Различные типы уравнений на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости

• Различные типы уравнений, действующих непосредственно на плоскости Самая простая линия — это прямая линия. Различные способы определения прямых соответствуют различным типам уравнений в декартовых системах координат. 1. Линейное уравнение с угловым коэффициентом Дает произвольную прямую линию на плоскости Ohu, которая не параллельна оси Oy. Его положение полностью определяется ординатой b пересечения N (Q; b) с осью Oy и углом a между осью Oh и линией. Под углом o; (0 ^ a Людмила Фирмаль

Знак свободного члена C общего уравнения для прямой. Пример: приведите уравнение -3x-b 4y + 15 = 0 к стандартной форме. ♦ Коэффициент нормализации Л = — ^ Д3 ^ 2 + 42 = Умножьте это уравнение на A, чтобы получить желаемое нормальное уравнение для линии. — 3 = 0.Это удовлетворяется координатами любой точки M (x; y) на прямой.

Вы можете видеть, что любая точка P (x; y) Примеры решения и задачи с методическими указаниями

• Не существует В этом случае линейное уравнение имеет вид х = а, (2) Где а — абсцисса пересечения линии и оси Ox. Обратите внимание, что уравнения (1) и (2) являются линейными уравнениями. 2. Общее уравнение прямой Рассмотрим уравнение первого порядка относительно общего вида x и y. Ax + By + C = 0, (3) Где A, B и C — произвольные числа, а A и B — одновременно ненулевые. Уравнение (3) указывает, что это линейное уравнение. Есть два случая. Если B = 0, форма уравнения (3) имеет вид Ax + C = 0, AΦ0, т.е. x = -Это линейное уравнение, параллельное оси Oy и проходящее через точку В случае ΦΦ0 y =-получается из уравнения (3).

Это линейное уравнение с угловым коэффициентом k = tgc * = -. Некоторые частные случаи общего уравнения прямой: 1) Если A = 0, уравнение сводится к виду y =. Это линейное уравнение, параллельное оси Ox 2) Когда B = 0, линия параллельна оси Oy. 3) Если C = 0, получить Ax + By = 0. Координаты точки 0 (0; 0) удовлетворяют уравнению, и линия проходит через начало координат.

Следовательно, уравнение (3) является линейным уравнением и называется общим линейным уравнением. Людмила Фирмаль

Линейное уравнение через заданную точку В этом направлении Сделайте так, чтобы линия проходила через точку M (x0; y0), и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение для этой линии можно записать в виде y = kx 4-6. Поскольку прямая проходит через точку M (x0, y0), координаты точки удовлетворяют уравнению линии y0 = kx o + b.

Следовательно, 6 = уо-кхо. Подставляя значение b в выражение y = kx + b, получаем искомое выражение для строки y = kx + yo-kx0. у-йо = к (х-хо). (4) Уравнение (4) с различными значениями k также называется уравнением пучка вокруг точки M (x0 ‘, Y0). • Из этого карандаша невозможно определить только прямые линии, параллельные оси Oy. 4. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть прямая проходит через точки M \ (x \ y ) и M2 (x2 ‘, Y2). Форма уравнения для прямой, проходящей через точку Mb: Y

2 / i = k (x-zi), (5) Где k — неизвестный коэффициент Поскольку прямая проходит через точку M2 (^ 22/2)>, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (5): Y2-Y1- = k (x2-x1).

Найти k = ^ отсюда — заменить найденное X2-X \ Получите уравнение для прямой, которая проходит через значения k, точек M \ и M ^ в уравнении (5). L = (б) 2 / 2-2 / 1- Для этого уравнения Xi × X2, Y \ Φy-X2 = xi прямая, проходящая через точки M \ yi) и M2 (x2] Y2), предполагается параллельной оси ординат. Форма уравнения: х = х . Если y2 = 2 / s, уравнение линии можно записать в виде y = y / i. Линия M-yM2 параллельна горизонтальной оси.

Уравнение отрезка Линия пересекает ось Ox в точке M \ (a; 0) и ось Oy в точке Mg (0; b). В этом случае уравнение (6) принимает следующий вид: U- 0 Это 6-0 0-а ‘ Это уравнение называется линейным сегментным уравнением. Это связано с тем, что числа a и b указывают, какой отрезок отрезает линия по координатным осям. , х-а Х у

+ I = L a b в Mg (0; 6) б \ ИЛИ ®

Уравнение прямой через заданную точку, перпендикулярную этому вектору Найти линейное уравнение через заданную точку M0 (x0 \ y0), перпендикулярную данному ненулевому вектору n = (A; B). Возьмем произвольную точку M (x; y) на прямой и рассмотрим вектор M0M- (x-x0; Y-Yo). • Векторы n и McM являются вертикальными, поэтому их скалярное произведение равно нулю. A (x-x0) + B (y-yo) = 0. (7) Уравнение (7) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору и y. Вектор ri = (A) B), перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой прямой.

Уравнение (7) можно переписать в следующем формате Ax + By + C = 0, (8) Где A и B — координаты нормального вектора, а C = —Aho — W / o — свободный член. Уравнение (8) является общим уравнением для линии (см. (3)). 7. Полярные координатные уравнения для прямых Найти линейные уравнения в полярных координатах. Его положение может быть определено путем указания расстояния p от полюса O до конкретной линии и угла a между полюсом OP и осью I через полюс O, перпендикулярный этой линии. Для любой точки M (r;

с другой стороны, pR / OM = \ OM \ cos (a-

Следовательно, линейное уравнение (9) в декартовой системе координат принимает вид: x-cosо4-у • sinа-р = 0. (10) Уравнение (10) называется линейным нормальным уравнением. 44 года п / / a \ x о Вот как можно сделать уравнение (3) прямой в виде (10). Умножим все слагаемые в уравнении (3) на некоторый коэффициент, чтобы получить Л ^ ОХЛх + ХВу + АС = 0. Это уравнение становится уравнением (10). В результате должно быть выполнено уравнение: A / 4 = cos a-, XB = sin a, A C = -p. Из первых двух уравнений найдите Л2А2 + A2J52 = cos2 a + sin2а, т.е. А = ±> * y / A2 + B’2 Х называется нормировочным фактором. Согласно третьему уравнению АС = -р, знак нормировочного коэффициента меняется на противоположный

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Общее уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости

Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы были компланарны. ( ) = 0

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и вектор .

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D

, заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: ; Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где – радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

– единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  – углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos – p = 0.

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.