Различные уравнения прямой в пространстве презентация

Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемМария Желвакова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между.» — Транскрипт:

1 Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Точка пересечения прямой и плоскости

2 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая L проходит через данную точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно вектору: Каноническое уравнение прямой М0М0 L М Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в том случае, если векторы и коллинеарны По условию коллинеарности двух векторов: — направляющий вектор прямой

3 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2 ). М1М1 М2М2 Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки L

4 Параметрическое уравнение прямой При решении многих практических задач используют параметрическое уравнение прямой, которое получается из канонического уравнения: Параметрическое уравнение прямой

5 Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Пусть две непараллельные плоскости заданы общими уравнениями: Эти плоскости определяют единственную прямую в пространстве: L Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей

6 Пример Написать каноническое уравнение прямой: Найдем точку, принадлежащую прямой, то есть удовлетворяющую системе уравнений. Пологая z равному любому числу, например, z = 0, получим: Точка M 0 (11; -8; 0) – принадлежит прямой Найдем координаты направляющего вектора прямой:

7 Угол между прямыми Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Углом между этими прямыми называется угол между направляющими векторами к этим прямым. L1L1 L2L2

8 Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая L задана каноническим уравнением: Плоскость p задана общим уравнением: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость. L р

9 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, и скрещиваться. совпадать, В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

10 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Для принадлежности двух прямых одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора: М1М1 М2М2 L1L1 L2L2 были компланарны. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

11 Точка пересечения прямой и плоскости При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости следует совместно решить систему уравнений: К При этом необходимо: Записать уравнение прямой в параметрическом виде:

12 Точка пересечения прямой и плоскости Подставить t 0 в параметрическое уравнение прямой: Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z: Решить полученное уравнение относительно t:

13 Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости. Напишем параметрическое уравнение прямой: Подставим в уравнение плоскости: Подставим в уравнение прямой:

Презентация по математике на тему: «Прямая в пространстве. Взаимное положение прямой и плоскости. Уравнение прямой на плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прямая в пространстве Взаимное положение прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости

Прямая в пространстве Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении Пусть точка принадлежит прямой , а направление совпадает с вектором . Возьмем произвольную точку . Тогда и по свойствам векторов , где – параметр. Равенство – векторное уравнение прямой. Представим его в координатной форме: – параметрическое уравнение прямой. Выразим . Тогда , приравняем эти выражения, получим каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой , проходящей через две точки Пусть точки и , которые принадлежат прямой . Примем вектор за , направляющий вектор, а точку за точку и подставим их в каноническое уравнение прямой. Тогда . Пример: Прямая, проходящая через точку с направляющим вектором . Взаимное расположение двух прямых в пространстве Рассмотрим две прямые , заданные точками и с направляющими векторами . Тогда уравнения этих прямых соответственно

Данные прямые могут быть скрещивающими или лежать на одной плоскости. Рассмотрим векторы . Составим смешанное произведение этих векторов: Тогда, если прямые скрещивающиеся, данные три вектора не могут лежать в одной плоскости, то есть через них нельзя провести плоскость и . Если же прямые лежат в одной плоскости, то есть данные векторы компланарны, то . Во втором случае может быть три случая: Прямые будут параллельны, тогда их направляющие векторы коллинеарны. , по свойствам векторов:

Прямые перпендикулярны, тогда их направляющие векторы перпендикулярны, то по свойствам векторов скалярное произведение равно нулю. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а именно . Прямые будут совпадать, если все три вектор будут коллинеарными, другими словами все три строки определителя будут пропорциональны. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть плоскость задана общим уравнением , прямая параметрическим уравнением: . .

Подставим из уравнения прямой в уравнение плоскости. Тогда Если , то . Подставим полученное значение параметра в уравнение прямой, получим выраженные единственным образом значения , которые определяют координаты единственной точки, являющейся точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, – условие пересечения прямой и плоскости. Если и , то получаем уравнение – любое число, другими словами имеем бесконечное число решений, то есть бесконечное число точек пересечения прямой плоскости, получается ,что прямая лежит на плоскости. Если и , то , получаем противоречие, следовательно, нет решений и нет общих точек, то есть прямая и плоскость параллельны.

Угол между прямой и плоскостью Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая каноническим уравнением: и пересекает данную плоскость. Возможны два варианта: а) Рис. 1 б) – угол между прямой и плоскостью, – угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Видно, что в случае а) (острый угол), а в случае б) (тупой угол). Объединив, эти формулы получим: .

Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Так как мы будем рассматривать прямую на плоскости, то ее можно представить как пересечение плоскости с координатной плоскостью с уравнением z=0, то общее уравнение прямой примет вид: Тогда – общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи общего уравнения прямой , то есть прямая проходит через начало координат. , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая совпадает с осью . , то есть прямая совпадает с осью .

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть и – точки через которые проходит заданная прямая. Вспомним соответствующее уравнение прямой в пространстве: Тогда отбрасывая координаты z, получим , где – направляющий вектор. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая проходит через точки и . Представим, что и подставим в уравнение прямой, проходящей через две точки. Тогда или . Пример: .

Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении Пусть направляющий вектор задан, как . Из уравнения прямой, проходящей через две точки получим Таким образом, получили уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении: , где . Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая проходит через точку , то есть . Тогда, подставив в предыдущее уравнение данные значения, получим , где – начальная ордината. Экономический смысл начальной ординаты: уравнение вида описывает процесс накопления капитала, где – время. Тогда при , получаем что – начальный капитал.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости Рассмотрим две прямые и заданные общими уравнениями. По аналогии с плоскостью, прямые параллельны, если их нормальные векторы параллельны. Тогда условие параллельности прямых можно записать как или , так как . Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны. Условие перпендикулярности можно записать как или . Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами, а следовательно Прямые будут совпадать, если

Задания для самостоятельной работы. 1. Ответить на вопросы: Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии? Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями? Что называется порядком алгебраической линии? Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это сделать? Как найти расстояние от данной точки до прямой, заданной уравнением общего вида? Напишите уравнения осей декартовой системы координат. 2. Написать каноническое уравнение прямой 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 4. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1), В(-5; 2) и С(-2; 3). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;-1) и образующей с осью Оу угол 60°.

Краткое описание документа:

Данная презентация-сопровождение предназначена для чтения лекций в ВУЗах. Рассчитана на 2-3 академических часа.

В презентациях отображается основной теоретический материал, предлагаются примеры и задания для самостоятельного выполнения.

Создание подобных презентаций дает ряд преимуществ преподавателю при проведении лекций:

1. возможность использования готовых лекций, а также составление своих собственных, путем редактирования или дополнения уже имеющихся;

2. сокращение времени подготовки преподавателя к занятиям;

3. возможность организации дифференцированного подхода к обучению, в том числе и организация обучения студентов, находящихся на индивидуальном обучении (по причине болезни), или при опережающем обучении;

4. презентации помогают углубить восприятие материала и стимулируют мыслительную деятельность учащихся. Сочетание рассказа преподавателя с показом демонстрационного материала способствует развитию аудиовизуальной памяти, а также систематизации знаний. На основе презентаций у студентов формируются и закрепляются умения по составлению опорных схем и конспектов в рабочей тетради;

5. мультимедийное оформление слайдов, композиционный подбор материала способствуют развитию эстетического восприятия учащихся, стимулируют познавательную активность.

6. слайды содержат не только иллюстрации, но и трёхмерные модели, позволяющие студентам познакомиться с понятиями объёмных фигур в пространстве.

Презентация на тему: Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространствеПоскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.

Уравнение прямой в пространствеПрямую, проходящую через точку A0(x0,y0,z0) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениямиВ случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x2-x1,y2-y1,z2-z1) и в качестве точки А0 точку А1, получим следующие уравнения

Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые?

Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(1,-2,3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2,3,-1).

Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А1(-2,1,-3), А2(5,4,6).

Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1,2,-3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0.

Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые?

Упражнение 6 Определите взаимное расположение прямой, задаваемой уравнениями и плоскости, задаваемой уравнением x – 3y + z +1 = 0.

Упражнение 7 Найдите координаты точки пересечения плоскости 2x – y + z – 3 = 0 и прямой, проходящей через точки A(-1,0,2) и B(3,1,2).

Упражнение 8 Определите взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями

Упражнение 9 Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора (1,2,3). В начальный момент времени t = 0 она имела координаты (-1,1,-2). Какие координаты она будет иметь в момент времени t=4?

Упражнение 10 Параметрические уравнения движения материальной точки в пространстве имеют видНайдите скорость.

Упражнение 11 Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени t = 2 она имела координаты (3,4,0), а в момент времени t = 6 — координаты (2,1,3). Какова скорость движения точки?

Упражнение 12 Прямая в пространстве задана параметрическими уравнениями Напишите параметрические уравнения прямых, симметричных данной относительно координатных плоскостей.