Разложение на множители уравнения видео

Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Понятие и определение

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

• линейный двучлен (6x+8),
• кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Если выражение отрицательное, считать ничего не нужно.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Если тема понятна, рекомендуется использовать онлайн калькулятор для проверки решения.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

Это интересно! Уроки математики: умножение на ноль главное правило

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

Далее выполняем подбор и смотрим, чтобы получилось выражение, которое было сначала:

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Разложение на множители уравнения видео

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида

где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с различают по названиям: а — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при х; с — свободный член.

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

— неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение

— приведенное квадратное уравнение.

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Определение 3. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю.

Обратите внимание: об ах 2 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Опрелеление 4. Корнем квадратного уравнения

называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен

обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения

— это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Рассмотрим несколько таких уравнений.

Пример 1. Решить неполные квадратные уравнения:

Поэтому либо х = 0, либо 2х — 7 = 0, откуда находим х = 3,5. Итак, уравнение имеет два корня: х₁ = 0, х₂ = 3,5.

Уравнение имеет два корня: х₁ = 0, х₂ = 5.

Ранее, мы уже говорили о том, что уравнение вида х 2 = а, где а > О, имеет два корня: и . Значит, для уравнения х 2 = 16 получаем х₁ = 4, x₂ = — 4 (мы учли, что ).

Допускается более экономная запись:

Уравнение имеет два корня: И в этом случае можно записать короче

Так как выражение Зx 2 неотрицательно при любых значениях х, то уравнение Зx 2 = — 10 не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила бы это уравнение в верное числовое равенство.

Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; мнимые корни у этого уравнения есть.

е) Если 5x 2 = 0, то x 2 = 0, откуда x = 0 единственный корень уравнения.
Этот пример показывает, как решаются неполные квадратные уравнения:

1. Если уравнение имеет вид ах 2 = 0, то оно имеет один корень х = 0.

2. Если уравнение имеет вид , то используется метод разложения на множители: ; значит, либо x = 0, либо ах + b = 0. В итоге получаем два корня:

3. Если уравнение имеет вид , то его преобразуют к виду и далее . В случае, когда — отрицательное число, уравнение не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ). В случае, когда

— положительное число, т. е. , где m > 0, уравнение х 2 = m имеет два корня: (в этом случае, как мы условились выше, допускается более короткая запись:
).

Неполное квадратное уравнение, как мы только что видели, может иметь два корня, один корень, ни одного корня. То же можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?

Мы с вами знаем, что графиком функции является парабола. Корнями квадратного уравнения служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси х, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку, может вообще не пересекаться с осью х (рис. 92, а, б, в). Это значит, что квадратное уравнение может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное уравнение, но еще лучше уметь находить эти корни. Если уравнение неполное, то, как мы видели выше, особых проблем не возникает. А если мы имеем полное квадратное уравнение? Ниже на примере одного такого уравнения напомним, какими способами мы пользовались до сих пор, когда приходилось встречаться с квадратным уравнением.

Пример 2. Решить уравнение х 2 — 4х + 3 = 0.

I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 — 4х + 3 и разложим его на множители, используя способ группировки; предварительно представим слагаемое — 4х в виде — х — Зх. Имеем

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х — 1) (х — 3) = 0, откуда ясно, что уравнение имеет два корня; х₁ = 1, х₂ = 3; при х = 1 обращается в нуль множитель х — 1, а при х = 3 обращается в нуль множитель х — 3.

II способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х 2 — 4х + 3 и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде 4-1. Имеем

Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим

Рассуждая, как и в I способе, находим, что .

III способ. Построим график функции :

1) Имеем Значит, вершиной параболы является точка (2; -1), а осью параболы — прямая х = 2.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 1 и х = 3. Имеем ; построим на координатной плоскости точки (1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (1; 0), (2; -1), (3;0) проводим параболу (рис. 93).

Корнями уравнения х 2 — 4х + 3 = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Таких точек две: (1; 0) и (3; 0). Итак, х₁ = 1, х₂ = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 — 4х — 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 4х — 3 (рис. 94). Они пересекаются в точках А( 1; 1) и B(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, поэтому х₁ = 1, х₂ = 3.

V способ. Преобразуем уравнение к виду x 2 + 3 = 4х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 + 3 и у = 4х (рис. 95). Они пересекаются в точках А (1; 4) и B (3; 12). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, таким образом,

VI способ. Преобразуем уравнение к виду и далее , т. е. . Построим в одной системе координат параболу у = (х — 2) 2 и прямую у = 1 (рис. 96). Они пересекаются в точках А (1; 1) и B(3; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, следовательно, .

VII способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

Построим в одной системе координат гиперболу прямую у = х — 4. Они пересекаются в точках А (1; -3) и (3; — 1) (рис. 97). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, значит,

Итак, мы решили уравнение х 2 — 4х + 3 = 0 семью способами. Тем не менее знание этих способов не есть, как говорится, панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных уравнений зависели до сих пор от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств:

1) квадратный трехчлен удавалось разложить на множители;

2) графики, которые мы использовали для графического решения уравнения, пересекались в «хороших» точках.

Надеяться на такие подарки судьбы математики, естественно, не могли. Они искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его.