Размерные цепи основные понятия основное уравнение его следствия

Метрология

Допуски размеров, входящих в размерные цепи

Основные понятия, термины и определения

Машины, механизмы и создаваемые человеком сооружения образованы множеством соединений деталей, которые образуют узлы, агрегаты и прочие элементы конструкций. Каждая деталь имеет свои линейные, угловые и диаметральные размеры, которые, как нам уже известно, не могут соответствовать идеалу, называемому номинальным размером – всегда присутствуют погрешности размеров, обусловленные несовершенством технологий производства, средств измерений и другими факторами.

По этой причине каждая сопрягаемая деталь механизма имеет по замыслу конструкторов определенные отклонения от номинала и допуски на те или иные размеры, формы и т. п.
А когда все эти детали в механизме или машине образуют взаимосвязанную цепочку, допуски размеров каждого составляющего звена этой цепи оказывают влияние на размеры и допуски размеров всех остальных звеньев.
Поэтому обеспечение правильной работы всей машины или какого-либо элемента ее конструкции может быть достигнуто рациональным подбором предельных отклонений каждой детали.

Для определения оптимального соотношения предельных взаимосвязанных размеров одной или нескольких деталей, входящих в этот сборочный узел, проводят размерный анализ, предварительно построив размерные цепи.

Размерной цепью (рис. 1) называют совокупность размеров, образующих замкнутый контур и непосредственно участвующих в решении поставленной задачи (РД 50-635-87 «Цепи размерные. Основные понятия. Методы расчета линейных и угловых цепей»).

Если в такую совокупность входят размеры одной детали, то такую цепь называют подетальной размерной цепью (рис. 2), а если участвуют размеры нескольких деталей, то сборочной размерной цепью (рис. 3).
Для анализа размерной цепи необходимым условием является замкнутость размерного контура, т. е. цепь должна замкнуться.

Виды размерных цепей

По взаимному расположению размеров и их характеру размерные цепи делятся на линейные, угловые, плоские и пространственные.

Линейными называют размерные цепи, звеньями которых являются линейные размеры. Соответственно, угловыми называют размерные цепи, звеньями которых являются угловые размеры.

Если все звенья цепи лежат в одной или в нескольких параллельных плоскостях, такую цепь называют плоской , а если звенья цепи не параллельны одно другому и лежат в непараллельных плоскостях, то такую цепь называют пространственной .

По назначению размерные цепи подразделяют на следующие виды:

• конструкторские – обеспечивают точность изделия на этапе его проектирования;
• технологические – выражают связь размеров обрабатываемой детали с технологическим процессом;
• измерительные – решают задачу измерения определенных звеньев, характеризующих точность изделия.

Звенья размерных цепей

Размеры, составляющие размерную цепь, называются звеньями .
Звено, которое является исходным при постановке задачи или получается последним в процессе обработки детали, ее измерения или сборки изделия, называют замыкающим (на рис. 3 замыкающим звеном является зазор « S »).
Таким звеном может быть звено, точность которого определяет точность изготовления детали в целом (для подетальной цепи) или всего собранного узла (для сборочной цепи). Номинальный размер и точность замыкающего звена зависят от точности всех остальных звеньев цепи, которые называются составляющими звеньями. Изменение их размеров приводит к изменению размеров замыкающего звена (но недолжно вызвать изменения размеров исходного звена).

Исходным называют звено, к которому предъявляются основные требования – точность в соответствии с техническими условиями, от которого зависит работоспособность узла. При сборке исходное звено, как правило, получается последним, поэтому оно также называется замыкающим .

Составляющие звенья обозначаются на схемах или чертежах прописными буквами русского алфавита ( А , Б , В и т. д.) или строчными буквами греческого алфавита (кроме букв α , β , ω , ξ , λ ) с соответствующим порядковым номером 1, 2, 3, …. m . При этом замыкающее звено обозначается соответствующей буквой с индексом Δ (например, А_Δ ).

