Разностные методы решения уравнений математической физики

Методы решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных

5.2. Методы решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных

5.2.1. Обзор методов решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от их математической природы — эллиптические, параболические и т. п. — либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач — уравнение диффузии, волновое уравнение и т. п. Приведем классификацию наиболее часто встречающихся простейших уравнений в частных производных и области их использования.

Примеры задач, в которых встречается уравнение

Установившееся течение жидкости. Стационарные тепловые поля.

Теплопередача с внутренними источниками тепла.

Распространение звуковых волн.

Здесь: ; D 2f=

В настоящее время можно выделить три основных подхода к решению задач математической физики. Прежде всего это широкий спектр математических методов, известных под названием взвешенных невязок (рисунок ниже).

К другому классу относят различные сеточные или конечно-разностные методы, получившие широкое распространение вследствие простоты и наглядности формулировки и, наконец, интенсивно развивающиеся в последнее время вероятностные методы.

Широкому распространению некоторых модификаций этих методов способствовало прежде всего появление ЭВМ, а также достаточно степень алгоритмизации, разрешаемая структурой этих методов.

5.2.2. Метод конечных разностей для уравнений в частных производных.

Также как и при решении методом конечных разностей обыкновенных дифференциальных уравнений в основе решения уравнений в частных производных тем же методом лежит конечно-разностная аппроксимация производных. В области изменения независимых переменных уравнения L(f)=0 вводится сетка с достаточно малым шагом h. Отсюда МКР, применяемый для решения двумерных задач, часто называют методом сеток. Алгебраическое (или трансцендентное) уравнение Lh(f)=0 ,определенное в узлах сетки путем замены производных их конечно-разностными соотношениями и называемое сеточным или разностным уравнением, должно обеспечивать при неограниченном измельчении сетки при h®0 для любой достаточно гладкой функции Lh(f) ® L(f). При этом величина | Lh(f) — L(f)|. называется локальной погрешностью или погрешностью аппроксимации (дискретизации). Погрешность аппроксимации легко определяется при помощи разложений в окрестности данного узла сетки достаточно гладкой функции в соответствующие ряды Тейлора.

В основе решения уравнения в частных производных методом конечных разностей лежит конечно-разностная схема аппроксимации производных, которая во многом напоминает описанную ранее процедуру для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Аппроксимация осуществляется в три этапа:

Сначала в области решения вводят равномерную сетку ²узловых точек², соответствующую характеру задачи и граничным условиям. Затем решаемое уравнение в частных производных записывают в наиболее удобной системе координат и, представляя производные в конечно-разностной форме, приводят его к виду разностного уравнения.

Полученное разностное уравнение используют в дальнейшем для описания функциональной связи между соседними узлами сетки. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему n уравнений с n неизвестными. На последнем этапе полученную систему n уравнений с n неизвестными решают одним из численных методов. На первый взгляд эта процедура, состоящая из трех этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако это не так — широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений, возможных конечно-разностных аппроксимаций и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнений в частных производных исключительно многогранным исследованием.

Наиболее часто используются следующие виды сеток:

а) прямоугольная; б) полярная; в) треугольная; г) скошенная.

Запишем несколько формул, выражающих производные функции двух переменных в конечных разностях, для сетки с квадратной ячейкой и — шагом сетки (см. рисунок):

Получим также формулу для смешанной производной:

Можно выразить и лапсиан:

Информацию о коэффициентах при значениях функции в выражениях для конечно-разностных аналогов производных удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. Ниже приводятся вычислительные шаблоны для наиболее часто встречающихся производных.

Аналогично , , и т. д., например:

Напомним, что D 2f=

Все приведенные вычислительные шаблоны имеют погрешность порядка h .

Следует отметить, что можно построить и более точные (имеющие меньшую погрешность) вычислительные шаблоны, если включить в рассмотрение дополнительные узлы. В основе всех построенных до сих пор вычислительных шаблонов лежит центрально — разностная аппроксимация. Иногда, чтобы свести к минимуму распространение ошибок, пользуются левыми и правыми разностями.

Вычислительными шаблонами следует пользоваться с осторожностью, так как построенное с их помощью разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в частных производных, при счете может оказаться неустойчивым. Разностная схема считается неустойчивой, если погрешность, каково бы ни было ее происхождение, с течением времени не убывает.

Границы неправильной формы.

Нередко приходится иметь дело с областями неправильной формы. Хотя границы таких областей нельзя точно задать с помощью какой-либо одной из указанных сеток, существуют специальные методы, с помощью которых можно так модифицировать стандартные сетки, что они позволяют описать границу сложной конфигурации.

