Разложение левой части на множители тригонометрические уравнения

Разложение левой части на множители тригонометрические уравнения

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
• Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
• Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
• Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что, .

Ответ: , .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Ответ:

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

Ответ:

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot . \cdot f_n(x)=0\) где \(f_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right. \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2cosx cos2x=cosx\) \begin 2cosx cos2x-cosx=0\\ cosx(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые \(60^<\circ>=\frac\pi3\) Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара \(\frac\pi2+\pi k,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k\), равнозначная c \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac=0 $$ где \(f_i(x),\ g_i(x)\) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от \(x\).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: \( \begin \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right.\\ g_1(x)\ne 0\\ g_2(x)\ne 0\\ . \\ g_m(x)\ne 0\\ \end \)
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(ctgx-tgx=\frac<\frac12 sin2x>\)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac-\frac=\frac=\frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)> <\frac12sin2x>$$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)><\frac12sin2x>-\frac<\frac12sin2x>=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на \(1/2\) слева и справа, получаем: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)>=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для \(ctgx\) и \(tgx\). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: \begin \begin \left[ \begin cosx-sinx=0\\ cosx+sinx=1 \end \right.\\ sin2x\ne 0 \end \end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=0\ \ |: cosx\\ 1-tgx=0\Rightarrow tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=1\ \ | \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>cosx+\frac<\sqrt<2>><2>sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4\right)cosx+sin\left(\frac\pi4\right)sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4-x\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>> <2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4+2\pi k\Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2x\ne 0\Rightarrow 2x\ne \pi k\Rightarrow x\ne\frac<\pi k> <2>$$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k\Leftrightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end \right.\\ x\ne\frac<\pi k> <2>\end \end

За счет требования \(x\ne\frac<\pi k><2>\) исключаются семейства \(x=\frac\pi2+2pi k\) и \(x=2\pi k\).
Остается только \(x=\frac\pi4+\pi k\).
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где \(f(x)\) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=f(x)\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Если \(f(x)\) — синус или косинус, проверить условие \(-1\leq t_<1,2>\leq 1\). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin f(x)=t_1\\ f(x)=t_2 \end \right. \) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(3sin^2x+10cosx-6=0\)
Заменим \(sin^2x=1-cos^2x\). Получаем: \begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\\ -3cos^2x+10cosx-3=0\\ 3cos^2x-10cosx+3=0\\ \text<Замена:>\ t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\\ 3t^2-10t+3=0\\ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ t=\frac<10\pm 8><6>= \left[ \begin \frac13\\ 3\gt 1 — \text <не подходит>\end \right. \end Решаем \(cosx=\frac13\Rightarrow x=\pm arccos\frac13+2\pi k\)
Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k\)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=0\)
Делим на \(cosx\). Получаем: \(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k\)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^2x\) \begin \frac=\frac<0>\\ Atg^2x+Btgx+C=0 \end Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2 \end \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3\)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0\ |:\ cos^2x\\ 3tg^2x-tgx-4=0\\ \text<Зaмена:>\ t=tgx\\ 3t^2-t-4=0\\ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49\\ t=\frac<1\pm 7><6>= \left[ \begin -1\\ \frac43 \end \right. \end Решаем совокупность: \( \left[ \begin tgx=-1\\ tgx=\frac43 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg\frac43+\pi k \end \right. \)
Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k\)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на \(cos^n x\)
Шаг 2. Сделать замену переменных: \(t=tgx\). Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 \end Найти корни \(t_1, t_2. t_k,\ k\leq n\)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений \( \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2\\ . \\ tgx=t_k \end \right. \)
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение \(2sin^3x=cosx\)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0\ |:\ cos^3x\\ 2tg^x-tg^2x-1=0\\ \end Замена \(t=tgx\) дает кубическое уравнение: \(2t^3-t^2-1=0\)
Раскладываем на множители: \begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\\ =(t-1)(2t^2+t+1) \end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. \(D=1-4\cdot 2=-7 \lt 0\).
Получаем: \(2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0\)
Возвращаемся к исходной переменной:
\(tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k\)
Ответ: \(\frac\pi4+\pi k\)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение \(\sqrt<3>sin3x-cos3x=1\)
Делим уравнение на \( p=\sqrt<3+1>=2: \) \begin \sqrt<3>sin3x-cos3x=1 |:\ 2\\ \frac<\sqrt<3>><2>sin3x-\frac12cos3x=\frac12\\ sin\left(\frac\pi3\right)sin3x-cos\left(\frac\pi3\right)cos3x=\frac12\\ cos\left(\frac\pi3\right)cos3x-sin\left(\frac\pi3\right)sin3x=-\frac12\\ cos\left(3x+\frac\pi3\right)=-\frac12\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pm\frac<2\pi><3>+2\pi k\Rightarrow 3x= \left[ \begin -\pi+2\pi k\\ \frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin -\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>\\ \frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end
Ответ: \(-\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>,\ \ \frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида \begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 \end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение \(cos3x+sin2x-sin4x=0\)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac<2x-4x><2>cos\frac<2x+4x>=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin cos3x-2sinxcos3x=0\\ cos3x(1-2sinx)=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2sinx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ sinx=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin x=\frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end \right. \end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k\\ x=\frac\pi6+2\pi k=30^<\circ>+360^<\circ>k\Leftrightarrow x=30^<\circ>+60^<\circ>k=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac<5\pi><6>+2\pi k=150^<\circ>+360^<\circ>k \end \right. \end

