Размерность физической величины и уравнение связи

Применение размерности для проверки правильности решения физических задач

Разделы: Физика

Цели:

• шире использовать полученные теоретические знания по физике;
• вооружить учащихся большим набором способов решения задач.

1. Понятие размерности

Для начала упорядочим некоторые понятия, с которыми мы имели дело раньше и с теми, которые встретятся нам в будущем. К таким физическим понятиям относятся: наименование, название физической величины, в выбранной системе единиц, размерность, обозначение и определяющее уравнение.
Разберём это на некоторых примерах взятых из раздела «Механика» и знакомых нам. Для краткости сведём всё это в таблицу.

Наименование

S

S = a 3

кв. метр

L 2

V

V = а 3

куб. метр

L 3

V

V = S/t

м/с; м с –1

метр в сек.

L T –1

а

а =

м/с 2 ; м с –2

метр в секунду
за секунду

L T –2

кг/м 3 ; кг м –3

кг на куб. метр

M L –3

Это простые и часто встречающиеся понятия, причём название физической величины вытекает из определяющего её уравнения. Но ряд физических величин имеют «клички». Название величины не следует прямо, как прежде, из определяющего уравнения.

Наименование величины – сила. Название единицы измерения – Ньютон. Вспомним материал 7-го класса. Что такое Ньютон? Это такая сила, которая за 1 секунду изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 метр в секунду. Примером одной из сил является вес тела. Мы знаем, что вес тела равен Р = mg, где m – масса тела , а g – ускорение свободного падения.
Из физики 8-го класса мы знаем, что ускорение измеряется в м/с 2 . Значит, если речь идёт о весе тела Р, то он равен произведению массы тела на ускорение. Отсюда можно сделать вывод, что и любая другая сила F равна произведению массы тела на полученное в результате действия силы ускорение, т.е. F = ma.

Обратим внимание на то, что, если масса тела равна 1 кг и полученное ускорение равно 1 м/с 2 , то и сила будет равна единице силы, то есть 1-му Ньютону. Тогда размерность Ньютона будет
[ F ] = кг = кг м /с 2 = M L T –2 . Заметим, что определяющим уравнением будет уравнение F = ma. Обратите внимание, что название единицы силы не кг м/с 2 , а Ньютон – «кличка». Просто громоздкое наименование единицы заменили на «Ньютон» в честь знаменитого английского учёного Ньютона. Таких имён «кличек» которые носят единицы измерения физических величин много. В механике это Джоуль, Герц, Ватт.
Каждой такой единице присуща ей размерность, которая показывает, из каких основных единиц системы СИ «приготовлена», «сделана» такая единица, в какой степени входят в состав этой величины основные единицы и где они находятся в числителе или в знаменателе.
Что такое определяющее уравнение? Это уравнение, которое следует из определения физической величины.

1. Скорость – это физическая величина равная отношению пути, пройденного телом, ко времени за которое этот путь пройден. Отсюда следует определяющее уравнение V = S/t.
2. Работа – это физическая величина равная произведению силы, приложенной к телу на путь, который прошло тело под действием этой силы. Отсюда следует определяющее уравнение: A = F S.
До введения интернациональной системы единиц (СИ), существовал несколько систем единиц.
Так в одной из них основными единицами были: единица массы – грамм; единица длины – сантиметр; единица времени – секунда. Эта система единиц называлась СГС.
Были и другие системы единиц. Но масса есть масса в любой системе. Будь она в кг, или в г, или в мг. Поэтому, независимо от выбранной системы единиц, принято размерность выражать в символах. Масса – М. Длина – L. Время – Т.

В таблице выше соответствующая колонка называется просто размерность.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить размерность Джоуля. Определяющее уравнение A = F S
2. Определить размерность Ватта. Определяющее уравнение N = A / t
3. Определить размерность Герца. Определяющее уравнение = 1 / Т
4. Определить размерность Паскаля. Определяющее уравнение р = F/S
5. Определить размерность момента силы. Определяющее уравнение М = F L.

2. Проверка правильности решения задач по размерности

«Видкиль воно взялось и на щоб воно сдалось» Украинская пословица.

Откуда взялась размерность мы рассмотрели. Рассмотрим где, и как она может быть применена и её особенности.
Рассмотрим решение нескольких задач:
1. Определить расстояние между Землёй и Солнцем, если луч света, двигаясь со скоростью 3 х 108 м/с, проходит это расстояние примерно за 8,5 минут?
2. Какое расстояние по прямой может пройти ракета за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением 20 м/с 2 ?
3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, пошел на обгон и в течение 10 секунд двигался с ускорением 2 м/с 2 . Какой путь прошел автомобиль за это время?
4. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, перед поворотом в течение 10 секунд двигался равнозамедленно с ускорением – 2 м/с 2 . Какой путь прошел автомобиль за это время?