Вычислительные шаблоны для конкретного дифференциального уравнения в частных производных можно видоизменить так, чтобы учесть неправильную форму границ рассматриваемой области. Для этого, записывая производные в центрально-разностной форме, следует учесть вклад узлов, лежащих на границе области. В качестве примера рассмотрим вычислительный шаблон уравнения Лапласа в области ограниченной произвольной кривой.

Вторые частные производные для узлов, лежащих на границе области, можно записать в виде.

;

Сложив две производные, получим D f. После ряда преобразований найдем:

Соответствующий вычислительный шаблон представлен ниже.

Применив вычислительный шаблон к каждому из n узлов сетки, получим систему n уравнений, которая может быть линейной, если исходное уравнение имеет соответствующую структуру. В этом случае придется решать систему уравнений вида:

X=

Обычно матрица коэффициентов оказывается ²разреженной² (содержит много нулевых элементов), так как в большей части вычислительных схем используется лишь несколько соседних узлов, а не все узлы сетки.

Методы решения таких уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить точное решение, выполнив конечное число операций. Примером прямого метода может служить правило Крамера для решения совместных линейных алгебраических уравнений. Обычно для больших систем уравнений прямые методы неэффективны, так как при их применении требуется выполнение огромного объема вычислений и очень большой объем памяти ЭВМ. Поэтому чаще всего пользуются итерационными методами. Сущность итерационных методов заключается в многократном повторении одного и того же простого алгоритма, который дает результат, постоянно приближающийся к точному решению. Итерации начинаются с задания начального приближенного решения. Затем начальные значения переменных в узлах сетки последовательно меняются, пока не достигается заданная точность решения. Быстрота сходимости итерационного метода сильно зависит от степени точности начальной аппроксимации. Поэтому интуиция инженера может оказать большое внимание на эффективность вычислительного процесса. Итерационные методы подразделяются на точечные и блочные. В первом случае алгоритм используется для модификации приближенного решения в одном узле сетки, покрывающей область. Во втором случае решение модифицируется сразу в группе узлов сетки. Наиболее часто применяемые точечные методы: Метод Якоби, метод последовательных смещений, метод последовательной верхней релаксации. Эти методы знакомы по курсу ²Численные методы и оптимизация², поэтому, здесь они рассматриваться не будут.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения в частных производных.

Пример 3. Определить прогибы прямоугольной шарнирно-опертой пластины при распределенной нагрузке, направленной перпендикулярно плоскости пластины.

Будем рассматривать изотропную пластину постоянной жесткости. Разрешающее уравнение такой пластины имеет вид:

где w = w (x, y) — функция прогибов, q =q (x, y) — поперечная распределенная нагрузка,

Здесь D = — цилиндрическая жесткость

Разделим пластину в каждом направлении на четыре части:

Точки 1 — 9 — внутренние узловые. Точки III — IX граничные точки.

Используем формулы (или шаблоны):

;

;

Точка 1.

+

Последние два условия, записанные в конечных разностях, дают:

; ;

Таким образом, алгебраическое уравнение, соответствующее первой узловой точке, принимает вид:

и уравнение, соответствующе 2-ой узловой точке принимает вид:

Для упрощения решения положим q=q0=const, Dx=Dy=a/4, a=b, т. е. имеем квадратную пластину при равномерном давлении и сетку с квадратной клеткой. Тогда из симметрии следует

w1=w3=w7=w9; w2=w4=w6=w9. Тогда разрешающая система алгебраических уравнений с учётом вида уравнений, построенных для узловых точек 1, 2 и 5 будет иметь вид:

— 16w2 + 2w5 = 20w1 qa4 / 256 D

-16w1 + 28w2 — 8w5 = qa4 / 256 D (5.3.22)

8w1 —32w2 + 20w5 = qa4 / 256 D

Из решения этих уравнений имеем:

Максимальный прогиб (в точке 5) :;

Точное решение:

Ознакомившись с МКР, нельзя не отметить исключительную простоту и ясность его принципов. Поэтому может показаться удивительным, что после относительно короткого периода популярности и бурного развития ныне этот метод используется все реже.

Назовем три главные причины вытеснения этого метода из практики.

1. Решение систем вида, аналогичному системе из трёх уравнений (5.3.22) рассмотренного примера выполняется очень быстро. Сложность кроется не в решении, а в составлении таких систем уравнений. В рассмотренных выше примерах мы, в целях упрощения, ограничивались прямоугольной областью. В большинстве практически важных задач область определения решения имеет более сложную форму (см рисунок).

