Различные методы решения систем уравнений исследовательская работа

Различные методы решения систем уравнений исследовательская работа

Различные способы решения уравнений и систем линейных уравнений

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение

Уже третий год я занимаюсь очень интересным делом – исследовательской работой. В этот раз я выбрала не менее познавательную тему, чем предыдущие. «Различные способы решения уравнений и систем линейных уравнений». В прошлом году у меня была похожая тема о нестандартных задачах, с которыми мы так часто встречаемся на олимпиадах и ,к сожалению, теряемся. Она дала мне большой опыт и много новых знаний. Такой же результат у меня и с новой работой этого года.

Я решила остановиться именно на уравнениях, потому что они занимают ведущее место в школьном курсе алгебры. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоритическое значение, но и служит целям, с которыми мы встречаемся на практике. Большинство задач о количественных отношениях сводится к решению различных видов уравнений. Изучая способы их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.) Но конечно главное в изучении уравнений, как и в любых других темах, – это самостоятельная и очень усердная работа.

Главная цель – поиск наиболее оптимальных способов решения систем уравнений, которые помогают нам углубляться в тему, закреплять, расширять наши теоритические знания, но приступая к ней, понадобится немало общематематических представлений, понятий, умений.

История уравнений

В далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, еще не было ни монет, ни кошельков. Но были кучи, а также горшки, корзины, которые успешно заменяли тайники-хранилища, вмещающих неизвестное количество предметов. Они использовались даже в древних задачах: «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы очень даже успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном источнике не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь- мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Сама алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска решениий однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.

Под влиянием исследований молодого французского математика Э.Галуа (1811-1832) в дальнейшем развитии, особенно в двадцатом веке, алгебра все более определялась как наука об общих алгебраических операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит далеко за приделы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и техники, при этом неразрывно связана с уравнениями.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Оказывается, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя совершенную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и например, полные квадратные уравнения. Они появились у вавилонян в связи с землемерной практикой.

Правило решения уравнений, изложено в вавилонских текстах и совпадает по существу с современным, однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без способов их решения.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Зачатки алгебраического мышления находят и в египетских папирусах.

Например в папирусе Ахмеса (первый математик) есть специальный раздел «Вычисление кучи». Так же как и в Вавилоне под словом «куча» подразумевается неизвестная величина.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми (учёного математика азиатского происхождения) дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. a= bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. a = c.

3) «Корни равны числу», т. е. ax = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. a + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. a + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = a.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения + 21 =10x).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

Если а+ b+c= 0, то =1, =.

Пример. Рассмотрим уравнение +4х – 5= 0.

а+b+c= 1+4+(-5)= 0, следовательно, =1, = =-5. Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5.

Выполним проверку через дискриминант:

D= – 4ас= 16 – 4∙1∙(–5)= 36.

Если b= а+c, то = –1, = .

Пример. Рассмотрим уравнение 2+8х +6 = 0.

а+c=2+6=8, значит = –1, == -3. Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= – 4ас=64 – 4∙2∙6= 16.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

Далее легко найти корни по теореме Виета:

Но корни уравнения необходимо поделить на 2, тогда корни равны 5 и 0,5.

Иногда встречаются квадратные уравнения с большими коэффициентами. В этом случае полезно использовать их закономерность:

1) Если в уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен (+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a + (+1)∙ х+ а= 0, то его корни равны: = –а; = — – .

Пример. Рассмотрим уравнение 6 +37х +6 = 0.

37=+1, следовательно = -6; = — –.

2)Если в уравнении a – bx + c = 0 коэффициент b равен (+ 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a – (+1)∙ х+ а= 0, то его корни равны = а; = –.

Пример. Рассмотрим уравнение 15 –226х +15 = 0.

+1=226 и 15=15,значит = 15; = — –.

Если в уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен ( – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a – (-1)∙ х- а= 0, то его корни равны = –а; =–.

Пример. Рассмотрим уравнение 17 +288х – 17 = 0.

+1=228, а=с=17, значит = -17; = .

Если в квадратном уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен ( – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, имея вид a + (-1)∙ х- а= 0, то его корни равны = а; = .

