Разностные уравнения первого порядка это

Разностные уравнения

Содержание:

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, . функция f (x) принимает значения f (x₁), f (x₂), f (x₃) . , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁), f (x₃) – f (x₂), .

Приращение функции при переходе от значения x_i к значению x_i+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a x , то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t; y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем или
поэтому

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую ​​функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
(7.52)
где a₀, a₁, . a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)

Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, . A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, . A_n).

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим y_t и y_t-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)

Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда

Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Разностные уравнения первого порядка это

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Дифференциальные и разностные уравнения

Тема лекции: «Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка»

1. Основные понятия теории разностных уравнений.

2. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями первого порядка.

3. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Многочисленные применения разностных уравнений в экономических, биологических, математических исследованиях, в теории автоматического регулирования, в теории нелинейных колебательных процессов и в других задачах требуют знания элементарной теории разностных уравнений.

Введем основные понятия теории разностных уравнений.

1.1. Конечные разности n -го порядка.

Рассмотрим функцию действительной переменной y(t), t Î R .

Пусть h > 0 – положительное действительное число.

называется первой конечной разностью или конечной разностью первого порядка функции y( t ).

Разумеется, мы предполагаем, что функция y(t) определена в рассматриваемых точках. Заметим, что в теории дифференциального исчисления функции одной переменной величину h называют приращением аргумента, а ∆ y ( t ) приращением функции (в точке t).

Число h будем называть шагом.

Положим ∆ 0 y ( t ) = y(t).

Конечные разности высших порядков определяются рекуррентным образом формулой

где n Î N – произвольное натуральное число.

Так, например, для n = 2 из формулы (1.2) имеем:

∆ 2 y ( t ) = ∆(∆ y ( t ))= ∆( y ( t + h ) – y ( t )) = ( y ( t +2 h ) – y ( t + h )) – ( y ( t + h ) – y ( t )) = y ( t +2 h ) – 2 y ( t + h ) + y ( t ).

Методом математической индукции нетрудно убедиться в том, что операция взятия конечной разности n–го порядка является линейной операцией, то есть выполнены следующие равенства:

Предлагаем в этом убедиться самостоятельно.

Значение ∆ n ( y ( t )) легко выражается через значения функции y( t ) в равноотстоящих точках

А именно, справедлива формула

Убедимся в справедливости этой формулы методом математической индукции.

1. Покажем, что формула (1.3) верна при n =1. Запишем формулу (1.3) при n = 1:

∆ y ( t ) = – y ( t ) + y ( t + h ) , что верно по определению.

2. Предположив, что формула (1.3) справедлива для конечной разности (n – 1)-го порядка,

осуществим индуктивный переход от ( n –1) к n. Мы имеем:

В первой из сумм сделаем замену индекса суммирования k +1 = m , а затем снова m заменим на k. Тогда получим:

Так как для биноминальных коэффициентов справедливо равенство

Учитывая, что C 0 _n = 1, C n _n = 1 , крайние слагаемые можно включить в общую сумму

Формула (1.3) доказана.

Отметим, что если в формуле (1.3) сделать замену индекса суммирования m = n – k и воспользоваться свойством биноминальных коэффициентов C k _n = C n — k _n , то формулу (1.3) можно записать в виде

Аналогично методом математической индукции можно доказать, что справедлива формула

Предлагаем в этом убедиться самостоятельно.

Разностным уравнением называется функциональное уравнение

где y ( t ) – функция действительной переменной t Î R , ∆ y ( t ), …, ∆ n ( y ( t )) – конечные разности 1-го, …, n -го порядков функции y ( t ).

Если в уравнении (1.4) все конечные разности раскрыть по формуле (1.2), то мы придем к уравнению вида

будем называть разностным уравнением n –го порядка, если левая часть этого уравнения явно содержит y ( t ) и y ( t + nh ).

ПРИМЕР 1. Определить порядок уравнения

∆ 3 ( y ( t )) + ∆ 2 ( y ( t )) – ∆( y ( t )) – y ( t ) = 0.