В этом случае точки, в которых заданы граничные условия не всегда попадают на узловые точки равномерной сетки. Об этом мы говорили раньше. Кроме того, как мы убедились, при рассмотрении конкретных задач на границе могут задаваться не только значения некоторой функции, но и ее производные, или даже их комбинации. В результате помимо однотипных аккуратных уравнений типа (5.3.21) (5.3.22) в систему вклиниваются уравнения совсем другого вида. В этом случае матрица системы уже имеет не такой простой вид и имеет ряд нестандартных строк..

Таким образом, первая причина первая – сложность задания граничных условий.

2. Очень часто решение дифференциального уравнения оказывается быстро меняющимся на одних участках и гладким на других. Таково, например, решение задачи о краевом эффекте. Так в топливном баке, изображенном на рисунке, в зоне стыка цилиндрической обечайки шпангоута и сферического днища возникают изгибные деформации, которые быстро затухают по мере удаления от места стыка. Для того, чтобы численное решение на участке быстрого изменения функции было достаточно точным, шаг конечно-разностной сетки должен быть очень малым. В то же время на удалении от зоны краевого эффекта в использовании такого же мелкого шага нет никакой необходимости. Возникают два варианта решения проблемы: 1) во всей области задать малый шаг и получить систему с огромным количеством неизвестных; 2) использовать переменный шаг и значительно усложнить выражения конечно-разностных аппроксимаций производных.

Поэтому причина вторая – сложно обеспечить различную точность решения для различных участков области.

3. При расчете прочности какой-либо реальной конструкции, оказывается, что для различных ее частей необходимо использовать различные дифференциальные уравнения. Так, например, для крыла работа поясов лонжеронов хорошо описывается с помощью уравнений растяжения-сжатия стержня; для стенок лонжеронов и нервюр хорошей математической моделью являются уравнения плоской задачи теории упругости; для обшивки подходит безмоментная теория оболочек. Между тем каждая из этих теорий описывается различными дифференциальными уравнениями. Значит, конечно-разностные аппроксимации этих уравнений будут различными. Кроме того, основные неизвестные в этих системах дифференциальных уравнений могут оказаться различными по физическому смыслу. Следовательно, возникает проблема увязки решений друг с другом. Таким образом, третья причина вытеснения МКР – сложности, возникающие при объединении различных математических моделей в единую расчетную схему.

Конечно, все эти три проблемы не являются неразрешимыми. В период примерно тридцатилетнего периода активного использования разностных методов разработаны способы решения многих задач математической физики, в том числе и механики деформируемого твёрдого тела. Дело, однако, в том, что родившийся в 1956 году метод конечных элементов (МКЭ) очень просто решает большинство из перечисленных проблем

Итак, с середины 50-х годов прошлого столетия интенсивно развивающийся метод конечных элементов (МКЭ), впервые применённый для описания сплошных сред и с тех пор завоевавший известность исключительно полезного инженерного метода, стал широко применяеться в гидродинамике, аэродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях.

В методе конечных разностей производится аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения.

В методе конечных элементов аппроксимируется функция в объёме (площади, протяжении) конечного элемента.

Для этого физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью, отдельные части которой рассматриваются как реальные физические тела, работающие каждый по своему (или одинаковому) закону. Т. е. работа сложной системы заменяется совместной работой элементов её образующих. Это позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи.

Метод конечных элементов значительно более сложен для понимания, чем МКР, но обладает огромными преимуществами по сравнению с МКР, главное из которых заключается в возможности построения на его основе программ широкого назначения для решения широкого круга задач математической физики. Поэтому его рассмотрению в дальнейшем будет уделено самое пристальное внимание, а настоящий раздел завершим примерными рекомендациями по решению дифференциальных уравнений в частных производных.

5.3.2. Общие рекомендации по решению дифференциальных уравнений в частных производных.

Поскольку каждому уравнению в частных производных присущи свои особенности, а граничные условия делают каждую задачу непохожей на другие, то практически невозможно сформулировать общие рекомендации, которые были бы полезны при решении таких уравнений. Однако во всех случаях полезно иметь в виду следующие правила:

1. Сначала следует выяснить, какова должна быть точность искомого решения. Если она высока, то для решения данного дифференциального уравнения может потребоваться весьма мелкая сетка или разбиение тела на очень малые элементы.

2. Затем надо внимательно изучить форму области, в которой отыскивается решение. Учесть симметрию и т. д.

3. Следует тщательно выбирать начальные значения переменных. При использовании итерационных методов скорость сходимости прямо зависит от близости исходных данных к решению.

Если хорошее исходное приближение задать не удается, то может оказаться полезным разделить решение задачи на два и более этапов. На первом этапе с помощью весьма грубой сетки или разбиения на очень крупные элементы получают хорошее исходное приближение, а затем уже ищут точное решение на гораздо более мелкой сетке или разбивая тело на мелкие элементы.

4. Следует выбрать метод, более всего подходящий для решения данной задачи.