Разложение функции в ряд Тейлора
Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.
Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале. Разложение ряда Тейлора по степеням x (при a=0) является частным случаем и называется разложением Маклорена.
Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.
Основные функции |
- : x^a
Ряд Тейлора
Понятие ряда Тейлора.
Если функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_<0>\) и имеет в точке \(x_<0>\) производные всех порядков, то степенной ряд
$$
f(x_<0>) + \sum_
$$
называется рядом Тейлора функции \(f\) в точке \(x_<0>\).
Пусть функция \(f\) регулярна в точке \(x_<0>\), то есть представляется в некоторой окрестности точки \(x_<0>\) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = \sum_
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция \(f\) бесконечно дифференцируема в окрестности точки \(x_<0>\), причем коэффициенты ряда \eqref
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_
$$
Таким образом, степенной ряд для функции \(f(x)\), регулярной в данной точке \(a\), совпадает с рядом Тейлора функции \(f\) в точке \(a\).
Если известно, что функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема в точке \(a\) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора \eqref
Рассмотрим функцию \(f(x) = e^<-1/x^<2>>\), \(x \neq 0\), \(f(0) = 0\). Эта функция определена на \(R\),
$$
f'(x) = \frac<2>
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^<(n)>(x) = e^<-1/x^<2>> Q_ <3n>\left(\frac<1>
$$
где \(Q_<3n>(t)\) — многочлен степени \(3n\) от \(t\). Воспользуемся тем, что \(\displaystyle\lim_
$$
f^<(k)>(0) = 0\ \mbox<для любого>\ k \in \mathbb
$$
Утверждение \eqref
$$
f^<(n + 1)>(0) = \lim_
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство \eqref
Так как \(e^<-1/x^<2>> \neq 0\) при \(x \neq 0\), то сумма ряда Тейлора для функции \(f\) не совпадает с \(f(x)\) при \(x \neq 0\). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки \(x_ <0>= 0\).
Причина этого явления становится понятной, если функцию \(f\) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция \(f(z) = e^<-1/z^<2>>\) не является непрерывной в точке \(z = 0\), так как \(f(x) = e^<-1/x^<2>> \rightarrow 0\) при \(x \rightarrow 0\), a \(f(iy) = e^<1/y^<2>> \rightarrow +\infty\) при \(y \rightarrow 0\).
Остаточный член формулы Тейлора.
Пусть функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема в точке \(x_<0>\). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд \eqref
$$
S_
$$
$$
r_
$$
и назовем \(r_
$$
\lim_
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд \eqref
$$
f(x) = \sum_
$$
Если функции \(f(x)\), \(f'(x)\), …, \(f^<(n + 1)>(x)\) непрерывны на интервале \(\Delta = (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\), где \(\delta > 0\), то для любого \(x \in \Delta\) остаточный член формулы Тейлора для функции \(f\) в точке \(x_<0>\) можно представить:
\(\circ\) Формула \eqref
$$
f(x)-f(x_<0>) = \sum_
$$
Воспользуемся равенством \(\displaystyle\int\limits_
$$
\int\limits_
$$
Таким образом,
$$
f(x)-f(x_<0>) = f'(x_<0>)(x-x_<0>) + \int\limits_
$$
то есть формула \eqref
$$
f(x)-f(x_<0>) = \sum_
$$
Преобразуем интеграл в правой части формулы \eqref
$$
\frac<1> <(n-1)!>\int\limits_
$$
Отсюда следует, что равенство \eqref
Если функция \(f\) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале \(\Delta = (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\), то есть
$$
\exists M > 0: \forall x \in \Delta \rightarrow |f^<(n)>(x)| \leq M,\ n = 0,1,2,\ldots,\label
$$
то функция \(f\) представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала \(\Delta\) рядом Тейлора \eqref
\(\circ\) Пусть \(x \in (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\). Тогда, используя формулу \eqref
$$
|r_
$$
Так как \(\displaystyle\lim_
Теорема 2 остается в силе, если условие \eqref
$$
\exists M > 0\ \exists C > 0: \forall x \in \Delta \rightarrow |f^<(n)>(x)| \leq MC^
$$
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки \(x_ <0>= 0\), то есть в ряд вида
$$
f(x) = \sum_
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты \(\displaystyle\frac
Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.
