с функциями fi (t, y1, y2. yn ) = yi+1, i = 1. n 1, fn (t, y1, y2. yn ) = F (t, y1, y2. yn ).
Эти функции определены и непрерывны при t [a, b], (y1, y2. yn ) Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константой L = max<1, L1 >.
Поэтому задача (2.45), (2.46) удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1 о единственности решения задачи Коши для нормальной системы. Следовательно, решение задачи Коши (2.45), (2.46) единственно, а значит и решение задачи Коши (2.42), (2.43) также единственно.
Докажем существование решения решения Коши (2.42), (2.43). Рассмотрим задачу Коши (2.45), (2.46). Для нее выполнены условия теоремы 2.3.2 существования решения на отрезке [a, b]. То есть существуют непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции yi (t), удовлетворяющие (2.45), (2.46). Обозначив y1 (t) через y(t), получим, что y(t) является n раз непрерывно дифференцируемой на [a, b] функцией, y (i1) (t) = yi (t), i = 1, 2. n и y(t) удовлетворяет (2.42), (2.43). Следовательно y(t) является решением Коши (2.42), (2.43). Теорема 2.3.3 доказана.
54 Глава 2. Задача Коши 2.3.5. Задача Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (2.47), (2.48).
Теорема 2.3.
4. Пусть функции aij (t), fi (t) непрерывны на отрезке [a, b], i, j = 1, 2. n. Тогда существует единственный набор функций y1 (t), y2 (t). yn (t), являющийся решением задачи Коши (2.47), (2.48) на отрезке [a, b].
Доказательство. Система (2.47) является частным случаем системы (2.34) с функциями
Следовательно, для задачи Коши (2.49), (2.50) выполнены условия теоремы 2.3.3 и ее решение существует и единственно на отрезке [a, b]. Теорема 2.3.5 доказана.
2.4. Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема)
где y01, y02. y0n – заданные числа.
Определение 2.4.1. Функции y1 (t), y2 (t). yn (t) называются решением задачи Коши (2.51), (2.52) на отрезке [t0 + h, t0 + h], h T, если:
Отметим, что в отличие от определения 2.3.1, данное определение содержит условие принадлежности интегральной кривой параллелепипеду n+1, поскольку только в n+1 определены функции fi (t, y1. yn ).
Определение 2.4.2. Функция f (t, y1, y2. yn ) удовлетворяет в параллелепипеде n+1 условию Липшица по y1, y2. yn, если найдется константа L 0 такая, что
на всем исходном отрезке [t0 T, t0 + T ], а на некотором, вообще говоря, меньшем. Поэтому эта теорема называется локальной теоремой существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы.
Теорема 2.4.
1. Пусть функции fi (t, y1, y2. yn ), i = 1, 2. n, определены и непрерывны в n+1, удовлетворяют в n+1 условию Липшица (2.53) и –  –  –
Доказательство. Единственность решения задачи Коши доказывается аналогично доказательству теоремы 2.3.1. Докажем существование решения. Рассмотрим на отрезке [t0 h, t0 + h] систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций yi (t) t
и системе интегральных уравнений (2.54), то эти функции являются решением задачи Коши (2.51), (2.52) на отрезке [t0 h, t0 + h].
Действительно, из неравенств (2.55) следует, что
сходятся равномерно на отрезке [t0 h, t0 +h] к непрерывным функциям yi (t). Переходя к пределу при k в неравенствах (2.57), получим, что функции yi (t) удовлетворяют неравенствам (2.55).
Переходя к пределу при в формулах (2.56), получим, что функции yi (t) являются решением системы интегральных уравнений (2.54), а зна
Глава 3 Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
3.1. Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Комплекснозначной функцией действительного аргумента t [a, b] называется функция y(t) такая, что y(t) = u(t) + iv(t), где u(t) и v(t) – действительные функции. Комплекснозначная функция y(t) непрерывна на [a, b], если u(t) и v(t) непрерывны на [a, b]. Комплекснозначная функция y(t) дифференцируема на [a, b], если u(t) и v(t) дифференцируемы на [a, b], при этом y (t) = u (t) + iv (t). Аналогично определяются производные более высокого порядка функции y(t).
Комплекснозначные решения линейных дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами возникают также как комплексные числа при решении алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
Пример 3.1.