Пример. Рассмотрим уравнение 10 –99 х – 10 = 0.

-1=99 и коэффициент а=с, следовательно, =10; = -0,2

Кубическое уравнение.

Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:

Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и почти не применяются на практике. Поэтому я рекомендую другой путь решения уравнений третьей степени.

1) Сначала путём подбора надо найти один из корней уравнения. Кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успешного нахождения корня при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 .

2) Второй этап решения – это деление многочлена a + b + cx + d на двучлен (x –x1). Согласно теореме Безу (Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами, при этом если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни — целые) это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём оставшиеся два корня, если они есть.

Пример . Решить уравнение: – 3 – 13x + 15 = 0 .

Найдём первый корень подбором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подставим в уравнение. В результате находим, =1.

Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем:

Теперь, решим квадратное уравнение: – 2x – 15 = 0

Задачи на уравнения:

Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если увеличить числитель дроби на 5, а знаменатель на 3, то дробь увеличится на . Найти дробь.

Решение: Пусть х- числитель дроби, а (х+1) – знаменатель, тогда дробь имеет вид:

Составим и решим уравнение:

2х(х+4) + (х+1)(х+4) – 2(х+5)(х+1) = 0

2+ 8х + + 4х + х + 4 – (2х +10)(х+1) = 0

2+ 8х + + 4х + х + 4 – 2 – 2х – 10х – 10 = 0

Следовательно: знаменатель равен х+1= 2+1=3, а числитель равен 2.

Задача из ОГЭ на составление уравнений:

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение: Пусть х км/ч – скорость третьего велосипедиста.

Составим и решим уравнение:

— =9, где х-21 и х-15 – скорости сближения.

Избавимся от знаменателя:

х-15(2*21) – 15(х-21) = 9(х-15)(х-21)

= = = 14-этот корень не подходит условию

Решение систем линейных уравнений.

Для того, чтобы решить систему уравнений, состоящую из двух или более уравнений, я рассмотрела несколько методов.

1)Составим первоначальную матрицу из коэффициентов при неизвестных и обозначим её :

1 2 1 2) Заменим первый столбец матрицы числами после знака равно:

3) Сделаем тоже самое со вторым и третьим столбцом:

4) Найдём определитель (дискриминант) для каждой матрицы:

x= 0, y=22, z=-33, = -11

5)Далее найдём корни по формулам:

Метод Гаусса(метод треугольника)

Оставляем первое уравнение без изменений и умножим его на то число, чтобы при сложении х уничтожился во втором. Т.е. второе уравнение после сложения уже записываем без х.

Далее, умножаем и первое, и второе уравнение на -2, чтобы и в третьем уравнении избавиться от х.

И наконец умножаем третье уравнение на -7, тем самым избавляясь при сложении от у.

х+2у+ z=-1 И методом подстановки находим все корни : z=3

-7у-4z=2 -7у=2+12, у= -2

Метод Гаусса(метод прямоугольников)

Составим матрицу и приведём её к единичной:

1 2 3 5 1 0 0 х

4 5 6 8 0 1 0 у

7 8 0 2 0 0 1 z

Первую троку оставляем без изменений; во второй строке первый коэффициент равен 0, а остальные два найдём с помощью метода прямоугольников:

Вместе с разрешающим элементом(1 в первой строке) и коэффициентом, который нам надо найти, составляем прямоугольник и вычитаем его диагонали: 1*5-2*4=-3.

Затем, составляем прямоугольник со вторым коэффициентом во второй строке(а первый равен 0) и так со всеми оставшимся числами.

1 2 3 5 1 2 3 5

0 -3 -6 -12 4 5 6 8

0 -6 -21 -33 7 8 0 2

Для того, чтобы упростить вычисления, сократим последние 2 строки на -3 и продолжим вычисление:

Теперь разрешающим элементов является 1 во второй строке.

1 2 3 5 1 0 -1 -3 Сократим и здесь третью строку на

0 1 2 4 0 1 2 4 (-3)

0 2 7 11 0 0 3 3

Получим новую матрицу с разрешающим элементом 1 в третьей строке:

1 0 -1 -3 1 0 0 -2

0 1 2 4 0 1 0 2

0 0 1 1 0 0 1 1

Крайние числа в последней матрице и есть корни уравнения:

Заключение

Я исследовала различные методы для решения уравнений и систем линейных уравнений, чтобы развивать потребность у старшеклассников в нахождении рациональных способов их решения.

