Разработка темы решение показательных уравнений

План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Какая функция называется показательной?
2. Область значений показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
5. Сравнить числа 2,7 3 и 1.
6. Что является графиком линейной функции?
7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.

4. Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

Приведение обеих частей к общему основанию:

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16 х – 174 х + 16 = 0

Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t 2 — 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

Если t₁ = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х₂ = 2

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15 х + 20 х = 25 х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15 2 + 20 2 = 25 2

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+= 1

+= 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4 х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х 2

9
х 2 = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0

Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим

–

6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0

Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0

D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _, t₂ =_.

Если t₁ = х = _, х = () 1 , х₁ = 1.

Если t₂ = х = _, х = () -1 , х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.3 -х = —

4.64 х – 8 х –56 = 0

5.3 х +4 х = 5 х ( устно)

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

= 0

По теореме Виета получаем:

2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.

3.3 -х = —

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –

4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0

Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:

По теореме Виета:

t₁+ t₂ = 1
t₁ t₂ = – 56
t₁ = 8, t₂ = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁ = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.

5.3 х + 4 х = 5 х (устно)

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.

Домашняя контрольная работа.

I вариант

II вариант

Решите уравнения.

Решите уравнения.

1. 5 2-3x = 1/25;
2. 6 x+2 – 2•6 x = 34;
3. 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
4. 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
5. 25 x = 7 2x;
6. 3 x = -x-2/3.

1. 4 1-2x = 1/16;
2. 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
3. 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
4. 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
5. 2 2x = 91 x ;
6. 5 x = -x + 6.

Кроссворд “И в шутку и всерьез”.

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.

«Решение показательных уравнений»
методическая разработка

Тема «Решение показательных уравнений» является одной из основных тем при изучении раздела «Показательные и логарифмические функции». В настоящее время изучению показательных уравнений и функции уделяется большое внимание. Показательные функции представляют собой удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание.

Знания, полученные в курсе решения уравнений имеют внутрипредметный и межпредметный характер. Решения показательных уравнений и показательных функции встречается в самых различных областях науки в физике, химии, биологии, экономике. Также следует отметить и в повседневной жизни, применение имеющиеся знания для решения задач с практической направленностью.

Данная методическая разработка состоит из введения, плана урока, хода урока и его содержания, заключения, списка литературы, приложений и презентации. Предложенная работа может быть полезна и успешно использована преподавателями СПО как основа при проведении урока по теме «Решение показательных уравнений».

Открытый урок по теме «Показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования Московской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Московский областной профессиональный колледж»

по дисциплине «Математика»

на тему: «Решение показательных уравнений»

ДИСЦИПЛИНА ОДП.1 МАТЕМАТИКА

В методической разработке представлен план урока по ОДП.1 «Математика».

Методические рекомендации составлены преподавателем ГБОУ СПО «МОПК»
Рыбалкина М.В.

Учебная дисциплина ОДП.1 « Математика » является одной из основных дисциплин, предусмотренных учебным планом для обучающихся ГБОУ СПО «МОПК».

Методическая разработка урока теоретического обучения составлена на основании рабочей программы ОДП.1 «Математика» .

Целью создания методической разработки является презентация опыта работы преподавателя по обеспечению условий для полноценной деятельности обучающихся на уроке в рамках изучения учебной дисциплины.

систематизировать учебный материал занятия по учебной дисциплине;

совершенствовать структуру теоретического занятия;

Разработка представляет собой методическое сопровождение урока теоретического обучения по теме «Решение показательных уравнений».

Структура методической разработки:

конспект материала урока;

Методическая разработка предназначается в качестве материала для преподавателей общеобразовательных дисциплин при проведении урока в учебных группах, обучающихся профессиям экономического профиля.

Тема урока: Показательные уравнения

Закрепить основные знания по теме «Показательные уравнения»

Отработать навыки решения показательных уравнений различными способами.

сформировать умения решать показательные уравнения графическим способом.

Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления.

Развивать навыки самостоятельной работы.

Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности.

Закрепить знания о типах показательных уравнений

Получить и систематизировать знания о методах решения показательных уравнений

Выявить пробелы, затруднения в процессе закрепления изученного материала, провести работу по их устранению.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.

Методы: информационный, проблемный, тестовый, разноуровневый.

Формы организации деятельности учащихся : индивидуальная, групповая.

Межпредметные связи: экономика.

Продолжительность занятия : 90 минут.

Уровень обучающихся : 1 год обучения.

Количество обучающихся : 20-25 чел.

Место проведения занятия : кабинет математики

Материально-техническое и дидактическое, программное оснащение урока:

План-конспект урока, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради, оценочный лист, презентация.

Изучив тему, учащиеся должны:

определение показательного уравнения;

методы решения показательных уравнений;

классификацию типов показательных уравнений по методу решения.

решать показательные уравнения различными способами;

применять полученные знания для решения практических задач;

анализировать полученную информацию;

уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

Организационный момент ( 2 мин )

Приветствие. Отмечаем отсутствующих.

1 . Ознакомление учащихся с условиями оценивания их деятельности в ходе занятия ( 2 мин )

На ваших столах лежат оценочные листы. В ходе занятия, вы будете вносить количество баллов за каждое выполненное задание, самостоятельно оценивая свои знания (по одному баллу за выполненное задание). За работу у доски, за ответы с места даются дополнительные баллы. Я надеюсь, что ваша оценка будет объективной. (Приложение А)

Представить числа 3; 9; 27; ; 1 в виде степени с основанием 3;

Представить числа 2; 8; 64; 128; 0,5; 0,25; 1 в виде степени с основанием 2;

Обоснование темы и целей урока (14 мин)

На доске записаны две последовательности чисел:

Определить принцип построения числового ряда.

Давайте вместе сделаем вывод. Мы выяснили, что числа, записанные в каждом ряду, представляют собой степень некоторого положительного числа, не равного 1. Как вы считаете, можно ли записать это одним общим выражением? (можно а х = b )

Мы получили уравнение относительно переменной х, которая содержится в показателе степени. Как называется такой вид уравнения? (показательные). Кто может сформулировать определение показательного уравнения? (дают определение)

А какие условия должны выполняться для решения показательных уравнений? ( a )

Таким образом, мы вместе с вами подошли к теме нашего урока «Показательные уравнения». Запишите дату и тему урока в тетрадь.

Мы с вами знаем определение показательных уравнений, условия их существования, и, на предыдущих уроках, мы знакомились с различными способами решения показательных уравнений. Назовите эти способы (приведение к общему основанию, способ приведения к квадратному, способ вынесения общего множителя за скобки).

Сегодня нашей основной целью будет систематизировать и обобщить знания по теме «Показательные уравнения», отработать навыки решения уравнений различными способами. Показать практическую значимость показательных уравнений.

Организация деятельности учащихся по совершенствованию и закреплению знаний (25 мин)

Задание 1. Каждому ряду предлагается столбик показательных уравнений: (Приложение Б)

= 64;