Разностная схема для волнового уравнения на

Волновое уравнение

Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t. Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения.

Одномерное волновое уравнение – уравнение, описывающее продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня (струны) и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используют для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны). Трехмерное волновое уравнениеописывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной среде и т.п.).

Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде

(2.63)

Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x,t) описывает положение струны в момент t. В этом случае а2 = Т/ρ, где Т — натяжение струны, ρ — ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются малыми, т.е. амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того, уравнение (2.63) записано для случая свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний в правой части уравнения добавляют некоторую функцию f(x,t), характеризующую внешние воздействия, при этом сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.

Простейшей задачей для уравнения (2.63) является задача Коши: в начальный момент времени задаются два условия (количество условий равно порядку входящей в уравнение производной по t):

(2.64)

Эти условия описывают начальную форму струны и скорость ее точек .

На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l. В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид

(2.65)

Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (2.63)-(2.65). Простейшей является явная трехслойная схема типа крест (шаблон показан на рис. 2.21). Заменим в уравнении (2.63) вторые производные искомой функции Uпо tи х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции в узлах сетки :

Рис. 2.21. Шаблон явной схемы

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на ( j + 1)-ом слое:

(2.66)

Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-ом слое нужно знать решения на j-ом и (j — 1)-ом слоях. Поэтому начать счет по формулам (2.66) можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Их находят с помощью начальных условий (2.64). На нулевом слое имеем

(2.67)

Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием (2.64). Производную заменим конечно-разностной аппроксимацией. В простейшем случае полагают

(2.68)

Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:

(2.69)

Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (2.68) ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка , т.е. первого порядка по τ, хотя сама схема (2.66) имеет второй порядок аппроксимации по hи τ. Положение можно исправить, если вместо (2.69) взять более точное представление:

(2.70)

Вместо нужно взять . А выражение для второй производной можно найти с использованием исходного уравнения (2.63) и первого начального условия (2.64). Получим

Тогда (2.70) примет вид:

(2.71)

Разностная схема (2.66) с учетом (2.71) обладает погрешностью аппроксимации порядка

При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (2.65), т.е. когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции, второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х0=0, xI = l). Однако граничные условия могут задаваться и для производной.

Например, в случае свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце задается условие

(2.72)

Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппроксимации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка . Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по hнеобходимо граничное условие (2.72) аппроксимировать со вторым порядком.

Рассмотренная разностная схема (2.66) решения задачи (2.63) — (2.65) условно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости:

(2.73)

Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппроксимации схема (2.66) сходится к исходной задаче со скоростью O(h2+τ2). Данная схема часто используется в практи-ческих расчетах. Она обеспечивает приемлемую точность получения решения U(x,t), которое имеет непрерывные производные четвертого порядка.

Рис. 2.22. Алгоритм решения волнового уравнения

Алгоритм решения задачи (2.63)-(2.65) с помощью данной явной разностной схемы приведен на рис. 2.22. Здесь представлен простейший вариант, когда все значения сеточной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся в памяти компьютера, а после решения задачи выводятся результаты. Можно было бы предусмотреть хранение решения лишь на трех слоях, что сэкономило бы память. Результаты в таком случае можно выводить в процессе счета (см. рис. 2.13).

Существуют и другие разностные схемы решения волнового уравнения. В частности, иногда удобнее использовать неявные схемы, чтобы избавиться от ограничений на величину шага, налагаемых условием (2.73). Эти схемы обычно абсолютно устойчивы, однако алгоритм решения задачи и программа для компьютера усложняются.

Построим простейшую неявную схему. Вторую производную по tв уравнении (2.63) аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j— 1, j, j + 1. Производную до х заменяем полусуммой ее аппроксимации на (j + 1)-ом и (j— 1)-ом слоях (рис. 2.23):

Рис. 2.23. Шаблон неявной схемы

Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j+ 1)-ом слое:

(2.74)

Полученная неявная схема устойчива и сходится со скоростью . Систему линейных алгебраических уравнений (2.74) можно, в частности, решать методом прогонки. К этой системе следует добавить разностные начальные и граничные условия. Так, выражения (2.67), (2.69) или (2.71) могут быть использованы для вычисления значений сеточной функции на нулевом и первом слоях по времени.