Размерную цепь удобно представлять в виде замкнутого векторного контура, в котором векторы направлены либо по часовой стрелке, либо против нее (рис. 5).
Звенья цепи, по отношению к замыкающему звену, могут быть увеличивающими и уменьшающими . Увеличение размеров увеличивающих звеньшев приводит к увеличению и замыкающего звена при неизменном исходном звене.
И наоборот — увеличение размеров уменьшающих звеньев приводит к уменьшению размеров замыкающего звена.

На схемах уменьшающие звенья имеют направления, одинаковые с направлением замыкающего звена (←), а увеличивающие – противоположное (→).

Анализ размерных цепей

Анализ размерных цепей и их расчет проводят с целью:

• определения числовой взаимосвязи размеров, обеспечивающих эксплуатационные требования и экономически целесообразную точность выполнения этих размеров;
• экономически выгодного вида взаимозаменяемости (полной или неполной);
• допусков размеров и рационального порядка их простановки на чертежах.

Задачи размерного анализа делятся на два вида:

прямая задача решается при конструировании деталей и узлов для определения допусков и предельных отклонений составляющих звеньев по заданным номинальным размерам всех размеров цепи и заданным предельным размерам исходного звена;

Методы расчета размерных цепей

Существует несколько методов решения прямой и обратной задачи в условиях полной и неполной взаимозаменяемости. Наиболее распространены следующие методы:

• расчет на максимум – минимум (обеспечивает полную взаимозаменяемость);
• теоретико-вероятностный (обеспечивает полную или частичную взаимозаменяемость);
• групповой взаимозаменяемости;
• равных допусков;
• регулирования;
• пригонки и др.

Рассмотрим некоторые из них на примере расчета размерной цепи подшипникового узла (рис. 4).

Метод расчета на максимум – минимум (обратная задача)

Расчет осуществляется в следующем порядке.

1 . Составляется схема размерной цепи, определяется m – общее число звеньев цепи (рис. 5).

2 . Определяется характер звеньев: A_Δ – замыкающее звено; А₁ – увеличивающее звено; А₂ ; А₃ ; А₄ – уменьшающие звенья. При этом n – число увеличивающих звеньев; p – число уменьшающих звеньев; m — общее число звеньев, включая замыкающее.
Тогда n + p = m — 1 .

3 . Составляется уравнение номинальных размеров для частного случая:

в общем случае это уравнение будет иметь вид: А_Δ = ∑ А_i ув — ∑ A_i ум .

4 . Определяется допуск замыкающего звена, для чего составляется уравнение допусков:

а предельные размеры замыкающего звена равны:
А_Δmax = ∑ А_i ув max — ∑ A_i ум min ;
А_Δmin = ∑ А_i ув min — ∑ A_i ум max .

Поскольку разность между предельными размерами звеньев есть их допуск, можно записать:
ТА_Δ = ∑ ТА_i ув — ∑ ТA_i ум , (1)
а так как сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев равна n + p = m — 1 , то
ТА_Δ = ∑ТА_i ,
т. е. допуск замыкающего или исходного звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

5 . Находятся предельные размеры замыкающего звена, т. е. определяются его верхнее и нижнее отклонение:
ESА_Δ = ∑ ESА_i ув — ∑ ESA_i ум ;
EIА_Δ = ∑ EIА_i ув — ∑ EIA_i ум .

6 . По предельным отклонениям определяются предельные размеры замыкающего или исходного звена:
А_Δmax = А_Δ + ESA_Δ ;
А_Δmin = А_Δ + EIA_Δ .

Поскольку расчеты показали, что допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев (формула 1), необходимо стремиться, чтобы число звеньев в цепи было минимальным, тогда минимальной будет и погрешность.

При решении прямой задачи размерного анализа можно воспользоваться методом равных допусков, основанный на предположении, что допуски всех составляющих звеньев равны, или методом одинаковой точности (метод допусков одного квалитета точности).

В условиях массового и крупносерийного производства расчет размерных цепей изложенными выше методами часто не дает экономически выгодного результата. Поэтому в этих видах производства целесообразно использовать теоретико-вероятностные методы расчета, которые основаны на суммировании средних размеров, определенных с учетом случайных погрешностей. При этом замыкающее звено размерной цепи принимается за случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных переменных размеров составляющих звеньев.

