Разностная схема для уравнения это

Разностная схема

• Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

Связанные понятия

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Спектральные методы — это класс техник, используемых в прикладной математике для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, возможно, вовлекая Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в переписи решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, насколько это возможно.

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

О построении разностных схем

Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(z, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис. 2.1. Стороны прямоугольника делятся на элементарные отрезки точками и . Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых х = const и у = const, образующих сетку с прямоугольными ячейками. Любой ее узел, номер которого (i,j), определяется координатами (xi, yj). Поскольку все ячейки показанной на рис. 2.1 сетки одинаковы, такую сетку называют равномерной сеткой.

Рис. 2.1. Прямоугольная сетка

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей, содержащих более двух измерений. На рис. 2.2 показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Рис. 2.2. Элемент сетки

Прямоугольные сетки наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Вместе с тем, некоторые схемы используют сетки с ячейками более сложной формы: треугольными, четырехугольными (не прямоугольными), шестиугольными и т.д.

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G, называются граничными узлами. Все остальные узлы — внутренними. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что характерно для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G, изображенную на рис. 2.3, можно привести к единичному квадрату G‘ введением новых переменных вместо х, у с помощью соотношений

Рис. 2.3. Преобразование расчетной области

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия.

Вобласти G‘ можно ввести прямоугольную сетку, при этом в области Gей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками.

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (х, у, z). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической и др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (r,φ), то в ней сетка вводится с шагами и , соответственно, по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций). В последнем случае получающиеся сетки называют адаптивными.

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону. При этом точные значения искомой функции заменяются значениями сеточной функции в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

(2.2)

где — начальное распределение температуры U(при t= 0); , — распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времени t. Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. .

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий , ; hи τ — соответственно шаги сетки по направлениям х и t. Значения функции в узлах сетки обозначим . Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функции , которые удовлетворяют уравнениям, образующим разностную схему. Часто верхний индекс заключают в скобки, чтобы не путать его с показателем степени. Здесь и далее скобки для краткости опушены.

Заменяя в исходном уравнении (2.2) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

. (2.3)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2.4, а.

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2.4, б,т.е. аппроксимировать производную при :

,

то вместо (2.3) получим разностную схему

(2.4)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий:

(2.5)

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении j, называется слоем (или, поскольку переменная tсоответствует времени, временным слоем).Схема (2.3) позволяет последовательно находить значения на -ом слое через соответствующие значения на j-ом слое. Такие схемы называются явными.

Для начала счета по схеме (2.3) при j= 1 необходимо знать решение на начальном слое при j= 0. Оно определяется начальным условием (2.2), которое запишется в виде:

(2.6)

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (2.4) содержит на каждом новом слое три неизвестных значения: поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными.При этом разностная схема (2.4) состоит из линейных трехточечных уравнений, т.е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонки, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы,когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев: нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

Спомощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Несмотря на то, что этот способ получения разностных уравнений наиболее прост и поэтому широко используется при разработке численных методов, существуют также другие способы построения разностных схем. Изложение этих вопросов читатель может найти в более полных работах по численным методам и теории разностных схем.

Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова

Институт математики и информатики

Кафедра прикладной математики

“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”

Прикладная математика и информатика”

Специализация “Математическое моделирование”

Едисеева Зоя Никитична

Научный руководитель: Охлопков Н.М

Рецензент: Николаев Владимир Егорович

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

— выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава I . Основные понятия теории разностных схем

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

1.1 Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G=<0≤x≤1>. Разобьем этот отрезок точками x_i =i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x_i =i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим =i =i∙h, i=0,n> , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками x_i , i=0,n можно производить произвольным образом — 0 2 (x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

y_h =u_h (x), x w_{h .}

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

— правая разностная производная; (3)

— левая разностная производная; (4)

— центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h₀ ,x+h₀ ) точки х, h 0 в узле x_i w_h если , т.е.

, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор .

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая , имеем

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xG (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xГ. (9)

Введем в области Г сетку

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

L_h y_h =f_h , xw_h , (10)

L_h y_h =ц_h , xг_h . (11)

Функция y_h (x), f_h (x), ц_h (x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций h >, h >, <ц_h >, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

, 0 0, M₂ >0 не зависящие от h и такие, что при любых f _h H_h , ц_h H_h справедлива оценка

_Hh ≤ M₁ ∙_Hh +M₂ ∙_{Hh .} (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Если ввести новую функцию то получим задачу

(18)

Решением задачи (18) является функция

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = i =ih, i=0,n> схемой:

(19)

Перепишем схему (19) в виде

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i₀ ∙ h, т.е. является узлом сетки при h→0.

Вычислим значение у в этой точке y() = y_{i 0} =s i 0 y₀ . Так как │s│ 0

и любых h, то│ y()│≤│s i 0 │ ∙ │y₀ │ 0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(23)

.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Неравенство (22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

(24)

т.е.

при

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

(25)

Условие (22) будет выполнено, если

т.е

Схема абсолютно устойчива при

и

т.е. схема (25) условно устойчива при

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u h значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u h H_h .

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

где y_h – решение схемы (14), (15), u h — решение задачи (12), (13) на сетке ͞w_h . Подставив y_h = z_h +u h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

(26)

(27)

(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

_Hh = _Hh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h₀ выполняется неравенство

_Hh =_Hh ≤ M ∙ h n ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

т.е ≤ M∙h n .

Теорема . Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство . Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

_Hh = _Hh ≤ M_{1 Hh} + M_{2 Hh} . (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z_h ‖_Hh →0 при h→0, если _Hh →0 и _Hh →0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh = О(h n ), _Hh = O(h n ).

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

(30)

Разложим u_{i +1} по формуле Тейлора в точке x_i , имеем

(31)

Подставляя (31) в ш_i , получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При имеем Выражая z_i через z₀ , получим:

Отсюда видно, что при h→0, │z_i │→0. Для точности схемы имеем

│z_{i +1} │≤ h∙│ш_s │≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i ∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i = y_i –u_i получаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в ш_i , получим

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i :

Множитель при л > 0. Выражая z_i через z₀ , имеем

Отсюда │z_i │≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область =<>. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, — средний шаг>- сетка по х;

, — средний шаг>- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть — неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

— правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

— левая разностная производная по х; (2)

— центральная разностная производная по х; (3)

— аппроксимация с весом ; (4)

Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

— правая разностная производная по t; (5)

— левая разностная производная по t; (6)

— центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

; (8)

; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Найдем и подставим в (1).

Имеем = ,

Функцию разложим по формуле Тейлора

,

и подставим в Имеем

,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .

1.7.2 Формирование сетки

, (1)

, q>1-возраст.геометр.прогрессия

, q 1. (3)

2) , (4)

, q 1 и по формуле (3) n

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

Можно использовать другой подход:

, , ,

,

, .

a) , q 1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка .

2) Квазиравномерная сетка (…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) .

Глава II . Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

(1)

удовлетворяющий начальным условиям

(2)

и граничным условиям:

(3)

1)

l=1, T=1

точное решение:

2)

точное решение:

3)

точное решение:

4)

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p₀ >0, p_N >0) или p(x,t) 0, (p₀ >0, p_N >0)

Разностная схема (правая) имеет вид

; (1′)

; (2′)

; (3′)

из (1′) ,

где .

2) p(x,t) ; (1″)

; (2″)

; (3″)

из (1′) ,

где .

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)