При двух или трех независимых пространственных переменных волновые уравнения принимают вид

Для них также могут быть построены разностные схемы по аналогии с одномерным волновым уравнением. Разница состоит в том, что нужно аппроксимировать производные по двум или трем пространственным переменным, что, естественно, усложняет алгоритм и требует значительно больших объемов памяти и времени счета. Подробнее двумерные задачи будут рассмотрены ниже для уравнения теплопроводности.

Анализ разностной схемы аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бейбалаев Ветлугин Джабраилович, Якубов Амучи Загирович

Проведён анализ разностной схемы краевой задачи для аналога волнового уравнения . Исследованы явные и неявные разностные схемы для численного решения первой краевой задачи аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Капуто. Методом гармоник Фурье доказаны критерии устойчивости этих разностных схем . Получены оценки собственных значений оператора перехода с одного временного слоя на другой. На примере проведён вычислительный эксперимент по анализу предложенной разностной схемы . Построены графики численного решения краевой задачи для волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования при различных значениях параметров дробного дифференцирования $\alpha$ и $\beta$. Установлено изменение периода колебаний при переходе к дробной производной. На примере показано, что параметры $\alpha$ и $\beta$ становятся управляющими.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бейбалаев Ветлугин Джабраилович, Якубов Амучи Загирович

Analysis of the difference scheme of wave equation equivalent with fractional differentiation operator

Analysis of the difference scheme of boundary-value problem for the wave equation analogue is made. Explicit and implicit difference schemes for numerical solution of the first boundary-value problem for the wave equation analogue with Caputo fractional differentiation operator are investigated, and the stability criteria for these difference schemes are proved by the harmonic Fourier method. Estimates for eigenvalues of the operator of transition from one time layer to another are obtained. Computational experiment on the analysis of the given difference scheme has been performed for the example. The graphs of the numerical solution of the boundary-value problem for the wave equation with the operator of fractional differentiation having different values of parameters of fractional differentiation $\alpha$ and $\beta$ have been built. Change of the period of fluctuations under transition to a fractional derivative is established. On an example it is shown that parameters $\alpha$ and $\beta$ become managing directors.

Текст научной работы на тему «Анализ разностной схемы аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 1 (34). С. 125—133

АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ АНАЛОГА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В. Д. Бейбалаев1, А. З. Якубов2

1 Дагестанский государственный университет,

Россия, 367025, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43a.

2 Дагестанский государственный институт народного хозяйства,

Россия, 367008, Махачкала, ул. Д. Атаева, 5.

Проведён анализ разностной схемы краевой задачи для аналога волнового уравнения. Исследованы явные и неявные разностные схемы для численного решения первой краевой задачи аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Капуто. Методом гармоник Фурье доказаны критерии устойчивости этих разностных схем. Получены оценки собственных значений оператора перехода с одного временного слоя на другой. На примере проведён вычислительный эксперимент по анализу предложенной разностной схемы. Построены графики численного решения краевой задачи для волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования при различных значениях параметров дробного дифференцирования а и в. Установлено изменение периода колебаний при переходе к дробной производной. На примере показано, что параметры а и в становятся управляющими.

Ключевые слова: волновое уравнение, частная дробная производная Капуто, разностная схема.

Введение. Развитие науки и техники привело к широкому использованию на практике самых различных волновых процессов. В результате этого живые системы подвергаются воздействию волн не только естественного, но и искусственного происхождения. Можно сказать, что живые организмы везде сталкиваются с различного типа волнами. Физические поля самых разных типов в процессе эволюции живых организмов оказывают на них существенное влияние. Сравнительно давно появилось отчетливое понимание того, что живые организмы не только активно используют волновые процессы в своей деятельности, но и способны чутко реагировать на внешние воздействия, имеющие волновую природу.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1209 © 2014 Самарский государственный технический университет.

Образец цитирования: В. Д. Бейбалаев, А. З. Якубов, “Анализ разностной схемы аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 125-133. doi: 10.14498/vsgtu1209. Сведения об авторах: Ветлугин Джабраилович Бейбалаев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики. Амучи Загирович Якубов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. информатики и вычислительной техники.

