Различные методы решения квадратных уравнений

Различные методы решения квадратных уравнений

7.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов

Таким образом, ясно, что при решении квадратных уравнений учащиеся нашей школы используют традиционно формулы дискриминанта и корней уравнения, что требует громоздких вычислений и как следствие больших затрат времени, что непозволительно в процессе сдачи экзаменов.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений.

Задачи:

1.Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений

2. Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.

3. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.

4.Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений.

3.Показать нестандартные способы решения квадратных уравнений. Сделать выводы.

5. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Актуальность темы: тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Тема исследования:

Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: анкетирование, сбор статистических данных, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.

Итог работы.

Каждый ученик должен прийти к выводу «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный»

Глава 1. Историческая справка.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под редакцией С. А. Теляковского за 8 класс. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Рациональные приемы решения квадратных уравнений в полном объеме освещены на сайтах интернет.

Таким образом, изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

2.1. Определение квадратного уравнения

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

● Пример. 8x 2 – 7x + 3 = 0

В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

● Пример. х 2 – 11х+30=0, х 2 – 8х= 0.

2.2. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Выделим из трехчлена х 2 – x- –квадрат двучлена. Для этого разность

х 2 – х представим в виде х 2 – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

Отсюда х 2 – 2· х + = + ,

Следовательно, х — = – или х — = , ,

Уравнение имеет два корня: – и 1.

2.3. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение

Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Выделим из трехчлена х 2 + х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х 2 + х представим в виде х 2 +2х∙ ,прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0.

Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4a–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b 2 – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.

D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

– выражение b 2 – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.

D= b – 4ас =(–3) – 4ас= 9–8= 1; 2 корня.

2.Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

Пример. Рассмотрим уравнение 9х 2 +6х+1= 0.

D= b – 4ас=6 – 4ас=36–36= 0; 1 корень.

3. Если D 0. тогда это уравнение имеет два корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.

D =1, уравнение имеет два корня. х₁ = 2 и х₂ = 1, p= –3; q= 2.

По теореме Виета x₁ + x ₂ =-p , значит 2 + 1= 3;

Следовательно, х ₁ = 2 и х₂ = 1 являются корнями уравнения х 2 – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х₁ и х ₂ равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение

равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 40=0.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х 2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения

Итак, квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, которые сама очень активно применяю.

Глава 3. Рациональные способы решения квадратного уравнения.

3.1.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +4х – 5= 0.

Значит, корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0 , то х ₁ =1 , х ₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение 2х 2 +8х +6 = 0.

2) Если b= а+c, то х₁ =-1, х ₂ = — . 8= 2+6

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.

Отсюда следует, что если b= а+c , то х₁ = -1 , х ₂ =

Пример 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Пример 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

3). Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример. Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

3.2. Способ «переброски».

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

2х 2 – 11х+5=0 х 2 – 11х+10= 0

х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

4х 2 -37 х +9 =0 Ответ: ¼, 9

3.3.Закономерность коэффициентов

1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ах 2 + (а 2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х +6 = 0.

2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 – (а 2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 –99х – 10 = 0.

3.4.Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х 2 = 4. Ответ: х1 = — 1;

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Итак, квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений полных уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы, основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения. В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решения квадратных уравнений , решать уравнения стало намного намного проще и быстрее.

Предложенные методы решения квадратных уравнений просты в применении, и они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Заключение.

Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой я узнала много нового из истории квадратных уравнений, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем.

В процессе работы мною создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого мною проведена успешная апробация этих приемов. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще полностью не изучена, она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных занятий по математике. Материалом могут воспользоваться те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1.Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.

2.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.

3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.

Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

10 способов решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Определение 2 . Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

2. Метод выделения полного квадрата двучлена.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

тогда, данное уравнение можно записать так:

х + 3=4 или х + 3 = -4

3.Решение квадратных уравнений по формулам.

а) Решим уравнение:

б) Решим уравнение:

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

2) Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 — 3+1=0, значит х ₁ = — 1, х ₂ = -с/а= -1/2

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0 .

Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

1способ . Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

х= -1 и х=3, тогда f (-1)= f (3)=0.

3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу (рис 2).

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

Преобразуем уравнение к виду .

Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ).

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B , значит, .

3 способ

Преобразуем уравнения к виду.

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.4) Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому .

Преобразуем уравнение к виду , затем т.е.

Построим в одной системе координат параболу и прямую . Они пересекаются в точках А(-1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек А и В, поэтому (рис.5) .

Рис.5

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую (рис.6). Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, .

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х ₁ ; 0) , где х ₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис.9).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1).

9. Решение квадратных уравнений с помощью

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

3) Для уравнения z 2 — 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 — 5 t + 2,64 = 0,

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0 .

Решение представлено на рис 13. где

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у ₁ = 2, у ₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 14. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у — 3 . Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25 , или у — 3 = ± 5, где у ₁ = 8 и у ₂ = — 2.

10 способов решения квадратных уравнений

Исследовательская работа по теме «10 способов решения квадратных уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 8А класса

МБОУ «СОШ № 59г.Барнаула

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики, МБОУ «СОШ № 59»

I. История развития квадратных уравнений ……………………………. 3

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 4

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………5

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………………6

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми …………………………………….7

5. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв………………. 9

II. Способы решения квадратных уравнений ………………………. 11

1. Разложение левой части уравнения на множители………………. 12
2. Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13
3. Решение квадратных уравнений по формулам …………………..………14
4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 16

5.Решение уравнений способом переброски»……………………………….18

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 19

7.Графическое решение квадратного уравнен……………………..……….. 21

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……….. 24

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………. 26

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений……………….28

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособы решения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.