Получаем, что семейства решений \(\frac\pi6+2\pi k\) и \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\) уже содержатся во множестве \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида \begin sinax\cdot cosbx=sincx\cdot cosdx,\ \ sinax\cdot sinbx=sincx\cdot cosdx\ \ \text <и т.п.>\end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение \(sin5xcos3x=sin6xcos2x\)
Заметим, что: \begin sin5xcos3x=\frac<2>=\frac<2>\\ sin6xcos2x=\frac<2>=\frac <2>\end Подставляем: \begin \frac<2>=\frac<2>\ |\times 2\\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\\ sin4x-sin2x=0\\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\\ sin2x(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin sin2x=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2x=\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Семейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: \( \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pi k \end \right. \)

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида \begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A \end используются формулы понижения степени: \begin sin^2x=\frac<1-cos2x><2>,\ \ cos^2x=\frac<1+cos2x> <2>\end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение \(sin^2x+sin^22x=1\)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin \frac<1-cos2x><2>+\frac<1-cos4x><2>=1\\ cos2x+cos4x=0\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=0\\ cos3xcosx=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ cosx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \end

\(x=\frac\pi2+\pi k\) является подмножеством \(x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\) Поэтому \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0\) используется замена \begin t=cosx\pm sinx \end

Например:
Решим уравнение \(sinx+cosx=1+sinxcosx\)
Замена: \(t=sinx+cosx\)
Тогда \(t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac<2>\)
Подставляем: \begin t=1+\frac<2>\Rightarrow 2(t-1)=t^2-1\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow (t-1)^2=0\Rightarrow t=1\\ sinx+cosx=1\ |\ \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>sinx+\frac<\sqrt<2>><2>cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ sin\frac\pi4 sinx+cos\frac\pi4 cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>><2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4 + 2\pi k\Rightarrow \Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Ответ: \(2\pi k,\ \ \frac\pi2+2\pi k\)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: \( \begin sinax=1\\ sinbx=1\\ . \\ cosdx=1\\ . \end \)
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение \(sinx+cos4x=2\)
Для этого нужно решить систему: \begin \begin sinx=1\\ cos4x=1 \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ 4x=2\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \end

