Разностные методы для уравнения теплопроводности

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области <0 n _i = y(x_i, t_n),

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (x_i, t_n), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (x_i±1, t_n), (x_i, t_n), (x_i, t_n+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (x_i, t_n) разностным отношением y n _{t, i}, а производную ¶ 2 u/¶ 2 x – второй разностной производной y n _{xx, i}. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j n _i, в качестве j n _i можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (x_i, t_n) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j n _i – f(x_i, t_n) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y 0 _i = u₀(x_i), i = 0, 1,…, N. Если решение y n _i, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение y_i n+1 на слое n+1 находится по явной формуле

а значения доопределяются из граничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения y_i n+1 при заданных y_i n требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность z_i n = y_i n – u(x_i, t_n) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) y_i n = z_i n + u(x_i, t_n), получим уравнение для погрешности

где – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y _i n = O( t + h 2 ). Можно оценить решение z_i n уравнения (8) через правую часть y_i n и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h 2 , означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

y_j n ( j ) = q n e ijh j , (10)

где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh j , получим

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h 2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10 -2 . Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10 -4 , и для того чтобы вычислить решение y_j n при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t -1 ³ 2 * 10 4 , т.е. провести не менее 2 * 10 4 вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (x_i, t_n), (x_{i ± 1} , t_n+1), (x_i, t_n+1) и имеющая вид

Здесь j n _i = f(x_i, t_n+1) + O( t + h 2 ). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y i _n+1 по известным y_i n требуется решить систему уравнений

где g = t /h 2 , F_i n = y_i n + t j _i n . Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

следовательно, |q| £ 1 при любых j , t , h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2 . Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде y_i n = u(x_i, t_n) + z_i n , где u(x_i, t_n) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,

Сеточная функция y_i n , входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17)

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции y_i n по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для y_i n , по формуле Тейлора в точке (x_i, t_n + 0,5t). Учитывая разложения

Отсюда, проводя разложение в точке (x_i, t_n+1/2) и обозначая u = u (x_i, t_n+1/2), будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него u IV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j _i n º 0 в виде (10), то получим

и |q| £ 1 при всех j, если

Отсюда видно, в частности, что все схемы с s ³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s_*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При s ¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения y_i n+1 по заданным y_i n требуется решать систему уравнений

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s ¹ 0 сводятся к неравенству

|1 + 2 s g | ³ 2 | s | g

и выполнены при s ³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

Дифференциальное выражение при каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (x_i, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

где разностный коэффициент теплопроводности a(x_i, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(x_i, t):

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [t_n, t_n+1], например t = t_n + 0,5 t. Если в уравнении (24) t = t_n + 0,5 t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(x_i, t) º 0, т.е. схему

Предположим, что коэффициенты r (x_i, t), a(x_i, t) – постоянные, r (x_i, t) º r = const, a(x_i, t) º a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде

или

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t ’ £ 0,5h 2 , т.е. при

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(x_i, t), r (x_i, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

Если известно, что 0 0, то неравенство (27) будет выполнено при

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.

Если параметр s ³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно y_i n+2 , i = 1, 2,…, N – 1, имеет вид

где a_i = 0,5 (k(y n _i) + k(y n _i-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение y_i n+1 , i = 1, 2,…, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

Часто используется нелинейная схема

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для y_i n+1 выбирается y_i n . Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ³ c₁ > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения y_i (S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

из которой находятся промежуточные значения y_i n+1/2 , i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = y_i n+1/2 , т.е. схема