Разложение матрицы на линейное уравнение

Решение СЛАУ методом LU-разложения

Пусть система уравнений задается в виде:

Пример №1 . Дана система линейных уравнений. Решить ее методом LU-разложения.
Решение. Алгоритм декомпозиции основан на идее представления исходной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц. Пусть задана квадратная матрица:
Представим A в виде: A=BC
Покажем пример вычислений нескольких значений матриц B и C.
Вычисляем значение элемента b₁₁=1
c₁₁=1/1=1
c₁₂=3/1=3
c₁₃=3/1=3
Вычисляем значение элемента b₂₁=1
Вычисляем значение элемента b₂₂=-2 — (1 • 3)=-5
c₂₂=-5/(-5)=1
c₂₃=0/(-5)=0
Вычисляем значение элемента b₃₁=3
Вычисляем значение элемента b₃₂=3 — (3 • 3)=-6
Вычисляем значение элемента b₃₃=-1 — (3 • 3 -6 • 0)=-10
c₃₃=-10/(-10)=1

Вычисляем значения y_i
y₁ = 11/1 = 11
y₂ = (1 — 1 • 11 )/(-5) = 2
y₃ = (1 — 3 • 11 -6 • 2 )/(-10) = 2
Вычисляем значения x_i
x₃ = y₃ = 2
x₂ = 2 — (0 • 2 ) = 2
x₁ = 11 — (3 • 2 + 3 • 2 ) = -1

Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса (LU-разложения).

Решение СЛАУ методом LU-разложения

LU-разложение — это представление матрицы A в виде A=L•U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. LU-разложение является модификациеё метода Гаусса. Основные применения данного алгоритма — решение систем алгебраических уравнений, вычисление определителя, вычисление обратной матрицы и др.

Рассмотрим алгоритм на примере матрицы

Алгоритм

1. Создаем матрицы
   
   и
   
2. Для каждого столбца j = 1… 3 матрицы будем вычислять как
   

Для каждой строки вычислим

Выполняем шаг 2 пока j

О песочнице

Это «Песочница» — раздел, в который попадают дебютные посты пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.

Если у вас есть приглашение, отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.

Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.

О модерации

Не надо пропускать:

• рекламные и PR-публикации
• вопросы и просьбы (для них есть Хабр Q&A);
• вакансии (используйте Хабр Карьеру)
• статьи, ранее опубликованные на других сайтах;
• статьи без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений и другим неуместным форматированием текста;
• жалобы на компании и предоставляемые услуги;
• низкокачественные переводы;
• куски программного кода без пояснений;
• односложные статьи;
• статьи, слабо относящиеся к или не относящиеся к ней вовсе.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Далее вычисляем алгебраические дополнения для элементов матрицы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных. Эти коэффициенты нужны будут для вычисления обратной матрицы.

Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут оказаться другие буквы. К примеру:

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.