Проанализируем решение этих задач.

1. Что общего было в этих задачах? (Определялся путь S)
2. В чём различие в этих задачах? (В каждой задаче описывается различное движение, а значит, применяются различные уравнения для определения пути)

То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины. В № 1 через V и t. В № 2 через а и t. В № 3 и № 4 через V_о, a, t.
Эти величины имеют различные размерности, а в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность – метр.
Произведём, не используя модулей этих величин, предлагаемые действия только с размерностями.

1. S = V t = 2. S = . 3.4. S = V0t ± = ± =L±L= L

Отсюда следует закономерность: В правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
Эту закономерность можно применить для проверки правильности решения задач.
Допустим, задачу №3 решили с ошибкой (она очень часто встречается), записав
уравнение так S = V_о + at 2 /2 , тогда S = 15 + 2 х 10 2 /2 = 65 (м). Так как правильный ответ неизвестен, то неясно, как проверить правильность решения, и найти причину ошибки.
То ли ошибка в вычислениях, то ли в преобразованиях, то ли в неправильном написании правильно выбранного уравнения?
Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки.
Как это сделать? Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения. (использовать, указанную выше, закономерность )

Отсюда следует, L =/= 1 + Т. Задача решена неверно. Где ошибка? В правой части уравнение представляет двучлен. Одна его часть имеет размерность L, а другая L/T. Как из этого выражения L/T получить L? Нужно умножить его на Т. Тогда получим размерность первого члена L. Первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L, то есть L + L = L. Левая и правая части будут иметь одинаковую размерность. Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V_о, а V_о t.
Теперь, предположим, решающий допустил другую ошибку. В уравнении S = V_оt +at 2 /2 вместо знака «+» поставил знак «–». Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку? Решение задачи № 4 говорит о том, что задача решена правильно. L = L – L = L, но модуль величины другой.
Отсюда следует второй вывод: метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
Решим несколько задач по кинематике и сделаем проверку их правильности решения, применив метод размерности.

Задача № 1.

За время равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

Сделаем проверку решения методом размерности.
Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача №2.

Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?

Задача № 3. Тело, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд движения прошло путь 100 м , а за 10 сек. – 300 м. Определить начальную скорость движения тела.

Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку? Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу.
L T–1 = Следовательно, задача решена верно.
Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи.

V0 = (м/с)

Задача №4. Во сколько раз скорость пули при вылете её из ствола винтовки больше скорости этой пули при прохождении ею 1/3 ствола?

Кротов В.М. О размерностях физических величин

Кротов В.М. О размерностях физических величин // Фiзiка: праблемы выкладання. – 1997. – № 9. – С. 87-91.

Часто неправильно трактуется понятие о размерности физических величин: взаимозаменяются понятия единицы измерения и размерности физических величин. Поэтому и видится необходимым еще раз описать содержание этого понятия и указать возможности его использования в процессе обучения физике.

Метрология – составная часть школьного курса физики. Основные ее понятия: физическая величина, значение физической величины, система физических величин, основная физическая величина, производная физическая величина, дополнительная физическая величина, уравнение связи между физическими величинами. Названные понятия находятся в определенной взаимосвязи и взаимоотношениях, которые, к сожалению, не всегда точно отражаются при организации познавательной деятельности учащихся. Наиболее часто неправильно трактуется понятие о размерности физических величин: взаимозаменяются понятия единицы измерения и размерности физических величин. Поэтому и видится необходимым еще раз описать содержание этого понятия и указать возможности его использования в процессе обучения физике.

Размерность физической величины – одна из важнейших ее характеристик, которую можно определить как буквенное выражение, отражающее связь данной величины с величинами, принятыми за основные в рассматриваемой системе величин. Так, система величин, которая именуется Международной системой единиц, содержит семь основных системных величин: l , m , t, Ι, Τ, n и J, где l – длина, m – масса, t – время, I – сила электрического тока, Τ – термодинамическая температура, ν – количество вещества, J – сила света. Для этих величин условно приняты следующие размерности: для длины – L, массы – М, времени – Т, силы электрического тока – I, термодинамической температуры – Θ, количества вещества – N и силы света – J. Размерности записывают прописными буквами и печатают прямым шрифтом [4].

Размерность величины x обозначается через . Например: . Над размерностями величин, как и над самими величинами, можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Показатель степени, в которую возведена размерность основной величины, входящей в степенной одночлен, называют показателем размерности [4; 5].

Размерность производных физических величин определяется исходя из уравнения связи между физическими величинами. Например,

Различают как размерные, так и безразмерные физические величины. К первым относят такие величины, в размерностях которых хотя бы один из показателей размерности не равен нулю. Безразмерными физическими величинами называют физические величины, в размерностях которых все показатели размерности равны нулю.