Обобщая нестандартные методы решения систем линейных уравнений, работа может быть рекомендована как учащимся школы, так и студентам первого курса.

Я постараюсь продолжить работу над этой темой дальше, чтобы находить и совершенствовать навыки интересных, нестандартных и оптимальных способов решения.

Список использованной литературы:

5) А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г., 99 стр.

6) В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г.

Исследование различных методов решения систем уравнений

Решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и прочих явлений и процессов. По статистике, представленной на сайте Федерального института педагогических измерений решили систему уравнений (задание № 21) на 2 балла 24%, на 1 балл – 35% обучающихся. Остальные не справились с этим заданием.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают трудности при решении систем уравнений. Я учусь в 9 классе и мне хотелось бы набрать хорошие баллы по математике на ОГЭ. Поэтому мы решили проанализировать методы решения задач систем уравнений, и нами была выдвинута гипотеза: если ученик будет владеть несколькими методами решения систем уравнений, то он сможет при решении системы выбрать наиболее рациональный метод.

Цель: исследовать различные методы решения систем уравнений.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Изучить метод Крамера для решения систем уравнений.

3. Сравнить различные методы решения систем уравнений.

4. Проверить экспериментальным путем, какой метод решения систем уравнений наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

Вывод: графический метод решения систем уравнений красив, но ненадёжен. Во -первых, потому, что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда. Во-вторых, даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими». По нашему мнению, учащийся должен владеть несколькими методами решения систем уравнений, для того чтобы не только воспользоваться самым рациональным, но и для проверки точности вычисления.

Исследовательский проект на тему: «Системы уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы уравнений
Проект выполнил
ученик 9 класса Б
МАОУ лицея №20

Руководитель проекта
Поличева Н.М.

Как научится решать системы уравнений с двумя переменными из ОГЭ по математике?

Проблема проекта:
Добавить нижний колонтитул
2

Цели:
1)Осознать и осмыслить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.
2)Решить задачи и уравнения, которые представлены в ОГЭ.
3)Сделать вывод о проделанной работе .

Задачи:
1) Вспомнить все виды решения уравнений.
2) Через решение уравнений и задач развить творческую и мыслительную деятельность учащихся.
3) Научиться решать и проверять результаты своей деятельности.

Определение:
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменны.
Добавить нижний колонтитул
5

История уравнений
Уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами , имеет бесчисленное множество решений и является неопределенным.
Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы.
В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений.

Добавить нижний колонтитул
6

Задачи на составление и решение систем уравнений встречаются в вавилонских и египетских текстах 2 тысячелетия до н.э., в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик Лейбниц.

Добавить нижний колонтитул
7

Основные методы решения систем уравнений
И
1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

3.Метод решения уравнения с системой графическим способом.
шаблона
4. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы. обратная связь
8

Добавить нижний колонтитул
14
Вывод:
Работа над проектом, используя учебные пособия, а также применение полученных знаний на практике – это реальная возможность решить задание № 21 и подготовиться к ОГЭ по математике, и сдать его на хорошую оценку.

https://oge.sdamgia.ru/
https://www.google.com/search
Учебник Алгебры Ларин ОГЭ
Консультация с педагогом по математике
Учебник Алгебры 9 класс Мордкович
https://www.google.com/search

Список литературы:
Добавить нижний колонтитул
15

Спасибо за внимание

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 603 материала в базе

Другие материалы

• 01.04.2021
• 170
• 3

• 01.04.2021
• 192
• 2

• 01.04.2021
• 166
• 0

• 01.04.2021
• 128
• 0

• 01.04.2021
• 117
• 0

• 01.04.2021
• 118
• 1

• 01.04.2021
• 190
• 4

• 01.04.2021
• 126
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.04.2021 323
• PPTX 2.6 мбайт
• 22 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Поличева Наталья Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 36
• Всего просмотров: 47564
• Всего материалов: 75

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.