Разработки уроков по алгебре квадратные уравнения

Разработка уроков по теме: «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Цель: Познакомить учащихся с квадратными уравнениями, дискриминантом, теоремой Виета.

Показать учащимся, как решаются квадратные уравнения различных видов.

Развивать внимание и логическое мышление учащихся.

Воспитывать аккуратность и четкость в записях учащихся.

• Оргмомент.
• Составление конспекта лекции.

Определение. Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где а, b и c – некоторые числа, причем а <> 0, а х – переменная, называется квадратным.

Примеры: 2х 2 +2х+1=0; -3х 2 +4х=0; 9х 2 -25=0. В каждом из уравнений назвать, чему равны коэффициенты.

Определение. Если в уравнении вида ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0, то уравнение называют неполным квадратным.

1. Если с=0, то уравнение имеет вид ax 2 +bx=0. Оно решается разложением на множители. Уравнение данного вида всегда имеет два корня, всегда один из них равен нулю.

Пример: 4х 2 +16х=0 Решить самостоятельно:

4х (х+4) = 0 3х 2 -6х=0

2. Если b=0, то уравнение имеет вид ax 2 +c=0. Оно решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. При решении уравнений применяет формулу разности квадратов.

Пример: 1) 1-4y 2 =0 2) 6х 2 +12=0

(1-2y) (1+2y) =0 Решений нет, так как это сумма квадратов, а не разность.

3. Если b=0 и с=0, то уравнение имеет вид ах 2 =0. Уравнение имеет единственный корень х=0.

Решение полных квадратных уравнений

Определение. Выражение вида D=b 2 -4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Примеры. Вычислите дискриминант

2х 2 +3х+1=0, a=2, b=3, c=1 D=3 2 -4* 2* 4= -23

5х 2 -2х-1=0, a=5, b=-2, c=-1 D=(-2) 2 -4* 5* (-1)= 24

Самостоятельно: вычислите дискриминант -2х 2 -2х+5=0, 3х 2 +7х-3=0.

Для нахождения корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 пользуются формулами:

Если второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде: ax 2 +2kx+c=0; D= k 2 -2ac,

1. Если D>0, то уравнение имеет два разных корня.

2. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня.

3. Если D 2 +5х-8=0

Ответ:

a=1, b=5, c=10, D=5 2 -4E 1* 10= -15 2 -6х+9=0 a=1, b=-6, c=9

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Задача1. Сумма двух чисел равна 13, их произведение равно 40. Найдите эти числа

Решение: I+II=13, I * II=40

Пусть х – первое число, тогда (13-х) – второе число. Зная, что их произведение равно 40, составляем уравнение:

D=(-13) 2 -4 * 1 * 40= 9

х₁=8, х₂=5.

Если первое число 8, тогда второе 5; если первое число 5, тогда второе 8.

Определение. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице, называется приведенным x 2 +bx+c=0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным.

5х 2 -2х+3=0. Разделим обе части уравнения на 5.

– приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример. Проверить теорему Виета для уравнения.

х_1E х₂=20 х₂=5 , х₁=4, х₂=5

2) самостоятельно х 2 +16х+63=0

Обратная теорема. Если два числа в сумме равны b, а в произведении равны с, то эти числа являются корнями квадратного уравнения x 2 -bx+c=0.

Пример: 1) Составить квадратное уравнение, чтобы корни его были 2 и 3.

2) самостоятельно х₁=4, х₂=6. Составить квадратное уравнение.

Определение. Уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, называется биквадратным.

Биквадратное уравнение решается с помощью замены вида x 2 =t

Пример 1) x 4 -15x 2 -96=0

Пусть x 2 =t, тогда t 2 -15t-96=0

х=G 4 корней нет

2) самостоятельно x 4 -11x 2 -12=0.

Домашнее задание. Выучить конспект, п 19-23, ответить на вопросы 1-5 после п. 23

Урок решения типовых задач.

Тема: Решение уравнений и задач с помощью составления уравнений.

Цели: Вырабатывать у учащихся умения и навыки по решению уравнения и задач, применяя теорему Виета и формулы корней квадратного уравнения.

Развивать логическое мышление и внимание учащихся.

Проверить усвоение теоретического материала по теме “Квадратные уравнения”.