По поводу физического смысла размерностей физических величин существуют различные взгляды. М.Планк писал: «Ясно, что размерность какой-либо физической величины не есть свойство, связанное с существом ее, но представляет просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений» [3, 72]. Другой точки зрения придерживался известный ученый А.Зоммерфельд. Он связывал выбор основных физических величин и их размерностей с самой сущностью физических величин [3].

Важно знание не столько размерностей физических величин, сколько использование их для освоения физических знаний. В этой связи интересным является тот факт, что во многих областях физики и смежных науках применяется метод исследования, который получил название анализа размерностей. Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей, которые заранее неизвестны» [3, 79],

Применение метода анализа размерностей началось со времени И.Ньютона. Его развивали и уточняли У.Томсон, Дж.Рэлей. Э.Ферми утверждал, что действительно понимающие природу того или иного явления должны уметь получать основные закономерности из соображений размерностей.

В процессе обучения физике в средней школе метод анализа размерностей качественно без сложных математических выводов позволяет:

1) получать выражения физических законов,

2) определять физический смысл используемых соотношений,

3) проверять правильность записи формул,

4) решать задачи,

5) обнаруживать ошибки в их решении [1; 2].

Хотя полученные с его применением результаты всегда содержат некоторую неопределенность (зависимости устанавливаются с точностью до постоянных коэффициентов), однако при этом повышается осознанность и научность освоения физических знаний.

Осознанное использование метода анализа размерностей станет возможным при освоении учащимися алгоритма его применения. Рассмотрим основные этапы реализации данного метода на примере установления зависимости емкостного сопротивления в цепи переменного тока от частоты переменного тока и электроемкости конденсатора:

1. Экспериментальное установление зависимости сопротивления конденсатора, включенного в цепь переменного тока, от частоты переменного тока и электроемкости конденсатора.

2. Запись уравнения связи между названными величинами в общем виде , где Ζ – безразмерный коэффициент.

3. Запись размерностей величин, входящих в уравнение связи

4. Подстановка размерностей величин в уравнение связи

5. Составление системы уравнений

6. Решение полученных систем уравнений

β = –1, –4 – α = –3, α = –1.

7. Подстановка значений α и β в уравнение связи

Таким образом, конденсатор в цепи переменного тока обладает сопротивлением, которое обратно пропорционально частоте переменного тока ν и электроемкости конденсатора С.

8. Определение значения коэффициента Ζ (может быть экспериментальным)

9. Запись окончательной формулы

Таким же способом можно примените метод анализа размерностей для установления многих других закономерностей и законов, например:

1) формула для определения периода колебаний груза на пружине;

2) формула для определения периода колебаний математического маятника;

3) основное уравнение МКТ;

4) формула для определения силы Лоренца;

5) зависимость индуктивного сопротивления от частоты переменного тока и индуктивности катушки;

6) формула Томсона;

7) формула для определения потенциала поля, созданного точечным зарядом.

Применение метода анализа размерностей к решению задач более сложно. Примеры решения задач рассматриваемым методом описаны в литературе [3]. Не вызывает затруднений применение метода анализа размерностей к проверке правильности вывода рабочих формул, для этого в уравнение связи между физическими величинами подставляются их размерности. При равенстве показателей размерностей в обеих частях равенства можно утверждать, что формула выведена правильно.

Опыт реализации метода размерностей в практику обучения учащихся показывает [2], что понятие о размерностях физических величин можно вводить в IX классе по ныне действующим программам. Для этого наряду с установлением единиц измерения физических величин определяются и их размерности. Размерности всех изучаемых величин заносятся в специальную таблицу, которой учащиеся пользуются при определении закономерностей, решении задач, установлении размерностей вновь вводимых физических величин.

1. Голин Г.М., Истаров В.В. Использование метода размерностей в школьной физике // Физика в школе. – 1990. – № 2. – С. 36-40.

2. Кротов В.М. Метод анализа размерностей при обучении физике учащихся педагогических классов // Да i нстытуцкая падрыхто ў ка моладз i i арыентацыя яе на педагаг i чныя прафес ii , вопыт i праблемы (Матэрыялы рэспублшанскай канферэнцы i ). – Минск, 1992. – С. 102-103.

3. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. – М.: Наука, 1977. – 335 с.

4. Стоцкий JI.P. Физические величины и их единицы. – М.: Просвещение, 1984. – 239 с.

5. Чертов А.Г. Международная система единиц измерения. – М.: Высшая школа, 1967.

Глава 3. ТЕОРИЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ

И ПЕРЕДАЧИ ИХ РАЗМЕРОВ

3.1. Системы физических величин и их единиц

В науке, технике и повседневной жизни человек имеет дело с разнообразными свойствами окружающих нас физических объектов. Эти свойства отражают процессы взаимодействия объектов между собой. Их описание производится посредством физических величин. Для того чтобы можно было установить для каждого объекта различия в количественном содержании свойства, отображаемого физической величиной, в метрологии введены понятия ее размера и значения.