Пусть \(f(x) = e^
$$
0 0\), то есть радиус сходимости этого ряда \(R = +\infty\). Так как для функции \(f(x) = e^
$$
e^
$$
Используя разложение \eqref
$$
\operatorname
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
\operatorname
$$
$$
\operatorname
$$
Радиус сходимости каждого из рядов \eqref
Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.
Пусть \(f(x) = \sin x\). Тогда \(|f(x)| \leq 1\) и \(|f^<(n)>(x)| \leq 1\) для всех \(n \in \mathbb
Если \(f(x) = \sin x\), то \(f(0) = 0\), \(f^<(2n)>(0) = 0\), \(f'(0) = 1\), \(f^<(2n + 1)>(0) = (-1)^
$$
\sin x = \sum_<\substack
$$
Пусть \(f(x) = \cos x\). Тогда \(|f(x)| \leq 1\), \(|f^<(n)>(x)| \leq 1\) для всех \(n\) и для всех \(x \in R\), \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\), \(f^<(2n)>(0) = (-1)^
$$
\cos x = \sum_
$$
Радиус сходимости каждого из рядов \eqref
Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.
\(\circ\) Оценим остаточный член \(r_
$$
r_
$$
Если \(f(x) = \ln(x + 1)\), то по формуле \eqref
$$
r_
$$
Пусть \(|x| 1\), то \(\displaystyle\lim_
В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы \eqref
Разложить в ряд Маклорена функцию \(f(x)\) и найти радиус сходимости \(R\) ряда, если:
- \(\triangle\) Используя формулу \eqref
, получаем ряд
$$
\frac<1><1 + x^<2>> = \sum_^ <\infty>(-1)^ x^<2n>,\label
$$
радиус сходимости которого \(R = 1\). - Из равенства \eqref
следует, что \(\displaystyle\frac<1><\sqrt<1 + x^<2>>> = \sum_ ^ <\infty>C_<-1/2>^ x^<2n>\), где
$$
C_<-1/2>^= \frac<\displaystyle\left(-\frac<1><2>\right)\left(-\frac<1><2>-1\right)\ldots\left(-\frac<1><2>-(n-1)\right)> = \frac<(-1)^ 1\cdot3\ldots(2n-1)><2^ n!> = \frac<(-1)^ (2n-1)!!><2^ n!>.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\frac<1><\sqrt<1 + x^<2>>> = 1 + \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^ (2n-1)!!><2^ n!>x^<2n>,\ R = 1.\label
$$ - Так как \(f(x) = \displaystyle\frac<1>
+ \frac<1> = \frac<1><\displaystyle2\left(1 + \frac <2>\right)>-\frac<1><\displaystyle3\left(1-\frac <3>\right)>\), то, применяя формулы \eqref и \eqref , получаем ряд
$$
\frac<2x-1>-x-6> = \sum_ ^ <\infty>\left(\frac<(-1)^ ><2^ >-\frac<1><3^ >\right)x^ ,\ R = 2.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Разложить в ряд Маклорена функции
$$
\operatorname
$$
$$
\operatorname
$$
$$
\ln(x + \sqrt<1 + x^<2>>),\nonumber
$$
и найти радиусы сходимости \(R\) рядов.