Для подробного ознакомления с другими методами размерного анализа целесообразно изучить документ РД 50-635-87 «Методические указания. Цепи размерные. Основные понятия. Методы расчета размерных и угловых цепей».

Расчет размерных цепей

Термины и определения

Размерная цепь — совокупность размеров, непосредственно участвующих в решении поставленной задачи и образующих замкнутый контур.

Обозначение: прописная буква русского или строчная буква греческого (кроме букв α, δ, ξ, λ, ω) алфавитов без индексов.

Примеры.
Задача: обеспечить совпадение оси заднего центра токарного станка с осью переднего центра в вертикальной плоскости. Рисунок 1 — Размерная цепь А, определяющая расстояние А∆ между осями заднего и переднего центров токарного станка в вертикальной плоскости.
Задача: получить в результате обработки требуемый размер радиуса валика. Рисунок 2 — Размерная цепь В, определяющая размер В∆ радиуса валика, изготовляемого на токарном станке.

Звено размерной цепи — один из размеров, образующих размерную цепь.

Обозначение: прописная буква русского или строчная буква греческого (кроме букв α, δ, ξ, λ, ω) алфавитов с индексом. Рисунок 3 — Звено размерной цепи.

База — поверхность или выполняющее ту же функцию сочетание поверхностей, ось, точка, принадлежащая заготовке или изделию и используемая для базирования.

2. Звенья размерных цепей.

Замыкающее звено — звено размерной цепи, являющееся исходным при постановке задачи или получающееся последним в результате ее решения.

Обозначение: прописная буква русского или строчная буква греческого (кроме букв α, δ, ξ, λ, ω) алфавитов с индексом ∆.

Рисунок 4 — А∆ — замыкающее звено. Рисунок 5 — А∆ — замыкающее звено.

Составляющее звено — звено размерной цепи, функционально связанное с замыкающим звеном.

Увеличивающее звено — составляющее звено размерной цепи, с увеличением которого замыкающее звено увеличивается.

Уменьшающее звено — составляющее звено размерной цепи, с увеличением которого замыкающее звено уменьшается.

1 — втулка; 2 — вал: А∆ -зазор; А₁ — уменьшающее звено; А₂ — Звенья размерной цепи. Рисунок 6 — Звенья размерной цепи.

Компенсирующее звено — составляющее звено размерной цепи, изменением значения которого достигается требуемая точность замыкающего звена.

Обозначается соответствующей буквой, заключенной в прямоугольник.

Рисунок 7 — A₁ — компенсирующее звено.

Общее звено — звено, одновременно принадлежащее нескольким размерным цепям. Обозначение формируется из обозначений звеньев размерных цепей, в которые входит данное звено со знаком равенства между ними.

Рисунок 8 — A₃ = B₁ — общее звено размерных цепей А и Б.
3. Виды размерных цепей

Основная размерная цепь — размерная цепь, замыкающим звеном которой является размер, обеспечиваемый в соответствии с решением основной задачи.

Производная размерная цепь — размерная цепь, замыкающим звеном которой является одно из составляющих звеньев основной размерной цепи.

Рисунок 9 — А — основная размерная цепь; Б — одна из производных размерных цепей (Б_∆ = А₂, где А₂ — одно из звеньев основной размерной цепи).

Конструкторская размерная цепь — размерная цепь, определяющая расстояние или относительный поворот между поверхностями или осями поверхностей деталей в изделии.

Технологическая размерная цепь — размерная цепь, обеспечивающая требуемое расстояние или относительный поворот между поверхностями изготавливаемого изделия при выполнении операции или ряда операций сборки, обработки, при настройке станка, при расчете межпереходных размеров.

Рисунок 10 — 1 — приспособление; 2 — заготовка; А_∆ — размер, полученный в результате обработки.

Измерительная размерная цепь — размерная цепь, возникающая при определении расстояния или относительного поворота между поверхностями, их осями или образующими поверхности изготавливаемого или изготовленного изделия.

Линейная размерная цепь — размерная цепь, звеньями которой являются линейные размеры.

