Разностные схемы для дифференциальных уравнений в частных производных

Конечно-разностные аппроксимации производных (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

Конечно-разностные аппроксимации производных

Конечно-разностные аппроксимации производных (конечные разности) — способ приближенного вычисления частных производных

Выражения для конечных разностей можно получить из разложения функции в ряд Тейлора:

Или более коротко с использованием индексов точек:

Отсюда , где — остаток.

Отбрасывая остаток можно получить правую разность:

Погрешность такой аппроксимации определяется старшим членом в отброшенном остатке и в данном случае этот член содержит в первой степени.

Аналогичным образом, разлагая в ряд функцию можно получить:

Получим новую аппроксимацию первой производной:

которая называется левой разностью. У нее погрешность также определяется членом, содержащим в первой степени. Однако, если из выражения (1) вычесть (2), то можно получить более точную аппроксимацию первой производной, которая называется центральной разностью:

В этом случае член, определяющий погрешность аппроксимации, будет содержать во второй степени.

Аппроксимацию второй производной можно получить исходя из ее определения, — отношение приращения функции к приращению аргумента, где в качестве функции выступает аппроксимация первой производной. Также ее можно получить из выражений (1) и (2), если из (1) вычесть (2), отбросить члены содержащие производные старше второй, то получим:

Отброшенный остаток будет содержать член с во второй степени (после деления на )

Исходя из определения, можно получить выражения для третьей, четвертой и более старших разностей:

Для функции двух переменных выражения для конечных разностей, в предположении что первый индекс относится к координате , а второй — , будут выглядеть следующим образом:

Смешанная производная может быть получена следующим образом:

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей

Метод конечных разностей — универсальный сеточный численный метод решения задач микроуровня.

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей — последовательность действий, приводящая к решению стационарной задачи микроуровня

Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства. Сетка — совокупность точек (узлов) дискретного пространства, аппроксимирующего непрерывное исходное пространство. Сетка выбирается таким образом, чтобы на ней легко можно было аппроксимировать производные с помощью конечных разностей. Как правило это равномерная прямоугольная сетка, но может быть и сетка заданная в полярных координатах, и неравномерная сетка, если таковая быстрее приводит к решению задачи. При наненсении сетки, если это возможно, следует учесть симметрию объекта. Это поможет сократить размерность аппроксимирующей системы уравнений. Нумерация узлов сетки. Для повышения эффективности решения в условиях использования свойства разреженности матрицы коэффициентов математической модели нумерацию следует проводить так, чтобы разность номеров соседних узлов была минимальной. Так, если двумерный объект имеет размер по оси больше, чем по оси , то нумерацию узлов нужно выполнять вдоль оси (вдоль короткой стороны). Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки. При необходимости запись уравнений граничных условий для приграничных узлов. В результате должна быть получена замкнутая система, в общем случае, нелинейных алгебраических уравнений. Решение системы алгебраических уравнений.

Решение линейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической стороны, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач методом конечных разностей наносим на объект равномерную сетку, как это показано на рис. 1.

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:

В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются и , а и — известные граничные условия.

Решив систему уравнений, получим и . Это решение является точным, поскольку в исходной постановке задача линейная.

Рассмотрим теперь решение задачи с краевым условием второго рода, на правой границе стержня задан тепловой поток:

Пусть и .

Запишем разностные аналоги для внутренних узлов сетки:

Получили незамкнутую систему алгебраических уравнений (неизвестными являются , и ), дополнить которую можно разностным аналогом краевого условия (1).

Проще всего воспользоваться левой разностью:

Решая эту систему уравнений, получим , , .

Однако можно заметить, что аппроксимация задачи во внутренних узлах имеет второй порядок точности, а на границе — первый.

Можно вспомнить, что аппроксимация первой производной с помощью центральной разности имеет второй порядок точности, но для этого необходимо, чтобы граничный узел 3 был бы центральным узлом. Используется следующий прием: вводиться дополнительный фиктивный узел за пределами области, бывший граничный узел 3 становиться как бы внутренним (см. рис. 2)

Теперь можно записать следующую систему конечно-разностных уравнений:

За повышение точности пришлось заплатить увеличением размерности системы конечно-разностных уравнений.