- \(\triangle\) Почленно интегрируя ряд \eqref
, получаем
$$
\operatornamex = \int\limits_0^x \frac - <1 + t^<2>> = \sum_
^ <\infty>(-1)^ \frac ><2n + 1>,\quad R = 1.\nonumber
$$ - <1 + t^<2>> = \sum_
- Заменяя в формуле \eqref
\(x^<2>\) на \(-x^<2>\), получаем
$$
\frac<1><\sqrt<1-x^<2>>> = 1 + \sum_^ <\infty>\frac<(2n-1)!!><2^ n!>x^<2n>,\quad R = 1.\nonumber
$$
откуда следует, что
$$
\operatornamex = \int\limits_0^x \frac - <1-t^<2>> = x + \sum_
^ <\infty>\frac<(2n-1)!!><2^ n!(2n + 1)>x^<2n + 1>,\ R = 1.\nonumber
$$ - <1-t^<2>> = x + \sum_
- Почленно интегрируя ряд \eqref
, получаем
$$
\ln(x + \sqrt<1 + x^<2>>) = \int\limits_0^x \frac- <1 + t^<2>> = x + \sum_
^ <\infty>\frac<(-1)^ (2n-1)!!><2^ n!(2n + 1)>x^<2n + 1>,\ R = 1.\ \blacktriangle\nonumber
$$ - <1 + t^<2>> = x + \sum_
Разложить в ряд Тейлора в точке \(x_ <0>= 2\) функцию \(f(x) = \ln(4 + 3x-x^<2>)\).
\(\triangle\) Так как \(4 + 3x-x^ <2>= -(x-4)(x + 1)\), то, полагая \(t = x-2\), получаем
$$
f(x) = \ln(4-x)(x + 1) = g(t) = \ln(2-t)(3 + t) = \ln 6 + \ln\left(1-\frac
$$
Используя формулы \eqref
$$
g(t) = \ln 6-\sum_
Элементарные функции комплексного переменного.
Используя равенства \eqref
$$
\frac
$$
откуда следует, что
$$
e^
$$
Полагая в формуле \eqref
$$
e^
$$
Пусть \(z = x + iy\), где \(x \in R\), \(y \in R\). Тогда из равенства \eqref
$$
e^
$$
Из формулы \eqref
$$
e^
$$
то есть \(e^
$$
e^
$$
имеет бесконечное множество решений вида \(w + i2\pi n\), где \(w\) — одно из решений уравнения \eqref
Если \(w = u + iv\), то \(z = e^
$$
|z| = e^,\quad u = \ln |z|,\quad v = \arg z.\nonumber
$$
Пусть \(\varphi\) — какое-нибудь значение аргумента числа \(z\). Тогда
$$
v = \varphi + 2\pi n,\ n \in Z.\nonumber
$$
Таким образом, все решения уравнения \eqref
$$
\operatorname
$$
где \(\varphi\) — одно из значений аргумента числа \(z\) \((z \neq 0)\), \(n \in Z\).
По заданному значению \(z\) значение \(w\) из уравнения \eqref
Разложить в степенной ряд в окрестности точки \(z = 0\) функцию \(f(z) = e^
\(\triangle\) Используя формулы \eqref
$$
f(z) = e^
$$
Так как \(1 + i = \sqrt<2>e^\), \(1-i = \sqrt<2>e^<-i\pi/4>\), то по формуле \eqref
$$
f(z) = \sum_
$$
откуда в силу второго из равенств \eqref
$$
e^
$$
Радиус сходимости ряда \(R = +\infty\). \(\blacktriangle\)
Решение пределов, используя ряд Тейлора
Метод решения
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени x n , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o ( x n ) .
Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.
Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n , до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .
Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.
Применяемые свойства о малого
Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).
Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого выполняем преобразования.
.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .
.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .
Пример 2
Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.
Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.
Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.
Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.
Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида 0/0 . Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.
Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Пример 4
Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.
Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0 . Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x :
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t :
(П4.3) .
Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).
Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x : . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x : , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:
.
Подставляем в предел:
.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0 . Значит разложения до степени не достаточно.
Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.
Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;
;
.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :
.
Подставляем в исходную функцию.
.
Находим предел.
.
Пример 5
Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.
Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.
Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .
Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;
;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .
Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;
;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем с точностью до и учитываем, что .
;
.
Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-04-2019
http://univerlib.com/mathematical_analysis/function_rows/taylor_row/
http://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/ryad-tejlora/