Угловая размерная цепь — размерная цепь, звеньями которой являются угловые размеры.

Обозначение звена угловой размерной цепи: строчная буква греческого алфавита (кроме букв α, δ, ξ, λ, ω) с индексом, соответствующим порядковому номеру звена.

Рисунок 11 — Угловая размерная цепь β, определяющая параллельность поверхности 1 по отношению к поверхности 2.

Плоская размерная цепь — размерная цепь, звенья которой расположены в одной или нескольких параллельных плоскостях.

Пространственная размерная цепь — размерная цепь, звенья которой расположены в непараллельных плоскостях.

Параллельно связанные размерные цепи — размерные цепи, имеющие одно или несколько общих звеньев.

Рисунок 12 — Параллельно связанные размерные цепи.

Последовательно связанные размерные цепи — размерные цепи, из которых каждая последующая имеет одну общую базу с предыдущей.

а — а, б — б — общие базы Рисунок 13 — Последовательно связанные размерные цепи.

Размерные цепи с комбинированной связью — размерные цепи, между которыми имеются параллельные и последовательные связи.

а — а, — общая база Рисунок 14 — Размерные цепи с комбинированной связью.
4. Размеры и отклонения.

Номинальный размер — размер, относительно которого определяются предельные размеры и который служит также началом отсчета отклонений.

Истинный размер — размер, полученный в результате выполнения технологического процесса.

Измеренный размер — размер изделия, познанный в результате измерения.

Предельные размеры — два предельно допустимых размера, между которыми должен находиться или которым может быть равен действительный размер.

Наибольший предельный размер — больший из двух предельных размеров.

Наименьший предельный размер — меньший из двух предельных размеров.

Отклонение — алгебраическая разность между размером и соответствующим номинальным размером.

Верхнее отклонение — алгебраическая разность между наибольшим предельным и номинальным размерами.

Нижнее отклонение — алгебраическая разность между наименьшим предельным и номинальным размерами.

Допуск — разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами или абсолютная величина алгебраической разности между верхним и нижним отклонениями.

Поле допуска — поле, ограниченное верхним и нижним отклонениями или наибольшим и наименьшим предельными размерами.

Координата середины поля допуска — координата, определяющая положение середины поля допуска относительно номинального размера.

5. Методы достижения точности замыкающего звена.

Метод полной взаимозаменяемости (метод max/min) — метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается во всех случаях ее реализации путем включения составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.

Метод неполной взаимозаменяемости — метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается с некоторым риском путем включения в нее составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.

Метод групповой взаимозаменяемости — метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается путем включения в размерную цепь составляющих звеньев, принадлежащих к соответственным группам, на которые они предварительно рассортированы.

Метод пригонки — метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирующего звена путем удаления с компенсатора определенного слоя материала.

Метод регулирования — метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирующего звена без удаления материала с компенсатора.

6. Задачи и способы расчета размерных цепей.

Прямая задача — задача, при которой заданы параметры замыкающего звена (номинальное значение, допустимые отклонения и т.д.) и требуется определить параметры составляющих звеньев.

Обратная задача — задача, в которой известны параметры составляющих звеньев (допуски, поля рассеяния, координаты их середин и т.д.) и требуется определить параметры замыкающего звена.

Размерные цепи основные понятия основное уравнение его следствия

Цепи размерные. Классификация, методы расчета цепей

• Опубликовано: 1 мая, 2020

Основные понятия и определения.

Размерная цепь – совокупность взаимосвязанных размеров, непосредственно участвующих в решении поставленной задачи и образующих замкнутый контур.

Размеры, образующие размерную цепь, называются звеньями.

Графическое изображение размерной цепи называется схемой. При построении схем размерных цепей поверхность или ось, относительно которых определяется положение других поверхностей или осей, принимается за базу.

Звенья, из которых состоит размерная цепь, делятся на составляющие и замыкающее. Звено размерной цепи, являющееся исходным при постановке задачи или получающееся последним в результате ее решения, в том числе при изготовлении и измерении, называется замыкающим. Это звено обозначается прописной буквой латинского, русского, или строчной буквой греческого алфавитов с индексом ∆. Звенья размерной цепи, изменения которых вызывают изменения исходного или замыкающего звена, называются составляющими.