Решение нелинейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической поверхности, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для анизотропной среды выглядит следующим образом:

где — коэффициент теплопроводности.

Возможны нелинейности двух типов: коэффициент теплопроводности может зависеть от координаты (среда с неоднородными свойствами) и от температуры. Рассмотрим случай зависимости коэффициента теплопроводности от координаты на примере приближенного решения задачи об остываниии комнаты через окно с одинарным и двойным остеклением.

Предположим, что толщина стекла . Температура в комнате , на улице —

Тепловой поток на улицу пропорционален градиенту температуры, то есть .

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач наносим на объект равномерную сетку, в предположении, что промежуток между стеклами равен двойной толщине стекла, как это показано на рис. 1.

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:

В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются , и , а и — заданные граничные условия. Условно будем читать, что (реальные значения , ).

Решив систему уравнений, получим , и . В этом случае градиент температуры составит , то есть двойное остекление в 20 раз эффективнее одинарного.

В том случае, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры, например для металлов он пропорционален ей, придем к следующей системе нелинейных алгебраических уравнений (для сетки из четырех узлов, два из которых внутренние):

Данную систему придется решать итерационными методами.

Решение нестационарных одномерных задач с помощью МКР

Для решения нестационарных задач с помощью МКР используется та же идея дискретизации независимой переменной, что и при решении стационарных задач, в данном случае такой независимой переменной помимо пространства является время. На ось времени наносится сетка, в узлах которой выполняется аппроксимация частной производной по времени.

Но поскольку при этом возможны различные сочетания конечных разностей по оси координат и по времени, можно получить различные схемы решения нестационарных задач. Рассмотрим их на примере нестационарного уравнения теплопроводности:

Пусть при записи разностей нижний индекс соответствует оси , а верхний — оси времени.

Первый вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):

называется явной разностной схемой, поскольку в этом уравнении всего одна неизвестная величина , которая может быть вычислена явным образом. Остальные переменные, входящие в уравнение (2) известны либо как начальные условия (при ), либо с предыдущего временного слоя.

Второй вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):

называется неявной разностной схемой, поскольку в этом уравнении несколько неизвестных величин, относящихся к -му временному слою. Для их нахождения придется записать систему разностных уравнений для всех внутренних узлов сетки, и решить ее.

Графическое изображение разностных уравнений получило название шаблонов решения сответствующих задач. В данном случае на рис. 1,а представлен шаблон явной разностной схемы, а на рис. 1,б — неявной.

Рис. 1. Шаблоны явной и неявной разностной схемы

Использование шеститочечного шаблона применено в схеме Кранка-Николсона:

В общем случае использования шеститочечного шаблона, имеем схему с весами:

которая при является неявной.

Примеры решения нестационарных задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны, с заданной температурой на боковых гранях (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия).

Решим задачу с помощью явной разностной схемы.

Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

Пусть , выберем значения шага по оси и значение шага по оси времени .

Наносим на объект равномерную сетку по оси , как это показано на рис. 1.

Записываем явную разностную схему для узла 1:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Записываем явную разностную схему для узла 2:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Таким образом найдено температурное поле в момент времени .

Аналогично для момента времени :

Для момента времени :

Получили картину прогревания стержня в течение трех единиц времени, представленную на рис. 2.

Результат явно не соответствует физическим процессам, произошло это из-за того, что явная разностная схема является неустойчивой. Неустойчивость выражается в том, что существует некоторое значение шага по времени, при превышении которого погрешность вычислений резко возрастает. Исследование устойчивости выходит за рамки этого изложения, но согласно литературе для данной задачи должно выполняться следующее соотношение:

Как нетрудно проверить, условие не было выполнено. Чтобы удостовериться в работоспособности явной разностной схемы, повторим вычисления для :

Теперь картина прогревания не противоречит физическому смыслу задачи.