1. Требуется найти решение дифференциального уравнения y (t) + 2y (t) + 5y(t) = 0. (3.1) Ищем решение этого уравнения в виде y(t) = et, где – неизвестная постоянная. Подставляя это представление в уравнение (3.1) и сокращая на et, получим 2 + 2 + 5 = 0. Это уравнение имеет два комплексно сопряженных корня 1 = 1 + 2i, 2 = 1 2i. Как известно, если комплексное число z = x + iy, то ez = ex cos y + iex sin y.
Следовательно, уравнение (3.1) имеет два комплекснозначных решения y1 (t) = et cos 2t + iet sin 2t, y2 (t) = et cos 2t iet sin 2t. (3.2) 62 Глава 3. Общая теория линейных уравнений Перейдем к определению комплекснозначного решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим на отрезке [a, b] уравнение a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n1) (t) + · · · + an1 (t)y (t) + an (t)y(t) = f (t) (3.3) с действительными коэффициентами ak (t) и комплекснозначной функцией f (t) = g(t) + ih(t), где g(t), h(t) – действительные функции, a0 (t) = 0 на [a, b].
Определение 3.1.1. Комплекснозначная функция y(t) = u(t) + iv(t) называется решением уравнения (3.3) на отрезке [a, b], если функции u(t) и v(t) n раз непрерывно дифференцируемы на [a, b] и удовлетворяют на [a, b] уравнениям a0 (t)u(n) (t) + a1 (t)u(n1) (t) + · · · + an1 (t)u (t) + an (t)u(t) = g(t), (3.4) a0 (t)v (n) (t) + a1 (t)v (n1) (t) + · · · + an1 (t)v (t) + an (t)v(t) = h(t). (3.5) Рассмотрим задачу Коши для комплекснозначных решений уравнения (3.3). Требуется определить решение уравнения (3.3) такое, что
где y0m – заданные комплексные числа y0m = u0m + iv0m, u0m, v0m R, а t0 – некоторая фиксированная точка отрезка [a, b].
Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (3.3), (3.6).
Теорема 3.1.
1. Пусть функции ak (t), k = 0, 1. n, g(t) и h(t) непрерывны на отрезке [a, b], a0 (t) = 0, t [a, b].
Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решением задачи Коши (3.3), (3.6) на отрезке [a, b].
Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (3.4) с начальными условиями
По теореме 2.3.5 из параграфа 2.3.6 задача Коши (3.4), (3.7) имеет единственное решение u(t). Аналогично задача Коши для уравнения (3.5) с начальными условиями
имеет единственное решение v(t). Тогда комплекснозначная функция y(t) = u(t) + iv(t) является решением задачи Коши (3.3), (3.6) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачи Коши (3.3), (3.6) следует из единственности решения задач Коши (3.4), (3.7) и (3.5), (3.8). Теорема 3.1.1 доказана.
где функции akj (t) – действительны, а fk (t) = gk (t) + ihk (t) – комплекснозначны, k, j = 1, 2. n.
Определение 3.1.2. Комплекснозначная вектор функция
называется решением системы (3.9), если uk (t), vk (t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], k = 1, 2. n, и u1 (t) = a11 (t)u1 (t) + a12 (t)u2 (t) + · · · + a1n (t)un (t) + g1 (t),
где u0k, v0k – действительные числа, k = 1, 2. n.
Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (3.9), (3.12).
Теорема 3.1.
2. Пусть akj (t), gk (t), hk (t) непрерывны на отрезке [a, b], k, j = 1, 2. n. Тогда существует единственная вектор функция y (t), являющаяся решением задачи Коши (3.9), (3.12) на отрезке [a, b].
Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для системы (3.10) с начальным условием
будет решением задачи Коши (3.9), (3.12) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачи Коши (3.9), (3.12) следует из единственности решений задач Коши (3.10), (3.13) и (3.11), (3.14). Теорема 3.1.2 доказана.
Следствие 3.1.2. Если функции fk (t) в системе (3.9) действительны (то есть hk (t) = 0) и начальные данные в (3.12) действительны (то есть v0k = 0, k = 1, 2. n), то задача Коши (3.9), (3.12) имеет только действительное решение.
3.2. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка 65
3.2. Общие свойства линейного дифференциального уравнения n-го порядка Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n1) (t) + · · · + an1 (t)y (t) + an (t)y(t) = f (t) (3.15) с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ak (t), k = 0, 1. n, a0 (t) = 0, t [a, b] и непрерывной на отрезке [a, b] комплекснозначной функцией f (t).
Введем линейный дифференциальный оператор n-го порядка.