Пересечением двух семейств решений будет только \(\frac\pi2+2\pi k\). Поэтому \begin \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \Leftrightarrow x=\frac\pi2+2\pi k \end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) \(4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4\)
Приводим уравнение к квадратному:
\(5sin^x+4cosx-4=0\)
\(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0\)
\(-5cos^2x+4cosx+1=0\)
\(5cos^2x-4cosx-1=0\)
Замена: \(t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\) \begin 5t^2-4t-1=0\Rightarrow (5t+1)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-\frac15\\ t_2=1 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin cosx=-\frac15\\ cosx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k\\ x=2\pi k \end \right. \end Ответ: \(\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k,\ \ 2\pi k\)

б) \(6sinxcosx=5cos2x\)
\(6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x\)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
\(3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x\)
\(3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)
Ответ: \(\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>\)

в) \(9cos^2x-5sin2x=-sin^2x\)
\(5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx\)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
\(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x\)
\(tg^2x-10tgx+9=0\)
Замена: \(t=tgx\) \begin t^2-10+9=0\Rightarrow (t-1)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=9 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin tgx=1\\ tgx=9 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg9+\pi k \end \right. \end Ответ: \(\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg9+\pi k\)

г) \(cos3x-1=cos6x\)
Косинус двойного угла: \(cos6x=2cos^2 3x-1\)
Подставляем и раскладываем на множители:
\(cos3x-1=2cos^2 3x-1\)
\(cos3x-2cos^2 3x=0\)
\(cos3x(1-2cos3x)=0\) \begin \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2cos3x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ cos3x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ 3x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k=<. -90^<\circ>,-30^<\circ>,30^<\circ>,90^<\circ>,150^<\circ>. >\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>= \left[ \begin -20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -140^<\circ>,-20^<\circ>,100^<\circ>. >\\ 20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -100^<\circ>,20^<\circ>,140^<\circ>. > \end \right. \end \right. \end Семейства не пересекаются.
Ответ: \(\frac\pi6+\frac<\pi k><3>,\ \ \pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\)

д) \(\sqrt<3>sin2x-cos2x=-\sqrt<3>\)
Разделим на \(p=\sqrt<3+1>\) и введем дополнительный угол:
\(\frac<\sqrt<3>><2>sin2x-\frac12 cos2x=-\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(\frac12cos2x-\frac<\sqrt<3>><2>sin2x=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac<\sqrt<3>><2>\)
\(2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k\)
\(2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin -\frac<\pi><6>+2\pi k\\ \frac\pi2+2\pi k \end \right. \)
\( \left[ \begin x=-\frac<\pi><12>+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. \) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: \(-\frac<\pi><12>+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k\)

е) \(cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x\)
Формула понижения степени: \(cos^2x=\frac<1+cos2x><2>\)
Подставляем: \begin \frac<1+cos2x><2>+\frac<1+cos4x><2>=\frac<1+cos6x><2>+\frac<1+cos8x><2>\\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=2cos\frac<6x+8x><2>cos\frac<6x-8x><2>\ |:\ 2\\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\\ cosx(cos3x-cos7x)=0\\ cosx\left(-2sin\frac<3x+7x><2>sin\frac<3x-7x><2>\right)=0\\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\\ 2cosxsin5xsin2x=0\\ cosxsin5xsin2x=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ sin5x=0\\ sin2x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 5x=\pi k\\ 2x=\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для \(x=\frac<\pi k><2>\) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Ответ: \(\frac<\pi k><5>,\ \ \frac<\pi k><2>\)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0 \end ОДЗ: \(tgx\ne \pm 3\)
1) Если \(cosx\ne 0\), то последнее слагаемое \(\frac=\frac<\frac><\frac>=\frac\)
Получаем: \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0\\ \frac<4(tgx-3)-18+tgx(tgx+3)><(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \frac<(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \end Замена: \(t=tgx\) \begin \frac<(t+3)(t-3)>\Rightarrow \begin t^2+7t-30=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin (t+10)(t-3)=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin t=-10\\ t=3 \end \right.\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow\\ t=-10 \end Получаем: \begin tgx=-10\\ x=arctg(-10)+\pi k=-arctg10+\pi k \end
2) Проверим, является ли \(cosx=0\) решением.
При \(cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty\). Первое слагаемое \(\frac<4>\rightarrow\frac<4><\infty>\rightarrow 0\)
Второе слагаемое \(\frac<18>\rightarrow\frac<18><\infty>\rightarrow 0\)
Третье слагаемое \(\frac\rightarrow\frac<1><1-0>=1\ne 0\)
Сумма слагаемых в пределе \(tgx\rightarrow\infty\) равна \(0+0+1=1\ne 0\)
\(cosx=0\) решением не является.
Ответ: \(-arctg10+\pi k\)