Решение примера 1.

∆ y ( t ) = y ( t + h ) – y ( t ) ,

∆ 2 y(t) = y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t).

∆ 3 y(t) = y(t+3h) – 3y(t+2h) + 3y(t+h) – y(t),

∆ 3 (y(t)) + ∆ 2 (y(t)) – ∆( y(t)) – y(t) = y(t+3h) – 3y(t+2h) + 3y(t+h) – y(t) + y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t) – y(t+h) + y(t) – y(t) = y(t+3h) – 2y(t+2h) .

В полученном уравнении

y ( t +3 h ) – 2 y ( t +2 h ) = 0

сделаем замену независимой переменной

и придем к уравнению

Полученное уравнение имеет первый порядок.

Ответ. Разностное уравнение ∆ 3 ( y ( t )) + ∆ 2 ( y ( t )) – ∆( y ( t )) – y ( t ) = 0 имеет первый порядок.

Непрерывная функция y(t) называется непрерывным решением уравнения (1.5) на множестве T , если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество на T .

Например, функция y(t) = 3 t является непрерывным решением уравнения

на множестве действительных чисел R.

Действительно, y (t+2) = 3 t +2 = 9 ∙ 3 t . Тогда y (t+2) – 9y(t) = 9 ∙ 3 t – 9 ∙ 3 t = 0.

Ясно, что любая функция вида y(t) = C(t)3 t , где C(t) — произвольная периодическая функция с периодом T = 2 , также является решением предыдущего уравнения.

1.2. Сетки и сеточные функции.

В математических приложениях наряду с функциями непрерывного аргумента приходится иметь дело также с функциями дискретного аргумента, т.е. с функциями, заданными на конечном (или счетном) дискретном множестве. Примерами таких функций являются функции, заданные таблицами, числовые последовательности, ряды.

Функции дискретного аргумента обычно обозначают f(x_k) или y(x_k).

Расстояние h_k = x_k+1 – x_k , k = 1, 2, . между соседними значениями аргумента могут быть любыми положительными числами. Однако наибольший интерес представляет случай, когда

величины h_k являются одинаковыми: h_k = h при всех k = 1, 2, . .

Это число h называют обычно шагом дискретизации. В этом случае x_k = kh, а функция f (x_k) становится функцией номера k, то есть

Сеткой на отрезке [a, b] называется любое конечное множество точек этого отрезка. Точки сетки называются ее узлами.

Заметим, что мы уже имели дело с сетками и их узлами – когда определяли понятие определенного интеграла и когда занимались приближенным вычислением определенных интегралов по формулам прямоугольников и трапеций и по формуле Симпсона.

Сетка называется равномерной, если ее узлы делят отрезок [a, b] на равные отрезки. Длина h такого частичного отрезка на отрезке [ a , b ] называется шагом сетки.

Очевидно, h = ( b – a )/n где n – число частичных отрезков.

Множество точек на [a, b] вида k = a + kh, k = 0, 1, 2, . n> образует равномерную сетку с шагом h.

В случае, когда узлы сетки делят отрезок [a, b] на неравные отрезки, сетка называется неравномерной.

Функция f , определенная в точках сетки < x_k >, называется сеточной функцией.

Соответствующие значения сеточной функции в узлах сетки обычно обозначают через y_k или f_k : f_k = f ( x_k )

Если сеточная функция определена на равномерной сетке, то ее значения обозначают через

где k – номер узла сетки (k = 0, 1, 2, . n).

В этом случае сеточная функция рассматривается как функция целочисленного аргумента.

Для того чтобы из функции непрерывного аргумента y(x) получить соответствующую сеточную функцию y(kh), надо аргумент x заменить на kh.

Для функции y = 4x 2 + x, определенной на отрезке [0, 1], составить равномерную сетку при

n = 4 и соответствующую сеточную функцию.

Решение примера 3.