Аналитическое условие устойчивости можно получить только для простых модельных задач, но можно обеспечить устойчивость вычислений алгоритмически в том числе и для нелинейных задач следующим образом:

вычислить значения производных по времени во всех внутренних узлах объекта; определить максимальное из этих значений; разрешить измениться переменной в этом узле на некоторую заданную величину, которая определяется из физического смысла задачи. (Например для нашей задачи максимальной значение температуры внутри стержня , за один шаг по времени можем позволить измениться ей, допустим, на . Исходя из этого вычисляем значение ); выполняем шаг по времени для всех узлов, изменение температуры во всех узлах не превысит разрешенной величины; если модельное время не закончилось переходим к пункту 1.

Рассмотрим решение задачи явной разностной схемой с граничными условиями второго рода (типа Неймана).

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны, с заданной температурой с левой стороны, заданным тепловым потоком с правой (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия)(см. рис. 3).

Разностные схемы для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Баззаев Александр Казбекович, Цопанов Игорь Дзастемирович

В настоящее время для описания физических систем, обладающих такими свойствами, как степенная нелокальность, долговременная память и фрактальность, возникает дробно-дифференциальное уравнение. При этом порядок дробной производной определяется размерностью фрактала. Дробное математическое исчисление в теории фракталов и физических систем, которые обладают памятью и нелокальностью, приобретает такое же важное значение, как классический анализ в механике сплошных сред. В данной работе рассматриваются разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для дифференциальных уравнений с дробной производной по времени и по пространственной переменной. С помощью принципа максимума получены априорные оценки , доказаны устойчивость и равномерная сходимость разностных схем .

Difference schemes for partial differential equations of fractional order

Nowadays, fractional differential equations arise while describing physical systems with such properties as power nonlocality, long-term memory and fractal property. The order of the fractional derivative is determined by the dimension of the fractal. Fractional mathematical calculus in the theory of fractals and physical systems with memory and non-locality becomes as important as classical analysis in continuum mechanics. In this paper we consider higher order difference schemes of approximation for differential equations with fractional-order derivatives with respect to both spatial and time variables. Using the maximum principle , we obtain apriori estimates and prove the stability and the uniform convergence of difference schemes.

Текст научной работы на тему «Разностные схемы для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка»

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

А.К. БАЗЗАЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ

Аннотация. В настоящее время для описания физических систем, обладающих такими свойствами, как степенная пел окал вноств, долговременная памяти и фракталъ-ноств, возникает дробно-дифференциалвное уравнение. При этом порядок дробной производной определяется размерноствю фрактала. Дробное математическое исчисление в теории фракталов и физических систем, которвіе обладают памятвю и нелокалв-ноствю, приобретает такое же важное значение, как классический анализ в механике СПЛОШНВІХ сред.

В данной работе рассматриваются разностнвіе схемы поввпненного порядка аппроксимации для дифференциалвнвіх уравнений с дробной производной по времени и по пространственной переменной. С помощвю принципа максимума полученві априорнвіе оценки, доказанві устойчивости и равномерная сходимости разностнвіх схем.

Ключевые слова: началвно-краевая задача, дифференциалвнвю уравнения дробного порядка, дробная производная Капуто, производная дробного порядка, уравнение медленной диффузии, разностная схема, принцип максимума, устойчивости разностной схемы, равномерная сходимости, априорная оценка, сосредоточенная теплоемкости на границе.

Mathematics Subject Classification: 65М12

Интегралы и производные нецелого порядка и дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной математике. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для описания физических систем, которые обладают памятью и нелокальное! ыо. Многие процессы в сложных системах обладают нелокальное’! ыо и характеризуются долгосрочной памятью. Дробные интегральные и дробные дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих характеристик. Использование дробного математического анализа может быть полезным для получения динамических моделей, в которых интегро-дифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальноеть сложных сред И процессов [1].

Наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как отражение особого свойства описываемого процесса — памяти, или в случае стохастического процесса — немарковоети. Дробная производная по координатам обычно отражает самоподобную неоднородность структуры или среды, в которой развивается процесс. Такие

А.К. Bazzaev, I.D. Tsopanov, Difference schemes for partial differential equations of

Поступила 31 мая 2018 г.

