Разность корней квадратного уравнения это дискриминант

Квадратное уравнение. Парабола

Квадратичная функция

$s=\frac<2>$ — путь, которое проходит свободно падающее тело за время t с нулевой начальной скоростью.

В общем виде эту зависимость можно записать так: $y=ax^2$. График этой функции — парабола, вершина которой находится в точке (0,0). Ветви направлены вверх. Четная функция.

Квадратичной называется функция, которую можно задать формулой y=ax² + bx + c, причем а отлично от 0. Здесь a,b,c — некоторые числа, x — переменная.

Корень — это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.

Vertex form

Можно выделить квадратный двучлен, поэтому это тоже парабола со сдвигом и растяжением.

Вершина параболы в точке (m,n), $m = \frac<-b><2a>, n = \frac<-D><4a>$

Квадратное уравнение

a — первый или старший коэффициент

b — второй коэффициент или средний или коэффициент при x

c — свободный член

Дискриминант $D = b^2-4ac$

Схематическое расположение параболы в зависимости от знаков первого коэффициента и дискриминанта.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Теорема Виета

Теорема. Cумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то есть

$$x_1 + x_2 = –p, \\ x_1 \cdot x_2 = q$$

Примечание. Любое квадратное уравнение можно привести к такому виду делением на a.

Пример. Найти сумму корней уравнения $x^2-7x+13=0$. Корней нет, поэтому ответ «сумма корней равна 7» — неверный. Для определения количества корней необходимо найти дискриминант.

Таким образом, в формулировку теоремы Виета необходимо добавить условие: если корни существуют, то … Или если дискриминант неотрицателен. Заметим, что при нулевом дискриминанте теорема Виета тоже работает (считать, что уравнение имеет два равных корня).

Пример. (Мерзляк, Алгебра 8 углубл, 2016)

Применения теоремы Виета

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена (не решая уравнение).

Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: $$6 = 2 \cdot 3, \, 2 + 3 = 5. $$

Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Определение знаков корней

Определение знаков корней без решения уравнения (при условии что D > 0).

Геометрический смысл теоремы Виета

Мы привыкли произносить «икс квадрат», «квадрат суммы», «удвоенный квадрат», не придавая этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать геометрические задачи на вычисление площадей.

В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. «Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата?»

Решить такую задачу — это все равно, что решить уравнение $x^2+(\frac 2 3 x-10)^2=1000$. В клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню $x = 30$.

Фактически вавилонский метод дает решение системы $\beginx+y=p \\ xy= q\end$,

которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения.

Обобщение теоремы Виета

Теорема Вієта для зведеного многочлена $f(x)=x^n+a_x^+\ldots+a_1x+a_0$ формулюється так: «Якщо $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_, x_n$ — всі комплексні корені (включаючи рівні) цього многочлена степеня n, то мають місце рівності:

$$ x_1+x_2+\ldots+x_n=-a_ $$ $$ x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_1x_n+x_2x_3+\ldots+x_x_n=a_ $$ $$ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\ldots+x_1x_x_n+\ldots+x_x_x_n=-a_ $$ $$x_1x_2x_3 \ldots x_n=(-1)^n a_0$$

Разность корней квадратного уравнения

Для приведенного уравнения $$ x_1-x_2 = \sqrt $$

$$ <(x_1-x_2)^2>= x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

Для приведенного уравнения с учетом теоремы Виета:

$$(x_1-x_2)^2 = (-b)^2-4c = b^2-4ac = D$$

Таким образом, если корни квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями.

Обобщение дискриминанта

Дискриминантом многочлена $p(x)$ называется функция, задаваемая его коэффициентами.

Если точнее, то дискриминант — это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена.

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторый точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии (например, параболу $y = x^2$ вокруг оси Oy), то получается очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости, вращающейся в сосуде, имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола.

5. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

6. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет от далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи света, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Опыты, описанные в пунктах 2 и 5, основаны на одном и том же свойстве параболоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

Солнечные концентраторы

Солнечные концентраторы используют энергию солнечной радиации, которая попадает на параболическую поверхность зеркала, в фокусе которой обычно располагается трубка с циркурирующим по ней теплоносителем. Как правило в качестве теплоносителя выступает масло. Теплоноситель нагревает воду, которая испаряясь поступает в турбогенератор в виде пара.