б) \(\frac<3>+1=7\frac<|cosx|>\)
ОДЗ: \(cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k\) \begin |cosx|= \begin cosx,\ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac\pi2+2\pi k\\ -cosx,\ \frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac<3\pi2><2>+2\pi k \end \end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) \begin \frac<3>+1=7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\\ 3tg^2-7tgx+4=0\\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\\ \left[ \begin tgx=\frac43\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=arctg\frac43+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac<5\pi><4>\) и \(\pi+arctg\frac43\), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: \(\frac\pi4\) и \(arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения период будет не \(\pi k\), а \(2\pi k\). \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k \end \right. \end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin \frac<3>+1=-7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\\ 3tg^2x+7tgx+4=0\\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\\ \left[ \begin tgx=-\frac43\\ tgx=-1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-arctg\frac43+\pi k\\ x=-\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: \(-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: \(\frac<3\pi><4>\) и \(\pi-arctg\frac43\). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом \(2\pi k\). \begin \left[ \begin x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

3) Объединяем полученные решения: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ \left[ \begin x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k\\ \end

Окончательно получаем: \( \left[ \begin x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k \end \right. \).
Ответ: \((-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k\)

г) \(3sinx-4cosx=5\)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
\(p=\sqrt<3^2+4^2>=5\)
\(\frac35sinx-\frac45 cosx=1\)
\(sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
\(sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1\)
\(cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1\)
\(cos(x+\alpha)=-1\)
\(x+\alpha=\pi+2\pi k\)
\(x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin sin\alpha=\frac<2tg\frac<\alpha><2>><1+tg^2\frac\alpha2>,\ \ cos\alpha=\frac<1-tg^2\frac\alpha2><1+tg^2\frac\alpha2>\\ 3\cdot \frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>-4\cdot\frac<1-tg^2\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>=5\\ \frac<6tg\frac<2>-4\left(1-tg^2\frac<2>\right)-5\left(1+tg^2\frac<2>\right)><1+tg^2\frac<2>>=0 \end \(1=tg^2\frac<2>\geq 1\), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: \begin -tg^2\frac<2>+6tg\frac<2>-9=0\Rightarrow tg^2\frac<2>-6tg\frac<2>+9=0\Rightarrow\left(tg\frac<2>-3\right)^2=0\Rightarrow tg\frac<2>=3\\ \frac<2>=arctg3+\pi k\Rightarrow x= 2arctg3+2\pi k \end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text<и>\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3\), и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) \(2arctg3=\varphi\). Тогда \(arctg3=\frac\varphi2\) и \(tg\frac\varphi2=3\).
А в левой части равенства (*) \(arcsin\frac35=\alpha\) и \(sin\alpha=\frac35\)
Угол \(0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2\) расположен в 1-й четверти.
Угол \(\varphi=2arctg3\) расположен во 2-й четверти \((cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)\). $$ cos\varphi=\frac<1-tg^2\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<1-3^2><1+3^2>=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac<2tg\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<2\cdot 3><1+3^2>=\frac35 $$ Получаем, что для угла \(\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45\)
Для угла \(\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45\)
Откуда следует, что \(\alpha=\pi-\varphi\). Что и требовалось доказать.
Ответ: \(-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\) или \(2arctg3+2\pi k\) (т.к. \(-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)\)