E-mail addresses: kaspij_03@mail.ru (V.D. Beybalaev, Corresponding author), yakubovaz@mail.ru (A.Z. Yakubov)

В. Д. Бейбалаев, А. З. Якубов

Ответная реакция живой системы на внешние волновые воздействия может происходить на различных структурных уровнях живого организма — от молекулярного до субклеточного, клеточного уровня. Волновые процессы активно используются и в технической деятельности людей.

Несмотря на значительные усилия исследователей, до сих пор задача создания адекватных количественных моделей волновых процессов остаётся актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии, поэтому необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка 3.

В качестве математической модели волнового процесса в нелокальных средах исследуем в области

первую краевую задачу для волнового уравнения с производными дробного порядка.

Задача. Найти решение уравнения

cD‘0tu(x,t) = C (x, t)cD0x u(x,t) + f (x,t), (1)

удовлетворяющее начальным условиям

u(x, 0) = pi(x), ut(x, 0) = ^2(x) (2)

и граничным условиям

u(0,t) = Pi (t), u(l,t) = P2 (t). (3)

Здесь 1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Произведение корней уравнения (9) равно единице, а его дискриминант

d = «• sin^t „у; sin^ — Л. (10)

16Cm Г(3 — а)та . 2 Ш ( cm Г(3 — а)та . о Ш_ Л Г(3 — e)he Sin 2V Г(3 — e)he Sin 2 1.

Если дискриминант (10) отрицательный, то корни Л1, Л2 — комплексно-сопряжённые и равны единице по модулю. Следовательно, условие |Л| (x,t))n =

Разностная схема для «волнового уравнения», метод характеристик

Рассмотрим следующую задачу где форсирующий член может зависеть от (см. Формулировку 1 ниже для формулировки), а также от и его первых производных. Это 1 + 1 мерное волновое уравнение. У нас есть начальные данные, прописанные в .

Меня интересует решение внутри области зависимости интервала и я рассматриваю следующую конечно-разностную схему.

• Цель состоит в том, чтобы развить помощью и аналогично . Эта схема интегрируема в том смысле, что поэтому я могу последовательно вычислять из исходных данных путем интегрирования вверх; следовательно, мне действительно нужно взглянуть на эволюционные уравнения для и . W u ‘ role=»presentation»> W u W u ( u , v + 1 ) − W u ( u , v ) = F ( u , v ) ‘ role=»presentation»> W u ( u , v + 1 ) − W u ( u , v ) = F ( u , v ) W v ( u + 1 , v ) − W v ( u , v ) = F ( u , v ) ‘ role=»presentation»> W v ( u + 1 , v ) − W v ( u , v ) = F ( u , v )

Вопрос :

1. Это хорошо известная схема? В частности, где я могу найти анализ этой схемы?
2. Любая вещь очевидная, которую я должен высматривать?

Предыстория : притвориться, что я почти ничего не знаю (что, вероятно, верно, поскольку я чистый математик, пытающийся немного освоить вычислительную технику).

Редактировать 1 : Просто чтобы уточнить (чтобы обратиться к некоторым комментариям): уравнение в координатах будет а и являются «нулевыми координатами», заданными (до некоторых перенормировочных коэффициентов 2) и . Таким образом, начальные данные в фактически находятся в . x ‘ role=»presentation»> x t ‘ role=»presentation»> t

Поэтому вместо сетки, адаптированной к я рассматриваю сетку, адаптированную к которая «повернута на 45 градусов». По сравнению с где принимают целочисленные значения, можно считать сетка имеет дополнительные точки, в которых оба (но не только одно из) и принимают половинные целые значения. ( t , x ) ‘ role=»presentation»> ( t , x ) ( u , v ) ‘ role=»presentation»> ( u , v ) ( t , x ) ‘ role=»presentation»> ( t , x ) t , x ‘ role=»presentation»> t , x u , v ‘ role=»presentation»> u , v t ‘ role=»presentation»> t x ‘ role=»presentation»> x