Параболические концентраторы с двигателем Стирлинга представляют собой СЭС с параболическими концентраторами, которые фокусируются на двигатель Стирлинга. Такие электростанции характеризуются высоким КПД (более 31%). В качестве рабочего тела двигателя Стирлинга используется, как правило, водород, или гелий.

Согласно известной исторической легенде, Архимед почти полностью сжег флот римского полководца Марка Марцелла, используя медные параболические зеркала.

8-этажное сооружение, включающее около 10 тысяч отдельных параболических зеркал. На сегодняшний день Солнечная Печь, выстроенная в 1970 году в Восточных Пиренеях – крупнейшая в мире. Массив зеркал действует в качестве параболического отражателя. Свет фокусируется в одном центре. И температура там может достигать 3500 градусов по Цельсию. При такой температуре можно плавить сталь. Но температуру можно регулировать, устанавливая зеркала под разными углами.

Подвесные мосты

Вантовый мост — тип висячего моста, состоящий из одного или более пилонов, соединённых с дорожным полотном посредством прямолинейных стальных тросов — вантов. В отличие от висячих мостов, где дорожное полотно поддерживается вертикальными тросами, прикреплёнными к протянутым по всей длине моста основным несущим тросам, у вантовых мостов тросы (ванты) соединяются непосредственно с пилоном.

Русский мост (Владивосток) — вантовый мост с самым длинным основным пролётом в мире (1104 м), при общей длине в 1886 м

Висячий мост — мост, в котором основная несущая конструкция выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих на растяжение, а проезжая часть подвешена.

Висячие мосты находят наиболее удачное применение в случае большой длины моста, невозможности или опасности установки промежуточных опор (например в судоходных местах).

Золотые Ворота (Сан-Франциско) — один из самых узнаваемых мостов в мире. Мост был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года. Общая длина моста — 2737 м, длина основного пролёта — 1280 м, высота опор — 227 м над водой, масса — 894 500 т. В среднем, по мосту проезжают сто тысяч автомобилей в сутки. 6 полос.

Основные несущие тросы (или цепи) подвешивают между установленными по берегам пилонами. К этим тросам крепят вертикальные тросы или балки, на которых подвешивается дорожное полотно основного пролёта моста. Основные тросы продолжаются за пилонами и закрепляются на уровне земли. Продолжение тросов может использоваться для поддержки двух дополнительных пролётов.

Под действием сосредоточенной нагрузки несущая конструкция может изменять свою форму, что уменьшает жёсткость моста. Для избежания прогибов в современных висячих мостах дорожное полотно усиливают продольными балками или фермами, распределяющими нагрузку.

Используются также конструкции, в которых дорожное полотно поддерживается системой прямолинейных канатов, закреплённых непосредственно на пилонах. Такие мосты называются вантовыми.

Основной пролёт можно сделать очень длинным при минимальном количестве материала. Поэтому использование такой конструкции очень эффективно при строительстве мостов через широкие ущелья и водные преграды. В современных висячих мостах широко применяют проволочные тросы и канаты из высокопрочной стали с пределом прочности около 2—2,5 ГПа(200-250 кгс/мм²), что существенно снижает собственный вес моста.

Отсутствует необходимость ставить промежуточные опоры, что даёт большие преимущества, например, в случае горных разломов или рек с сильным течением.

Будучи относительно податливыми, висячие мосты могут, без ущерба для целостности конструкции, изгибаться под действием сильного ветра или сейсмических нагрузок, тогда как более жёсткие мосты нужно строить более крепкими и тяжёлыми.

Полотно моста сильно прогибается, если на одном участке сосредоточена нагрузка существенно больше, чем на других. Из-за этого висячие мосты реже используются в качестве железнодорожных, чем другие типы.

Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов.

Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. «цепной линии», которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Клифтонский мост близ Бристоля (инженер Изамбард Кингдом Брюнель, 1864).

Акаси-Кайкё — самый длинный подвесной мост в мире. Полная длина составляет 3911 м. Пилоны имеют высоту 298 м, что выше 90-этажного дома.