Определение 3.2.1. Линейным дифференциальным оператором nго порядка называется оператор Ly = a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n1) (t) + · · · + an1 (t)y (t) + an (t)y(t). (3.16) Оператор L определен для всех n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций y(t), причем Ly(t) C[a, b]. Используя это определение, уравнение (3.15) можно записать в виде
Следствие 3.2.1. Линейная комбинация решений однородного уравнения является решением однородного уравнения. Разность двух решений неоднородного уравнения с одинаковой правой частью есть решение однородного уравнения.
Теорема 3.2.
2. Решение задачи Коши
представимо в виде суммы y(t) = v(t) + w(t), где функция v(t) является решением задачи Коши для неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями
Если же равенство (3.17) выполнено только для тривиального набора констант ck = 0, k = 1, 2. n, то скалярные функции 1 (t), 2 (t). m (t) называются линейно независимыми на отрезке [a, b].
Замечание 3.3.1. Из определения следует, что, если функции k (t) действительны, то при определении их линейной зависимости и независимости достаточно рассматривать действительные значения постоянных ck, k = 1, 2. m.
68 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений Пример 3.3.1. Рассмотрим на отрезке [a, b] функции
Необходимое условие линейной зависимости скалярных функций устанавливает следующая теорема.
Теорема 3.3.
1. Если система (m1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций 1 (t), 2 (t). m (t) является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественно равен нулю на этом отрезке:
Из (3.18) следует, что вектор-столбцы определителя Вронского линейно зависимы для всех t [a, b]. Следовательно, этот определитель равен нулю для всех t [a, b].
Следствие 3.3.1. Если для системы (m 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций 1 (t), 2 (t). m (t) определитель Вронского отличен от нуля в некоторой точке t0 [a, b],
W [1. m ](t0 ) = 0,
то эта система является линейно независимой на отрезке [a, b].
Отметим, что равенство нулю определителя Вронского является, вообще говоря, только необходимым условием линейной зависимости скалярных функций. Из равенства нулю определителя Вронского не вытекает их линейная зависимость.
Пример 3.3.2. Для m = 2 рассмотрим на отрезке [1, 1] две функции, имеющие нулевой определитель Вронского:
Однако, как показано выше в примере 3.3.1, эти функции являются линейно независимыми на отрезке [1, 1].
3.3.2. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n c непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами aj (t), j = 0. n, a0 (t) = 0 на [a, b]:
a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n1) (t) + · · · + an1 (t)y (t) + an (t)y(t) = 0. (3.19) Рассмотрим систему скалярных функций y1 (t), y2 (t). yn (t), являющихся решением линейного однородного уравнения (3.19) порядка n.
Подчеркнем, что количество функций в рассматриваемой системе совпадает с порядком уравнения. Исследуем вопрос о связи свойства линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения и значения определителя Вронского. В отличие от случая произвольной системы функции для системы решений однородного 70 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений
Из теоремы 3.2.1 следует, что эта функция является решением однородного дифференциального уравнения (3.19), а из (3.20) следует, что она удовлетворяет начальным условиям
Это означает, что функция y(t) является решением однородного дифференциального уравнения (3.19) и удовлетворяет нулевым начальным
3.4. Фундаментальная система решений и общее решение 71
и функции yk (t), k = 1, 2. n линейно зависимы. Тогда из теоремы 3.3.1 следует, что определитель Вронского, составленный из этих функций, равен нулю на отрезке [a, b].
Пусть существует точка t [a, b] такая, что W [y1. yn ]( t ) = 0.
Тогда из предыдущего следует, что определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yk (t), k = 1, 2. n линейно независимы на этом отрезке.
Замечание 3.3.3. В силу доказанной теоремы рассмотренные в примере 3.3.2 дважды непрерывно дифференцируемые линейно независимые на отрезке [1, 1] функции 1 (t) = t3, 2 (t) = t2 |t| не могут являться решениями никакого линейного однородного уравнения второго порядка t [1, 1] a0 (t)y (t) + a1 (t)y (t) + a2 (t)y(t) = 0, с непрерывными коэффициентами a0 (t), a1 (t), a2 (t) и a0 (t) = 0, поскольку W [1, 2 ](t) 0 на отрезке [1, 1].
3.4. Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения 3.4.1. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения Определение 3.4.1. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) на отрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого уравнения.
72 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений Теорема 3.4.
1. У любого линейного однородного уравнения (3.19) существует фундаментальная система решений на [a, b].