Эти звенья обозначаются прописными буквами латинского, русского или греческого (кроме O, L, P,K, α, ξ, λ, ω, δ) алфавитов с индексом в виде порядкового номера составляющего звена.

По своему влиянию, оказываемому на замыкающее звено, составляющие звенья делятся на увеличивающие и уменьшающие.

Увеличивающие – это составляющие звенья размерной цепи, с увеличением которых замыкающее звено увеличивается.

Уменьшающие — это составляющие звенья размерной цепи, с увеличением которых замыкающее звено уменьшается.

Компенсирующее звено – это предварительно выбранное звено размерной цепи, изменением размера которого достигается требуемая точность замыкающего звена. Таким звеном может быть установочное кольцо, изменением толщины которого можно установить требуемый зазор.

Общее звено — звено, одновременно принадлежащее нескольким размерным цепям.

1. Классификация размерных цепей

по области применения:

• конструкторская— решается задача обеспечения точности при конструировании изделий;
• технологическая— решается задача обеспечения точности при изготовлении изделий;
• измерительная— решается задача измерения величин, характеризующих точность изделий;

по месту в изделии:

• детальная— определяет точность относительно положения поверхностей или осей одной детали;
• сборочная — определяет точность относительного положения поверхностей или осей деталей, входящих в сборочную единицу;

по расположению звеньев:

• линейная– звенья цепи являются линейными размерами, расположенными на параллельных прямых;
• угловая— цепь, звеньями которой являются угловые размеры;
• плоская — цепь, звенья которой расположены в одной или нескольких параллельных плоскостях;
• пространственная— звенья цепи расположены в непараллельных плоскостях, произвольно в пространстве;

по характеру звеньев:

• скалярная— все звенья являются скалярными величинами, т.е. одномерными, определяются одной характеристикой. Например, отклонения длины вала, втулки;
• векторная– все звенья в цепи являются векторными погрешностями (двухмерными), определяются модулем (величиной) и направлением. Сюда относятся отклонения от соосности цилиндрической поверхности, биение радиальное и торцовое;
• комбинированная– часть звеньев векторные, часть – скалярные.

по характеру взаимных связей:

• параллельно связанные– размерные цепи (две или более, но имеющие хотя бы одно общее звено);
• независимые– цепи, не имеющие общих звеньев.

При решении задач с помощью размерных цепей, когда число составляющих звеньев больше трех, составляют схему размерной цепи.

2. Методы решения задач линейных размерных цепей

Сущность расчета размерной цепи заключается в установлении допусков и предельных отклонений всех ее звеньев исходя из требований конструкции и технологии. При этом различают две основные задачи:

Прямую — определение допуска и предельных отклонений составляющих размеров по заданным номинальным размерам всех размеров. цепи и заданным предельным размерам исходного размера (такая задача относится к проектному расчету размерной цепи);

Обратную — определение номинального размера, предельных отклонений и допуска замыкающего звена по заданным номинальным размерам, предельным отклонениям и допускам составляющих звеньев (в случаях, когда требуется проверить соответствие допуска замыкающего размера допускам составляющих размеров, проставленных на чертеже). Такая задача относится к проверочному расчету.

Методы расчета размерных цепей:

1. метод максимума и минимума – метод в котором в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание.
2. вероятностный метод — основан на том, что отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска, и сочетания деталей с такими отклонениями происходят наиболее часто.
3. метод полной взаимозаменяемости— метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается во всех случаях ее реализации путем включения составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.
4. метод неполной взаимозаменяемости— метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается с некоторым риском путем включения в нее составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.
5. метод групповой взаимозаменяемости— метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается путем включения в размерную цепь составляющих звеньев, принадлежащих к соответственным группам, на которые они предварительно рассортированы.
6. метод пригонки— метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирующего звена путем удаления с компенсатора определенного слоя материала.
7. метод регулирования— метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением значения компенсирующего звена без удаления материала с компенсатора.