Очевидно, шаг сетки h = 0,25. Получаем сетку <0; 0,25; 0,5; 0,75; 1>. Сеточная функция также есть множество, состоящее из пяти чисел: <0; 0,5; 1,5; 3; 5>.

1.3. Разности m -го порядка сеточной функции.

Аналогом первой производной функции непрерывного аргумента является первая разность сеточной функции.

Пусть y ( k ) – сеточная функция.

Разность первого порядка (или первая разность) сеточной функции y(k), обозначаемая через ∆ y(k), определяется по формуле:

Вторая разность ∆ 2 y(k) функции y(k) определяется как первая разность от ее первой разности:

Подставляя сюда значения ∆ y(k) и ∆ y(k+1), определяемые по формуле (1.6), получаем:

∆ 2 y(k) = y(k +2) – 2 y(k +1) + y(k).

Аналогично определяются ∆ 3 y(k) и вообще разность любого порядка m ≥ 2.

При этом разность m-го порядка ∆ m y(k) можно представить как линейную комбинацию значений y (k), y (k +1), . y (k+m).

В частности, мы имеем:

∆ 3 y(k) = ∆ 2 y(k+1) – ∆ 2 y(k) = y ( k +3) – 3 y ( k +2) + 3 y ( k +1) – y ( k ).

Найти все разности до m-го порядка включительно для функции y(k) = e α k .

Решение примера 4.

Таким образом, первая разность пропорциональна самой функции e α k .

где y ( k ) – неизвестная функция целочисленного аргумента (сеточная функция), а ∆ y ( k ), ∆ 2 y ( k ), …, ∆ m y ( k ) – ее разности, называется разностным уравнением, или уравнением в конечных разностях, m-го порядка.

Решением разностного уравнения (1.8) называется всякая сеточная функция y ( k ), обращающая его в тождество.

Ранее мы убедились, что конечные разности различных порядков могут быть выражены через значения исходной сеточной функции. Поэтому уравнение (1.8) можно представить в виде:

1.4. Линейные разностные уравнения m -го порядка.

Разностное уравнение вида

где a_j (k) и f(k) – известные функции, а y(k+j) – неизвестная функция от k ( j = 0, 1, 2, . m), причем

называется линейным разностным уравнением m-го порядка.

В случае, когда коэффициенты a₀, a₁, . a_m являются константами, методы решения таких уравнений аналогичны методам решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Вместе с неоднородным уравнением

рассматривается соответствующее однородное уравнение

Для разностных уравнений (в частности, для линейных разностных уравнений), так же как и для их дифференциальных аналогов, определяются понятия общего и частного решений.

Общее решение уравнения (1.11) имеет вид

где c₁ , . c_m – произвольные постоянные; их число равно порядку уравнения.

Частное решение уравнения (1.11) выделяется заданием значений функции y(k) в m произвольных, но расположенных подряд точках.

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, определяется понятие линейно независимой системы решений, доказывается, что общее решение уравнения (1.11) имеет вид:

где y₀(k) – общее решение соответствующего однородного уравнения (1.12), а ŷ( k ) – некоторое частное решение исходного уравнения (1.11).

Разностные уравнения имеют многочисленные приложения в моделях экономической динамики с дискретным временем.

2. ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ, ОПИСЫВАЕМЫХ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

2.1. Паутинная модель рынка.

При помощи разностных уравнений можно дать трактовку процессов сходимости и расходимости в паутинных моделях рынка. Для упрощения выкладок предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, то есть:

где a, b, m, n − положительные действительные числа.

Таким образом, если s_t = d_t , то из (2.1) получим соотношение

Уравнение (2.2) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

В качестве частного решения можно использовать равновесное решение:

Действительно, подставив выражение для p_t из формулы (2.3) в (2.2), легко получить, что частное решение имеет вид:

P’ = (a – m)/ (b + n) . (2.4)

Решая характеристическое уравнение

Таким образом, из (2.5) вытекает, что динамика цен носит колебательный характер.

если n > b , то с течением времени последовательностьt> будет удаляться от равновесного состояния;

если же n = b, то будут иметь место циклические колебания цены относительно равновесного состояния.