Доказательство. Рассмотрим постоянную матрицу B с элементами bij, i, j = 1, 2. n такую, что det B = 0. Обозначим через yj (t) решения задачи Коши для уравнения (3.19) с начальными условиями (n1) yj (t0 ) = b1j, yj (t0 ) = b2j. yj (t0 ) = bnj, j = 1, 2. n. (3.21) По теореме 2.3.5 существования и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка функции yj (t) существуют и определены однозначно. Составленный из них определитель Вронского W [y1. yn ](t), в силу условий (3.21), таков, что W [y1. yn ](t0 ) = det B = 0. Следовательно, по теореме 3.3.2 он не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yj (t) линейно независимы на отрезке [a, b]. Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.19) и теорема доказана.
Замечание 3.4.1. Из доказательства теоремы 3.4.1 следует, что фундаментальная система решений уравнения (3.19) определена неоднозначно. Действительно, выбирая различные матрицы B такие, что det B = 0, мы получим различные фундаментальные системы решений уравнения (3.19).
Замечание 3.4.2. Так как коэффициенты уравнения aj (t) вещественны, то фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) также может быть выбрана вещественной.
3.4.2. Общее решение линейного однородного уравнения
Определение 3.4.2. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, что любое другое решение уравнения (3.19) может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.
Теорема 3.4.
«Инновационный проект (программа) государственного бюджетного образовательного учреждения среднего профессионального образования «Жирновский нефтяной техникум»Актуальность: Современные требования в обществе, новые стратегические ориентиры в развитии экономики, политики, социокультурной сферы, повышение открытости общества, его быстрой информатизации и динамичности обуславливают изменение требований государства и общества к образованию. Стабильность и способность к обновлению образовательной. »
«Министерство связи и информатизации Республики Беларусь Научно-инженерное республиканское унитарное предприятие «Институт прикладных программных систем» (НИРУП «ИППС») ГОСУДАРСТВЕННЫЕ РЕГИСТРЫ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ И СИСТЕМЫ БЕЛАРУСИ КАТАЛОГ Выпуск 11 Минск УДК 02(085)(476)(035.5) ББК 32.81я2 Уважаемые пользователи каталога! Министерство связи и информатизации Республики Беларусь представляет одиннадцатый выпуск каталога. »
«АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» ПРОГРАММА Научно-исследовательской работы Направление подготовки 09.04.03 Прикладная информатика Магистерская программа – Корпоративные информационные системы Квалификация (степень) выпускника МАГИСТР Форма обучения Очная Курс Семестр БЕЛГОРОД 2015 I. Цели научно-исследовательской работы Научно-исследовательская работа обучающихся является обязательным разделом ООП магистратуры и. »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» «УТВЕРЖДАЮ» Декан факультета _БТО_ наименование факультета _Ружников В.А. подпись Фамилия И.О. « » _ 201 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Информатика наименование учебной дисциплины (полное, сокращенное) 10.05.02, Информационная Направление (специальность) безопасность телекоммуникационных систем подготовки код и. »
«НОУ ВПО «РОССИЙСКИЙ НОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан факультета ИСиКТ Крюковский А.С. «» 2015 г. ОТЧЕТ О результатах самообследования по основной образовательной программе 09.06.01 Информатика и вычислительная техника Направленность программы Системный анализ, управление и обработка информации Москва 2015 ОТЧЕТ О результатах самообследования по основной образовательной программе направления подготовки 09.06.01 Информатика и вычислительная техника Направленность программы Системный анализ. »
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова ФИЛИАЛ МГУ в г. ДУШАНБЕ УТВЕРЖДЕНО на заседании Ученого Совета Филиала МГУ имени М.В. Ломоносова в г. Душанбе Протокол № 2 от 10 февраля 2014 года ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ САМООБСЛЕДОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ (по ГОС) ФИЛИАЛА МГУ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА в г. ДУШАНБЕ (за период 2009 – 2013 гг.) 510200 – Прикладная математика и информатика 511000 Геология 350200 Международные отношения Основание для проведения. »
«МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «Средняя общеобразовательная школа № 6» городского округа Троицк в городе Москве РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДЕНО на заседании ШМО руководитель НМС директор школы учителей математики и информатики _ Акристиний Н.М. Рыхлова Н.Л. Н.А.Веригина. Протокол «_»_2014г. «_»_2014г. №_от2014г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по математике (ФГОС ООО) 2014-2015 учебный год – 5 класс Составитель программы: рабочая группа (Акристиний Н.М., Попова М.Н., Шуева Е.В.). »
«Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» Отдел студенческой науки и магистратуры 51-я НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ АСПИРАНТОВ, МАГИСТРАНТОВ И СТУДЕНТОВ КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ 13-17 апреля 2015 года Программа и пригласительный билет Минск 2015 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» Отдел студенческой науки и магистратуры 51-я научная конференция. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» Колледж информатики и связи Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Прокопьевский филиал (Наименование факультета (филиала), где. »