Оборудование; таблицы, кодоскоп, листочки для математического диктанта.

• оргмомент.
• индивидуальная работа одного ученика у доски по карточке:

1. Запишите в общем виде квадратное уравнение.

2. Формула дискриминанта.

3. Формулы корней квадратного уравнения.

4. Теорема Виета.

В) Устно по кодоскопу со всем классом.

1. Назовите коэффициенты в уравнениях

3х 2 -5х=0 -5х 2 +3х+6=0 х 2 -2х-2=0 4х 2 +7=0 3х 2 =9

2. Найдите корни уравнения

х 2 -2х-35=0 b 2 -10b+24=0

Г) Математический диктант на листочках.

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 3 (-5), второй –5 (3), свободный член равен 0.

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны –2 (-3).

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5 (-3), свободный член равен 7 (5) и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 (5), второй коэффициент равен 5(7) и решите его.

Работа с классом.

1. 2х 2 +7х-9=0	2. 3х 2 =18х
Решение:	Решение:
а=2, b=7, с=-9	3х 2 -18х=0
D=b 2 -4ac, D=49-4* 2* (-9), D=121, D>0 2 корня	3x(x-6)=0
	3x=0 или x-6=0
x=0 или х=6
Ответ: x1=1, x2=-4,5.	Ответ: 0; 6.
3. 100х 2 -16=0,	4. х 2 -2х-35=0
Решение:	Решение:
(10x+4)(10x-4)=0	х1+х2=2 х1=7
10x+4=0 или	10x-4=0 х1х2=-35 х2=-5
х=-0,4 х=0,4
Ответ: х 1=0,4 х 2=-0,4	Ответ: х1=7; х2=-5

1. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см 2 .

Решение: Пусть х см длина прямоугольника, тогда y см – ширина. Зная, что Р=20 см и S=24 см 2 составляем систему уравнений:

Ответ: 6 см и 4 см.

2. В уравнении x 2 +px-18=0 один из корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

“3”: Решите уравнения: 3х 2 +13х-10=0, 2х 2 -3х=0, 16х 2 =49, х 2 -16х+63=0.

“4” и “5”: Решите задачи: 1. Периметр прямоугольника равен 30 см, а площадь 56 см 2 . Найдите его стороны. 2. В уравнении x 2 +11x+q=0 х₁=-7. Найдите другой корень и коэффициент q.

Урок-зачет по теме “Квадратные уравнения”.

Цели: Проверить знания учащихся, полученные на уроках по заданной теме.

Систематизировать знания, умения и навыки учащихся по решению квадратных уравнений.

Развивать логическое мышление учащихся.

Работать над четкостью и аккуратностью записей учащихся.

Оборудование: Зачетные карточки, рис.1, рис.2, кодоскоп.

• Оргмомент.
• Устно по кодоскопу:

1. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:

х 2 +4х+5=0, 3х 2 -2х-11=0, 12х 2 -4х=0, х 2 -3=0.

2. Решите уравнение: 4х 2 -9=0, 1- 4y 2 =0, 5u 2 -u=0.

Работа учащихся у доски.

1. Решить уравнения 3х 2 -7х=0, х 2 -5=0.

2. Записать коэффициенты и вычислить D: -2х 2 +3х+7=0, 3х 2 -х+2=0.

3. Решить уравнение х 2 -х-12=0.

4. Составить уравнение по его корням:

5. Решить уравнения выделением квадрата: х 2 +8х-1=0, х 2 +10х+25=0.

6. Решить биквадратное уравнение: x 4 -13x 2 +36=0.

Домашнее задание по [1] (на две недели):

“3”: № 510 (а,д), 507 (б,г), 526 (а), 534 (а,б), 556.

“4”: № 512 (а), 515, 526 (в), 536 (д,е), 551 (б), 559, 557.

“5”: № 514 (б,д), 517, 525 (г), 540 (е,ж), 551 (а), 564, 567.

Обобщающий урок “Оцени себя” по теме “Квадратные уравнения”.

Обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме “Квадратные уравнения”.
Развивать логическое мышление и элементы творческой деятельности учащихся.
Воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний, формировать дружеские отношения и умение контролировать свои действия.