2.2. Задача об определении текущей стоимости купонной облигации.

Введем следующие обозначения.

F – номинальная стоимость купонной облигации (т.е. денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения, совпадающего с концом последнего купонного периода);

K – величина купона (т.е. денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода);

P(n) – текущая стоимость облигации в конце n -го купонного периода;

k – число купонных периодов;

r – процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях (предполагается, что она неизменна в течение всего срока обращения облигации).

Вышеперечисленные величины связаны между собой следующими соотношениями:

P (n+1) + K = (1+ r) P(n) . (2.7)

Таким образом, задача об определении текущей стоимости купонной облигации сводится к решению задачи Коши (2.6), (2.7) для неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве частного решения выберем равновесное решение:

Подставив выражение для P(n) из формулы (2.8) в (2.7), получаем:

Заметим, что величина K/r есть не что иное, как текущая стоимость бесконечной ренты, т.е. сумма, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать сумму K через каждый промежуток времени t при процентной ставке r. Действительно:

В справедливости этого равенства легко убедиться, посчитав сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, находящейся в правой части формулы.

Решив характеристическое уравнение

P(n) = C (1+r) n + (K/r) . (2.10)

Полагая в соотношениях (2.10) n = k и учитывая (2.7), имеем:

C = (F – K/r ) (1+r) –k . (2.11)

Из (2.10) в силу (2.11) следует, что последовательность P (n) будет возрастающей, если номинальная стоимость облигации выше чем стоимость бесконечной ренты, убывающей, если она меньше, и постоянной, если они равны.

3. РАЗНОСТНЫЕ (РЕКУРРЕНТНЫЕ) УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Некоторые типы разностных уравнений нам знакомы еще из школьной математики.

ПРИМЕР 5. Так, например, разностное уравнение второго порядка

задает признак арифметической прогрессии. Его решением является последовательность

где a₁ и d ≠ 0 – действительные числа.

определяет признак геометрической прогрессии, и его решением является последовательность

где b₁ и q ≠ 0 – действительные числа.

Рассмотрим уравнение (1.5). Пусть в уравнении (1.5) шаг h =1 .

Уравнение (1.5) в этом случае принимает вид

Обозначим через Z₊ множество целых неотрицательных чисел (то есть Z₊ = N È ).

Дискретным решением уравнения (3.1), соответствующим точке t₀ Î Z₊ , называется такая последовательность чисел y₀ , y₁ . y_k . что

3.1. Задача Коши для разностного уравнения.

Задачей Коши для разностного уравнения (3.1) (разностной задачей Коши) называется задача по отысканию такого дискретного решения y(t) этого уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям

Числа y₀, y₁. y _{n –1} называются начальными значениями решения y(t), t₀ называется начальной точкой.

Если y(t) – непрерывное решение уравнения (3.1) на множестве [t₀ ; + ∞ ), то последовательность y(t₀), y(t₀+1), . y(t₀+k), . будет дискретным решением этого уравнения.

Как правило, в дальнейшем изложении t₀ =0 .

Дискретное решение мы будем также записывать в виде y(t), но при этом следует помнить, что эта функция определена только в точках множества

Мы будем предполагать, что уравнение (3.1) можно однозначно разрешить относительно y(t+n) и y(t) , т.е. записать в виде

Если функция F ₁( t , u ₁, …, u_n ) , стоящая в правой части уравнения (3.3), определена при всех значениях t Î Z₊ , и любых значениях других аргументов u ₁, …, u_n , то дискретное решение однозначно определяется, если произвольно задать числа: t₀ Î Z₊ , y₀, y₁. y _{n –1}.

будет служить рекуррентной формулой, по которой можно последовательно найти y_n , y_n+1 .

Перед тем, как ввести понятие точки единственности решения Коши уравнения (3.1), рассмотрим простой пример.