Размер физической величины — это количественное содержание в данном объекте свойства, соответствующего понятию «физическая величина». Например, каждое тело обладает определенной массой, вследствие чего тела можно различать по их массе, т.е. по размеру интересующей нас ФВ.

Значение физической величины — это оценка ее размера в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Его получают в результате ее измерения или вычисления в соответствии с основным уравнением измерения Q = q [ Q ], связывающим между собой значение ФВ Q , числовое значение q и выбранную для измерения единицу [ Q ]. В зависимости от размера единицы будет меняться числовое значение ФВ, тогда как размер ее будет одним и тем же.

Единица физической величины — это ФВ фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и которая применяется для количественного выражения однородных ФВ. Размер единиц ФВ устанавливается путем их законодательно закрепленного определения метрологическими органами государства.

Важной характеристикой ФВ является ее размерность dim Q — выражение в форме степенного многочлена, отражающее связь данной величины с основными ФВ; коэффициент пропорциональности в нем принят равным единице:

где L , М, Т, I — условные обозначения основных величин данной системы; a , b , g , h — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа. Показатель степени, в которую возведена размерность основной величины, называют показателем размерности. Если все показатели размерности равны нулю, то такую величину называют безразмерной.

Размерность ФВ является более общей характеристикой, чем определяющее ее уравнение связи, поскольку одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим разную качественную природу и различающимся по форме определяющего уравнения. Например, работа силы F на расстоянии L описывается уравнением A ₁ = FL . Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью v , равна А₂ = mv 2 / 2. Размерности этих качественно различных величин одинаковы.

Над размерностями можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня. Понятие размерности широко используется:

• для перевода единиц из одной системы в другую;

• для проверки правильности сложных расчетных формул, полученных в результате теоретического вывода;

• при выяснении зависимости между величинами;

• в теории физического подобия.

Описание свойства, характеризуемого данной ФВ, осуществляется на языке других, ранее определенных величин. Эта возможность обуславливается наличием объективно существующих взаимосвязей между свойствами объектов, которые, будучи переведенными на язык величин, становятся моделями, образующими в своей совокупности систему уравнений, описывающих данный раздел физики. Различают два типа таких уравнений:

1. Уравнения связи между величинами — уравнения, отражающие законы природы, в которых под буквенными символами понимаются ФВ. Они могут быть записаны в виде, не зависящем от выбора единиц измерений входящих в них ФВ:

Коэффициент К не зависит от выбора единиц измерений, он определяет связь между величинами. Например, площадь треугольника S равна половине произведения основания L на высоту h : S = = 0,5 Lh . Коэффициент К = 0,5 появился в связи с выбором не единиц измерений, а формы самих фигур.

2. Уравнения связи между числовыми значениями физических величин — уравнения, в которых под буквенными символами понимают числовые значения величин, соответствующие выбранным единицам. Вид этих уравнений зависит от выбранных единиц измерения. Они могут быть записаны в виде:

где К_е — числовой коэффициент, зависящий от выбранной системы единиц. Например, уравнение связи между числовыми значениями площади треугольника и его геометрическими размерами имеет вид при условии, что площадь измеряется в квадратных метрах, а основание и высота соответственно в метрах и миллиметрах:

C помощью уравнений связи между числовыми значениями ФВ формулируются определения одних величин на языке других и указываются способы их нахождения. Совокупность ФВ, образованная в соответствии с принятыми принципами, когда одни величины принимаются за независимые, а другие являются их функциями, называется системой физических величин.

Обосновано, но в общем произвольным образом выбираются несколько ФВ, называемых основными. Остальные величины, называемые производными, выражаются через основные на основе известных уравнений связи между ними. Примерами производных величин могут служить: плотность вещества, определяемая как масса вещества, заключенного в единице объема; ускорение — изменение скорости за единицу времени и др.

В названии системы ФВ применяют символы величин, принятых за основные. Например, система величин механики, в которой в качестве основных используются длина ( L ), масса (М) и время (Т), называется системой LMT . Действующая в настоящее время международная система СИ должна обозначаться символами LMTIQNJ , соответствующими символам основных величин: длине ( L ), массе (М), времени (Т), силе электрического тока ( I ), температуре ( Q ), количеству вещества ( N ) и силе света ( J ).

Совокупность основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принятыми принципами, называется системой единиц физических величин. Единица основной ФВ является основной единицей данной системы. В Российской Федерации используется система единиц СИ, введенная ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин». В качестве основных единиц приняты метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль и канделла (табл. 3.1).

Основные и дополнительные единицы физических величин