Оборудование: телефоны (2 шт.), кодоскоп, табло “Секундная стрелка”, три подсказки (50х50, звонок другу, помощь зала), задания игрокам.

Ведущая: учитель математики

Помощники: два ученика из класса.

Диктор: ученик класса.

I отборочный тур (на ответ 10 секунд). Расположите в порядке изучения нами тем.

1. Квадратные уравнения.

2. Квадратные корни.

3. Рациональные дроби.

Победитель отборочного тура отвечает на 9 вопросов. Ответы: A, B, C, D. Оценка ставится в зависимости от числа правильных ответов: за три первых вопроса – оценка “3”, за три следующих вопроса – оценка “4”, за три последних – оценка “5”. В случаях, когда количество ответов находится в промежутке между 3 и 6 или 6 и 9, оценка ставится по нижней границе интервала ответов. Участник может воспользоваться тремя подсказками.

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида …

a) ax 2 +bx+c=0; b) bx+c=0,; c) ax 2 +c=0,; d) ax 2 =0, где х- переменная и а<>0.

2. В каком из квадратных уравнений правильно указаны его коэффициенты?

a) 5х 2 -9х+4=0, a=5, b=9, c=4; b) х 2 +3х-10=0, a=1, b=3, c=-10;

c) -х 2 -8х+1=0, a=1, b=-8, c=1; d) 6х 2 -30=0, a=3, b=-30, c=0.

3. Решите уравнение 2х 2 =0. a) 2; b) -1; c) 1; d) 0 .

4. Какое из выражений называют дискриминантом?

a) d=b 2 -4ac; b) d=-(-b) 2 -4ac; c) d=b 2 +4ac; d) d=b-4ac.

5. Чему равен дискриминант квадратного уравнения 2х 2 +3х+1=0?

a) 0; b) 2; c) -1; d) 1.

6. При каком условии дискриминанта уравнение не имеет корней?

a) d>0; b) d>1; c) d 2 -7х+10=0. a) 5 и 2; b) –5 и 2; c) –5 и -2; d) 5 и -2 .

Итог I тура. Рекламная пауза. Сообщение “Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне”. [2]

II отборочный тур. В какой последовательность был нами изучен материал по теме “Квадратные уравнения”:

1. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

2. Определение квадратного уравнения.

3. Решение квадратных уравнений по формуле.

1. Как правильно пишется слово d?

a) дискриминант; b) дескриминант; c) дискреминант; d) дискрименант .

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если d=25?

a) нет корней; b) 1; c) 2; d) 5 .

3. Какой формулой пользуемся при решении квадратного уравнения?

a) b) c) d)

4. Назовите, чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения х 2 -37х+27=0.

a) 37, 27; b) –37, 27; c) –37, -27; d) 37, -27 .

5. Найдите корни уравнения х 2 -6=0. a) 6; b) -6; c) +/- 6; d) 6.

6. Найдите подбором корни уравнения х 2 -9х+20=0.

a) –5 и -4; b) 9 и 11; c) 5 и 4; d) –5 и 4 .

7. В уравнении х 2 +pх-35=0 один из корней равен 5. Найдите другой корень.

a) -7; b) 7; c) 30; d) 35 .

8. Если в уравнении левая и правая части являются рациональными выражениями, то такие уравнения называются…

a) квадратными; b) неполными; c) целыми; d) рациональными.

9.Вычислите 55 2 .

a) 3025; b) 2525; c) 2025; d) 110.

Итог II тура. Рекламная пауза. Сообщение “Как составлял и решал квадратные уравнения Диофант” [2].

III отборочный тур. При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом…

1. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

2. Решить получившееся целое уравнение.

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

4. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

1. Выберите биквадратное уравнение

a) k 4 -3k 2 +2=0; b) k 3 +3k 2 +k=0; c) k 2 +3=0; d) 4k 2 -k=0 .

2. При каком условии d уравнение имеет один корень? a) d=0; b) d 0; d) d=1.

3. Найди корни уравнения х 2 =-16. a) решений нет; b) 4, -4; c) 4; d) -4 .

4. Реши уравнение х 2 -8х+7=0. a) –7 и -1; b) –7 и 1; c) 7 и -1; d) 7 и 1 .