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ О.А. КОЗЛОВ ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРЕТИКОИНФОРМАЦИ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКИ КУРСАНТОВ ВОЕННОЗАВЕ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ Монография Москва, 2010 Москва, 2010 Козлов О.А. Теоретико-методологические основы информационной подготовки курсантов военно-учебных заведений: Монография. – 3-е изд. – М.: ИИО РАО, 2010. – 326 с. В монографии излагаются основные результаты теоретико-методологического анализа проблемы. »
«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики «УТВЕРЖДАЮ» БТО Декан факультета. наименование факультета Ружников В.А. подпись, Фамилия И.О. « » 2014 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА физика.. по учебной дисциплине наименование учебной дисциплины 10.03.01(090900.62) Информационная безопасность Направление подготовки Информационная безопасность Профиль подготовки Бакалавр. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий институт (филиал) Факультет информационных технологий Кафедра Математики и математического моделирования Рабочая программа дисциплины Б.1.В.ОД.1 Правоведение Направление подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика Направленность (профиль) подготовки Общий профиль Программа. »
«Государственное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1250 с углубленным изучением английского языка ™ \\ «СОГЛАСОВАНО» РАССМОТРЕНО /«УТВЕРЖДАЮ » пени на заседании МО Директор школы Зам. директора по УВР 1. ЙЙ Протокол № 1 Шевченко О.Г. | | Гилко CO.г: : от 29.08.2014г. 29 августа 2014г. ПРОГРАММА ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ «ИНФОРМАТИКА В ИГРАХ И ЗАДАЧАХ» на 2014-2015 учебный год Для обучающихся 1 «А» класса. Срок реализации: 1 год Педагог дополнительного. »
«1. Цели освоения дисциплины Целью освоения дисциплины является изучение основ теории геоинформационных систем (ГИС), включающих способы, методы и алгоритмы сбора, обработки и хранения в этих системах пространственно распределенной и атрибутивной информации. Также изучаются основные широко известные программные продукты ГИС, методы и средства создания приложений в среде ГИС, что соответствует целям (Ц1 – Ц3) ООП.2. Место дисциплины в структуре ООП Дисциплина «Геоинформационные системы». »
«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» «УТВЕРЖДАЮ» ИСТ Декан факультета наименование факультета Салмин А.А. подпись Фамилия И.О. «1» сентября 2014 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ физика наименование учебной дисциплины (полное, сокращенное) 09.03.03 (230700.62) Прикладная информатика Направление подготовки: код и наименование направления (специальности). »
«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» Управление заочного, очно-заочного обучения и электронных образовательных технологий НИУ «БелГУ» ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ СТУДЕНТОВ И АСПИРАНТОВ В ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Сборник научных работ В трех томах Том 1 Белгород 2012 УДК. »
«1. Цели освоения дисциплины Цель освоения дисциплины – развить в студентах научноисследовательскую компоненту статистического мышления и на практике применять статистические методы для решения важнейших задач деятельности предприятия (фирмы) по производству продукции, выполнению работ и оказанию услуг в современных условиях развития рыночной экономики, что обеспечивает достижение целей, основной образовательной программы высшего профессионального образования направление подготовки 09.03.0. »
«Санкт-Петербургский государственный университет ПРИЛОЖЕНИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ Фундаментальная информатика и информационные технологии К ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМУ СТАНДАРТУ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ПО УРОВНЮ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МАГИСТРАТУРА» (академическая модель магистратуры) Санкт-Петербург Приложения «магистратура» 1. Профили подготовки 1.1. Теоретические основы информатики 1.2. Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных. »
«ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ОБУЧАЮЩИХСЯ В СИСТЕМЕ ОБРАЗОВАНИЯ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ Выступление начальника информационно-компьютерного отдела департамента образования администрации Владимирской области В.А. Власенко на межрегиональном семинаре «Информационная безопасность несовершеннолетних: диалог государства и гражданского общества», 30 января 2013 года Образование XXI века – это непрерывная деятельность, которая может реализовываться человеком в различных точках пространства (реального и. »
«УДК 37.02 Дорошенко Елена Геннадьевна кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и информационных технологий в образовании Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева, Красноярск (РФ) E-mail: odnokolova77@mail.ru Пак Николай Инсебович доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой информатики и информационных технологий в образовании Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева, Красноярск (РФ) E-mail. »
2016 www.programma.x-pdf.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Учебные, рабочие программы»
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Литература по дифференциальным уравнениям?