решением разностной задачи Коши с начальным условием y(0)=1 является последовательность:

для любого k ≥ 1

Решение разностной задачи Коши с начальным условием y(0) = – 1 имеет вид:

для любого k ≥ 1

ВЫВОД. Различные начальные условия порождают одно и то же решение.

Ясно, что аналогичные примеры можно привести и для уравнений более высокого порядка.

Точка (t₀ , y₀ , y₁ . y_n-1) Î Z₊ ´ R n называется точкой единственности решения задачи Коши разностного уравнения (3.1), если для любого решения φ (t) разностной задачи Коши, удовлетворяющего начальным условиям

следует, что для всех k ≥ 1

т.е. различные начальные условия порождают различные решения.

Если мы потребуем, чтобы функция F ₂( t , u ₁, …, u_n ), стоящая в правой части уравнения (3.4), удовлетворяла условиям, аналогичным условиям, наложенным на функцию F ₁( t , u ₁, …, u_n ), то любая точка множества T₀ x R n является точкой существования и единственности решения разностной задачи Коши.

Разностные уравнения, как правило, имеют бесконечно много решений. Разумеется, можно составить разностные уравнения, которые не имеют решений.

Уравнение y 2 (t+1) + y 2 (t) + 1 = 0 не имеет действительных решений.

Пусть D – некоторое подмножество (n+1)- мерного пространства R n+1 , каждая точка которого является точкой существования и единственности решения разностной задачи Коши уравнения (3.1). Общим решением уравнения (3.1) в множестве D называется функция

удовлетворяющая двум условиям:

1) для любых допустимых значений произвольных постоянных C₁ . C_n эта функция является решением уравнения (3.1);

2) любое решение разностной задачи Коши уравнения (3.1) с начальными данными из D может быть получено из общего решения при некоторых значениях произвольных постоянных, которые определяются единственным способом.

3.2. Простейшие разностные уравнения первого порядка.

Рассмотрим некоторые разностные уравнения первого порядка. При построении общих решений этих уравнений будем проводить аналогично с теорией дифференциальных уравнений первого порядка.

Полагая в последнем равенстве последовательно

и суммируя, получаем с заменой n на t

Заметим, что для дифференциального уравнения первого порядка y ′ ( x) = f(x) соответствующее равенство (3.6) имеет вид

Рассмотрим теперь уравнение

и перемножая эти равенства, получаем с заменой n на t

Если y ( t ₀) ≠ 0 , то из условия

Сокращая равенство (3.8) на

находим все нетривиальные решения уравнения (3.7)

Полагая y(t₀) = C , получаем общее решение уравнения (3.7) в виде

Заметим, что последняя формула на самом деле содержит и тривиальное решение уравнения (3.7), если C = 0 .

С аналогичной ситуацией мы встречаемся при решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными y ′ ( x ) = p (x) y. Для этого уравнения формула аналогичная формуле (3.10) имеет вид:

Тривиальное решение уравнения y ′ ( x ) = p (x)y при разделении переменных, формально говоря, теряется.

Уравнение (3.7) является частным случаем линейного разностного уравнения первого порядка

Задача построения общего решения этого уравнения была решена еще Лагранжем. Рассмотрим метод построения общего решения, который называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Варьируя постоянную С в общем решении (3.10) уравнения (3.7), попытаемся подобрать функцию C(t) так, чтобы формула

давала решение уравнения (3.11).

Подставляя (3.12) в уравнение (3.11), получаем

Последнее уравнение имеет вид (3.5), поэтому общее решение этого уравнения можно записать в виде (3.6)

Подставляя полученное выражение для C(t) в формулу (3.12), находим общее решение уравнения (3.11)

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Васенкова Е.К., Волкова Е.С, Шандра Е.Г. Математика для экономистов. Дифференциальные и разностные уравнения: Курс лекций. М.: Финансовая академия, 2003. 116 с.

[2] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

[4] Ласунский А.В. Разностные уравнения: Конспект лекций. ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011.– 62с.

[5] Романко В.К . Разностные уравнения. Учебное пособие. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 112 с.

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.