структуры называют фракталами. При этом порядок дробной производной определяется размерностью фрактала. Простые формулы, связывающие размерность фрактала df с порядком дробной производной, получены в работе [2]. В настоящее время в качестве математических моделей физических процессов рассматривают дифференциальные уравнения в частных производных дробных порядков по времени и по пространству [3] [6].

Для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов (см, [7]—[11]) — Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы и т.д. В случае когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникновении континуумами, для описания фильтрации однородной жидкости обычно используется модель Баренблатта-Желтова (см. [12]). В случае когда пространство представляет собой фрактал с размерностью Хауедорфа-Безиковича df, погруженный в сплошную среду с размерностью d (d > df, d = 2,3), для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка (см, [13]), Дробнодифференциальное уравнение возникает также при изучении физических процессов стохастического переноса (см, [8]),

Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают также при изучении многих физических процессов [14] [15], при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде [16],

Перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источников, приводит к иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией. Эти малые концентрации или «далекие хвосты распределений» при дробной производной подчинены степенному закону убывания, что заставляет пересмотреть существующие представления о безопасности, базирующиеся на представлениях об экспоненциальной скорости затухания (см, [17], [18]), Как отмечено в [19], дробное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в механике сплошных сред.

Существуют достаточно много подтверждений тому, что для диффузионного процесса характерно нелинейное нарастание среднего квадратичного отклонения [20], Нарушения проявляются во многих ситуациях, в том числе при движении частиц в плазме [21], турбулентной диффузии частиц [22], В качестве математических моделей подобных процессов рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных дробных порядков по пространству и времени [3] [5]. В работе [6] для численного моделирования аномальной диффузии в многомерной области применяется метод приближенной факторизации, Для первой начально-краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробных порядков по пространству и времени изучена чисто неявная схема на основе метода приближенной факторизации, доказана устойчивость схемы для рассматриваемого класса задач,

В работе [23] рассматривается специальная полудиекретная схема на основе метода Га-леркина, а также полностью дискретная схема, основанная на методе Крайка Николсона для первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения параболического типа с дробной производной Римана-Лиубилля порядка а Є (1,2) по пространственной переменной:

Ut — = f, X Є D = (0,1), 0 0, A± > A* > 0,

дробная производная Капуто порядка а, 0 0.

Аналогично ([47], етр. 401) получим для уравнения (2) монотонную схему второго порядка аппроксимации по h, для которой справедлив принцип максимума при

9.1. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Простейшие приемы построения разностных схем

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и т. д. Многие задачи механики сплошной среды сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных. В большинстве случаев получить решение таких уравнений в явном виде не представляется возможным, поэтому широко применяются приближенные методы. Построение различных схем методом конечных разностей в случае уравнений в частных производных зависит от типа уравнений и вида граничных условий.

Пусть G – некоторая область изменения независимых переменных X, Y , ограниченная контуром Г. Говорят, что в области G задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(X,Y), если для любой точки из области G имеет место соотношение:

Коэффициенты уравнения, вообще говоря, зависят от X, Y. Если ABC0, а D0 и E0, то уравнение (9.1) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Обозначим Q= B2+ AC, Q= Q(X, y). Уравнение называется эллиптическим, если Q 0, и гиперболическим — если Q=0 для всех (X,Y) из области G.

Например, уравнение Пуассона Является уравнением Эллиптического Типа (Q 0), действительно, так как A=1, B=0, C=-1, то Q=1.

источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/raznostnye-shemy-dlya-differentsialnyh-uravneniy-s-chastnymi-proizvodnymi-drobnogo-poryadka

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/metody-vychislenii-o-n-gavrishina-m-r-ekimova-l-n-fomina/9-1-metody-resheniia-differentcialnykh-uravnenii-v-chastnykh-proizvodnykh-prosteishie-priemy-postroeniia-raznostnykh-skhem