Разностная схема для системы уравнений

Краевые задачи и разностные схемы

з курсу “ Введение в численные методы ”

Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

4. Краевые задачи второго порядка

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

6. Повышение точности разностных схем

7. Сеточные методы для нестационарных задач

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где – соответственно i- тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции ее n -ная производная оказывается равной первой производной от :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет вид:

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

где – вектор известных коэффициентов,

– вектор искомых коэффициентов,

– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

.

Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для вычисляются по выражениям для следующим образом:

или в векторно-матричной форме:

,

.

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ( ):

,

погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h .

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

.

Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h :

Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности — на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n- ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+ 1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m -той точке целочисленного интервала [0, n ] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n ) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k -той производной в m- той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/ 2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k 1, k 2для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация первой производной

y’(0)	-3	4	-1	2
y’(1)	-1	0	1	-1
y’(2)	1	-4	3	2

Четырех точечная аппроксимация первой производной

	-11	18	-9	2	-3
	-2	-3	6	-1	1
	1	-6	3	2	-1
	-2	9	-18	11	3

Пятиточечная аппроксимация первой производной

	-25	48	-36	16	-3	12
	-3	-10	18	-6	1	-3
	1	-8	0	8	-1	2
	-1	6	-18	10	3	-3
	3	-16	36	-48	25	12

Шести точечная аппроксимация первой производной

	-137	300	-300	200	-75	12	-10
	-12	-65	120	-60	20	-3	2
	3	-30	-20	60	-15	2	-1
	-2	15	-60	20	30	-3	1
	3	-20	60	-120	65	12	-2
	-12	75	-200	300	-300	137	10

Семи точечная аппроксимация первой производной

	-147	360	-450	400	-225	72	-10	60
	-10	-77	150	-100	50	-15	2	-10
	2	-24	-35	80	-30	8	-1	4
	-1	9	-45	0	45	-9	1	-3
	1	-8	30	-80	35	24	-2	4
	-2	15	-50	100	-150	77	10	-10
	10	-72	225	-400	450	-360	147	60

Трех точечная аппроксимация второй производной

	1	-2	1	-12 , 2
	1	-2	1	0 , -1
	1	-2	1	12 , -2

Четырех точечная аппроксимация второй производной

	2	-5	4	-1	55 , -6
	1	-2	1	0	-5 , -2
	0	1	-2	1	-5 , -2
	-1	4	-5	2	55 , -6

Пятиточечная аппроксимация второй производной

	35	-104	114	-56	11	-150 , 12
	11	-20	6	4	-1	15 , -3
	-1	16	-30	16	-1	0 , 2
	-1	4	6	-20	11	15 , 3
	11	-56	114	-104	35	150 , -12

Шести точечная аппроксимация второй производной

	225	-770	1070	-780	305	-50
	50	-75	-20	70	-30	5
	-5	80	-150	80	-5	0
	0	-5	80	-150	80	-5
	5	-30	70	-20	-75	50
	-50	305	-780	1070	-770	225

Семи точечная аппроксимация второй производной

	812	-3132	5265	-5080	2970	-972	137
	137	-147	-255	470	-285	93	-13
	-13	228	-420	200	15	-12	2
	2	-27	270	-490	270	-27	2
	2	-12	15	200	-420	228	-13
	-13	93	-285	470	-255	-147	137
	137	-972	2970	-5080	5265	-3132	812

Например, производная первого порядка в точках m =0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

4. Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n +1)— й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название «разностные схемы». Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

Система уравнений с трехточечным представлением производных	Вектор разностного решения с шагом h =0.1
-199 +100 +0.1=0	0.0186590989712	0.0186415437361
100 -199 +100 +0.2=0	0.0361316064473	0.0360976603850
100 -199 +100 +0.3=0	0.0512427953890	0.0511947672548
100 -199 +100 +0.4=0	0.0628415300546	0.0627828520998
100 -199 +100 +0.5=0	0.0698118753674	0.0697469636621
100 -199 +100 +0.6=0	0.0710840847137	0.0710183518969
100 -199 +100 +0.7=0	0.0656455142231	0.0655851465687
100 -199 +100 +0.8=0	0.0525504484304	0.0525024675253
100 -199 +0.9=0	0.0309298757856	0.0309018656257

Система уравнений для пяти-точечного	Вектор решения
-9940 +3000 +2000 -500 +6=0	0.0186406186406
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360968696594
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511941848390
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627825213460
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697468774179
-500 +8000 -14940 +8000 -500 8+36=0	0.0710184988305
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655854996422
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525029672554
-500 +2000 +3000 -9940 +54=0	0.0309024932693

Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных	Вектор решения
-3720 -1000 +3500 -1500 +250+3=0	0.0186415486274
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360976918947
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511948294923
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627829167486
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697469746974
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +36=0	0.0710183243686
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655851063829
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525024168959
250 -1500 +3500 -1000 -3720 +27=0	0.0309018105849

Система уравнений для семиточечного представления производных	Вектор решения
-7260 -12750 +23500 -14250 +4650 -650+9=0	0.0186415513486
11400 -20910 +10000 +750 -600 +100+18=0	0.0360976659970
-1350 +13500 -24410 +13500 -1350 +100+27=0	0.0511947713313
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+3.6=0	0.0627828547351
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+4.5=0	0.0697469648318
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+5.4=0	0.0710183515790
100 -1350 +13500 -24410 +13500 -1350+63=0	0.0655851447467
100 -600 +750 +10000 -20910 +11400+72=0	0.0525024640963
-650 +4650 -14250 +23500 -12750 -7260+81=0	0.0309018602217

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h =0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x (t ) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток , использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.

Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.

Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.

Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:

,

где – непрерывная функция, заданная на границе области.

Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y :

Значения функции в узлах сетки обозначим через и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов и значениями функции на границе, как показано ниже:

Уравнения для 25 внутренних точек u (i,k ):

О построении разностных схем

Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(z, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис. 2.1. Стороны прямоугольника делятся на элементарные отрезки точками и . Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых х = const и у = const, образующих сетку с прямоугольными ячейками. Любой ее узел, номер которого (i,j), определяется координатами (xi, yj). Поскольку все ячейки показанной на рис. 2.1 сетки одинаковы, такую сетку называют равномерной сеткой.

Рис. 2.1. Прямоугольная сетка

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей, содержащих более двух измерений. На рис. 2.2 показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Рис. 2.2. Элемент сетки

Прямоугольные сетки наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Вместе с тем, некоторые схемы используют сетки с ячейками более сложной формы: треугольными, четырехугольными (не прямоугольными), шестиугольными и т.д.

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G, называются граничными узлами. Все остальные узлы — внутренними. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что характерно для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G, изображенную на рис. 2.3, можно привести к единичному квадрату G‘ введением новых переменных вместо х, у с помощью соотношений

Рис. 2.3. Преобразование расчетной области

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия.

Вобласти G‘ можно ввести прямоугольную сетку, при этом в области Gей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками.

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (х, у, z). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической и др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (r,φ), то в ней сетка вводится с шагами и , соответственно, по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций). В последнем случае получающиеся сетки называют адаптивными.

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону. При этом точные значения искомой функции заменяются значениями сеточной функции в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

(2.2)

где — начальное распределение температуры U(при t= 0); , — распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времени t. Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. .

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий , ; hи τ — соответственно шаги сетки по направлениям х и t. Значения функции в узлах сетки обозначим . Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функции , которые удовлетворяют уравнениям, образующим разностную схему. Часто верхний индекс заключают в скобки, чтобы не путать его с показателем степени. Здесь и далее скобки для краткости опушены.

Заменяя в исходном уравнении (2.2) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

. (2.3)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2.4, а.

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2.4, б,т.е. аппроксимировать производную при :

,

то вместо (2.3) получим разностную схему

(2.4)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий:

(2.5)

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении j, называется слоем (или, поскольку переменная tсоответствует времени, временным слоем).Схема (2.3) позволяет последовательно находить значения на -ом слое через соответствующие значения на j-ом слое. Такие схемы называются явными.

Для начала счета по схеме (2.3) при j= 1 необходимо знать решение на начальном слое при j= 0. Оно определяется начальным условием (2.2), которое запишется в виде:

(2.6)

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (2.4) содержит на каждом новом слое три неизвестных значения: поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными.При этом разностная схема (2.4) состоит из линейных трехточечных уравнений, т.е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонки, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы,когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев: нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

Спомощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Несмотря на то, что этот способ получения разностных уравнений наиболее прост и поэтому широко используется при разработке численных методов, существуют также другие способы построения разностных схем. Изложение этих вопросов читатель может найти в более полных работах по численным методам и теории разностных схем.

Разностная схема

• Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

Связанные понятия

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Спектральные методы — это класс техник, используемых в прикладной математике для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, возможно, вовлекая Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в переписи решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, насколько это возможно.

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.