Подскажите пожалуйста хорошую и не сложную для понимания литературу по основам дифференциальных уравений.
То что посоветовал лектор:
- Л. Э. Эльсгольц — «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
- А. М. Денисов, А. В. Разгулин — «Обыкновенные Диф. Уравнения»
- И. Г. Петровский — «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений»
Я пока выбрал второе, так как книга вышла относительно недавно.
Разгулин денисов обыкновенные дифференциальные уравнения
Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939 (pdf)
Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (pdf)
Аносов Д.В. (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). М.: Мир, 1977(pdf)
Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (pdf)
Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970 (pdf)
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)
Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 (pdf)
Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969 (pdf)
Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950 (pdf)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (pdf)
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967 (pdf)
Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974 (pdf)
Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913 (pdf)
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979 (pdf)
Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: АН БССР, 1963 (pdf)
Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГУ, 1956 (pdf)
Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)
Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)
Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989 (pdf)
Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991 (pdf)
Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971 (pdf)
Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972 (pdf)
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). М.: Наука, 1971 (pdf)
Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959 (pdf)
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979 (pdf)
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958 (pdf)
Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (pdf)
Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (pdf)
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (pdf)
Коялович Б.М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy-ydx=Rdx. СПб: Академия наук, 1894 (pdf)
Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959 (pdf)
Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962 (pdf)
Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933 (pdf)
Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957 (pdf)
Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. Л.-М., ГИТТЛ, 1934 (pdf)
Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964 (pdf)
Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (pdf)
Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961 (pdf)
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (pdf)
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966 (pdf)
Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977 (pdf)
Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук. думка, 1972 (pdf)
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967 (pdf)
Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975 (pdf)
Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (pdf)
Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910 (pdf)
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969 (pdf)
Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947 (pdf)
Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964 (pdf)
Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1973 (pdf)
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947 (pdf)
Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964 (pdf)
Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987 (pdf)
Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 1. М.: ИЛ, 1953 (pdf)
Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 2. М.: ИЛ, 1954 (pdf)
Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970 (pdf)
Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977 (pdf)
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). М.: ГТТИ, 1950 (pdf)
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959 (pdf)
Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 1. М.: ИЛ, 1960 (pdf)
Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 2. М.: ИЛ, 1961 (pdf)
Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962 (pdf)
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977 (pdf)
Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966 (pdf)
Фрёман H., Фрёман П.У. ВКБ-приближение М.: Мир, 1967 (pdf)
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 (pdf)
Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965 (pdf)
Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964 (djvu)
Четаев Н.Г. Устойчивость движения (3-е изд.). М.: Наука, 1965 (pdf)
Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947 (pdf)
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969 (pdf)
Контакты
- Адрес: пр. Ленина 31 Город: Якутск, 677027 Эл. почта: ikfia@ysn.ru Тел.: +7 (4112) 390-400 Факс: +7 (4112) 390-450 Охрана тел.: +7 (4112) 390-489 Охрана тел.: +7 (4112) 335-176
Новости
XIV конференция научной молодежи «Актуальные вопросы космофизики». Итоги конференции
Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера СО РАН в рамках чтений, посвященных 100-летию со дня рождения организатора аэрономического.
XIV конференция научной молодежи «Актуальные вопросы космофизики». Второе информационное сообщение
Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера СО РАН в рамках чтений, посвященных 100-летию со дня рождения организатора аэрономического.
Приказ ИКФИА №13-к от 04.02.2022 о деятельности Института в условиях недопущения дальнейшего распространения новой коронавирусной инфекции
3 января 2022 г. исполнилось 100-лет со дня рождения к.ф.-м.н. Самсонова Владимира Парфеньевича – организатора аэрономического направления и исследований полярных сияний в Институте.
В честь юбилея 11 февраля 2022 г. в режиме видеоконференции планируется проведение научных чтений, совмещенных с празднованием Дня науки и.
http://qna.habr.com/q/248566
http://ikfia.ysn.ru/obyknovennye-differentsialnye-uravneniya/