Вначале были построены два бетонных основания для пилонов на дне пролива Акаси. Для строительства этого моста был разработан специальный бетон, который не растворяется в воде при заливке. Следующим этапом было протягивание тросов. Для этого нужно было с одного пилона на другой протянуть направляющий канат. Он был протянут с помощью вертолёта. Когда в 1995 году оба троса были протянуты, и можно было приступать к монтажу дорожного полотна, произошло непредвиденное: город Кобе стал жертвой крупного землетрясения магнитудой в 7,3 балла. Пилоны выдержали землетрясение, но из-за изменения рельефа дна пролива один из пилонов сдвинулся на 1 м в сторону, таким образом нарушив все расчёты. Инженеры предложили удлинить балки дорожного полотна и увеличить расстояние между вантами, свисающими с основных тросов. Строительные работы, задержанные не более чем на месяц, возобновились. Монтаж дорожного полотна закончился в 1998 году.

В конструкции моста имеется система двухшарнирных балок жёсткости, позволяющая выдерживать скорости ветра до 80 м/с, землетрясения магнитудой до 8,5 и противостоять сильным морским течениям. Для уменьшения действующих на мост нагрузок имеется система динамических гасителей колебаний.

Если вытянуть в длину все стальные нити (диаметром 5,23 мм) несущих тросов моста Акаси-Кайкё, то ими можно опоясать земной шар более семи раз.

Модель параболы

Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму эллипса. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

Парабола, как огибающая

Параболу можно рассматривать, как огибающую семейства прямых.

См. также Конические сечения — Параболическое зеркало. Параболический бильярд

Цепочки окружностей, вписанных в кривую 2-го порядка

Если радиус окружности, вписанной в параболу $y=x^2$ равен 1, то радиус второй окружности, вписанной в эту же параболу и касающейся первой окружности, равен 2, радиус аналогичной 3-й окружности равен 3 и т. д.

Интересно, что радиусы подобной цепочки окружностей, вписанных в угол, образуют геометрическую прогрессию.

Фокус и директриса параболы

Задача. Постройте график функции $y = x^2$. Масштаб возьмите покрупней: 1 = 4 клетки. Отметьте на оси Oy точку F(0; 1/4). Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат мы Вам сможем сказать заранее: какую бы точку на параболе вы ни взяли, расстояние от этой точки до точки (0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число — на 1/4. Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы $y = x^2$ до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = −1/4, параллельной оси Ox.

Замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы, а прямая y = −1/4 — директрисой (по-русски направляющая) этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой параболы.

Геометрический смысл параболы

Парабола — это множество точек, равноудалённых от данной прямой (директрисы параболы) и не лежащей на директрисе данной точки (фокуса параболы).

Парабола — это множество центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой, касающейся этого круга.

Источник — подробнее, больше картинок

Задача. Свободно падающее тело

Тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты, за последнюю секунду падения проходит путь в 7 раз больший чем за первую секунду движения. Найдите высоту, с которой падает тело.

За первую секунду тело пройдёт расстояние равное: $S=\frac<2>=10 \cdot 1/2=5 $ м.

Тогда за последнюю секунду тело пройдёт расстояние равное 35 м. С другой стороны, за последнюю секунду тело пройдет расстояние: $$ \frac <2>— \frac<2>= 35$$

Решив это уравнение получим t = 4 с, откуда S = 80 м

Таким образом, любое падающее тело за первую секунду проходит 5м, за вторую секунду — в 3 раза больше, за третью — в 5 раз больше, за четвертую — в 7 раз больший путь, за пятую — в 9 раз, за шестую — в 11 раз. Арифметическая прогрессия, физики называют это закон нечетных чисел. Путь, пройденный за секунду, тоже образует арифметическую прогрессию с разность 10, что соответствует ускорению свободного падения g.

Задача. Тело, падающее без начальной скорости, за последнюю секунду падения прошло путь s = 35 м. Какую скорость имело тело в момент падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Время падения = 4 с. Скорость $v = s’ = gt = 40$ м/с.

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0		b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0		k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
		p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax 2 + bx + c = 0	, где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0	, где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0	, где D =
	, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.