Размерность однородной системы линейных уравнений

Системы линейных однородных уравнений

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства систем линейных однородных уравнений

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.

21. Пространство решений системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

(30)

Так как столбец свободных членов в матрице А1 этой системы состоит только из нулей, то rang A = rang A1, т. е. система линейных однородных уравнений всегда совместна. В частности она всегда имеет нулевое решение. Рассмотрим множество всех возможных решений системы (30).

Пусть A =(A1, A2, … , An) и B =(B1, B2, … , Bn) – Любые два из них. Их можно рассматривать, как векторы в арифметическом n-мерном пространстве над полем Р. Пусть L – любой элемент поля Р. Тогда A +B = (A1 + B1, A2 + B2, … , An + Bn ), L×A = (LA1, LA2, … , LAn). Подставим компоненты этих векторов в произвольное S-е уравнение системы (30). Получим Итак, если A и B – Любые два решения системы (30) и L – любой элемент поля Р, то A +B И L×A тоже являются решением этой системы. Но тогда из теоремы 14 следует

Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с N Переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn .

Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна N – r, Где N – Число неизвестных, r – ранг матрицы системы.

Доказательство. Пусть L – пространство решений системы (30). Тогда L Ì Аn . Пусть A = (A1, A2, … Ar, Ar+1, … , An) – произвольное решение системы. Пусть (Ar+1, … , An) – набор свободных неизвестных, соответствующий этому решению. Множество всех возможных наборов свободных неизвестных есть арифметическое (N – r)-мерное пространство Аn–r . Зададим отображение J: L ® Аn–r по правилу

Покажем, что J – изоморфизм (определение 24). Для этого нужно проверить три условия.

1. Покажем, что J – взаимнооднозначное отображение. Решению A = (A1, A2, … Ar, Ar+1, … , An) соответствует только один набор (Ar+1, … , An), следовательно, J – Однозначное отображение. Обратно, если задать элемент (Ar+1, … , An) из Аn–r , то по теореме Крамера найдётся только один набор (A1, A2, … Ar ) искомых неизвестных, т. е. каждый элемент J(A) из Аn–r соответствует единственному элементу из L .

Итак, пространство решений системы линейных однородных уравнений изоморфно арифметическому (N – r)-мерному пространству. Следовательно, размерность L равна (N – r).

Определение 29. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её Фундаментальной системой решений.

Так как при изоморфизме базис пространства Аn–r соответствует базису пространства L , То для того. чтобы найти фундаментальную систему решений для системы (30), достаточно выбрать (N – r) линейно независимых наборов свободных неизвестных и для каждого из них найти решение данной системы.

Следствие. Если А1, а2, …, аN–r фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (30) и С1, С2, … , СN–r – произвольные элементы поля Р, то С1А1 + С2А2 + … + СN–r АN–r – общее решение этой системы.

Лекция № 5 (02.03.10)

Лекция № 5 (02.03.10)

5.4.2. Фундаментальная система решений

Определение. Фундаментальной системой решений (сокращённо ФСР) данной однородной линейной системы уравнений называется любой базис её подпространства решений.

5.4.3. Размерность подпространства решений

Лемма 1. При элементарных преобразованиях над строками матрицы линейно зависимые столбцы переходят в линейно зависимые.

Пусть A = (a1, a2, …, an) − векторная запись данной матрицы. После совершения нескольких элементарных преобразований матрицу А мы привели к матрице В. Пусть aj1, aj2, …, ajk − линейно зависимые столбцы данной матрицы, где 1 ≤ j1