5. Автор учебника, где рассматривается тема “Квадратные уравнения”?

a) Виленкин; b) Погорелов; c) Пифагор; d) Макарычев.

6. Реши уравнение 2х 2 +3х=0. a) 0 и 1,5; b) 0 и –1,5; c) 0; d) 1,5 .

7. При каких значениях х верно равенство (3х+1) 2 =3х+1?

a) 0; b) -1; c) 1; d) нет таких значений .

8. Как устроен данный числовой “угол”? Как будет выглядеть следующая строка?

a) 4, 12, 36, 108; b) 4, 8, 16, 32; c) 4, 9, 13, 18; d) 4, 15, 26, 37 .

9. Вычисли 196+ 7396. a) 10; b) 14; c) 86; d) 100 .

Итог III тура. Рекламная пауза. Сценка на уроке алгебры в 8 классе – тема “Квадратный корень” (связь с биологией тема “Корень”).

Итог урока. Выставление оценок учащимся.

1. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2000.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

Разработка уроков по алгебре «Квадратные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения и их решения.

Ø Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять коэффициенты квадратного уравнения и по ним определять вид квадратного уравнения. Сформировать умения и навыки решения неполных квадратных уравнений.

Ø Развивать логическое мышление.

Ø Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.

1. Орг. момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В алгебры мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

И открытия нас ждут обязательно!

2. Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Ребята, мы приступаем к изучению новой главы «Квадратные уравнения». Эта тема очень важна тем, что в результате ее изучения вы овладеете новым математическим аппаратом решения уравнений, позволяющим решать многообразные задачи не только математические. С помощью квадратных уравнений решаются текстовые задачи различных видов, находятся корни квадратного трехчлена, нули квадратичной функции ( 9кл.), находятся критические точки при исследовании функций (10кл.), решаются показательные, тригонометрические, логарифмические уравнения, приводимые к квадратным (11кл.). Применяются в курсе физики по теме «Равноускоренное движение. Падение тел». Учащиеся ставят свои цели и задачи урока и сопоставляют их с целями и задачами, которые ставит на урок учитель.

3. Актуализация опорных знаний.

Выполнение устных упражнений.

1. Представить в виде многочлена выражения:

2. Что такое уравнение?

3. Что значит решить уравнения?

4. Какие уравнения вы знаете?

5. Равносильны ли уравнения:

6. Решить уравнения:

а) х 2 =64; б) х 2 -144=0; в) х 2 +25=0; г) (х-1) 2 =9; д) (х+5) 2 =0.

4. Объяснение нового материала.

Задача 1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 2 см., а площадь равна . Найти стороны прямоугольника.

Решение: х см- ширина; (х+2)см-длина; х (х+2)=15; +2х=15.

Учащиеся останавливаются на данном шаге. Не могут решить уравнение.

В связи с этим, какая задача возникает перед нами? (Найти способ решения данных уравнений и выяснить, что это за уравнение)

Как мы будем его решать?

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c =0, где a , b и c произвольные числа, причем а≠0.

Числа a , b , c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b -вторым коэффициентом, а c -свободным числом.

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, х 2 -12х+20=0, х 2 -2/3х=0, х-√50=0.

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент, неравен 1, можно привести к приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при х 2 .

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

1. Закрепление материала.

1. Работа по карточкам.

Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами неполного квадратного уравнения.

Ответы учащиеся проверяют с помощью взаимопроверки.

2. Работа с учебником: № 572, 573, 579- устно.

Письменное решение уравнений .

1. Работа с учебником.

№ 575, 577, 582, 584, 589– коллективное решение

2. Самостоятельная работа.

Какое из данных уравнение является квадратным?

Выпишите коэффициента а, b , c из квадратного уравнения:

x 2 +2x+7=0. 3x 2 -5x-2=0 x 2 -81=0

3. Рефлексия. Домашнее задание.

• Какие уравнения называются квадратными? Приведите пример.
• Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
• Какие квадратные уравнения называются приведенными?
• Как привести квадратное уравнения к приведенному?

— Какую цель мы поставили в начале урока?

-Мы достигли цели?

-Какие знания, полученные ранее, нам позволили «открыть» новое знание?

-Проанализируйте результат своей работы.

1. Выучить теоретический материал, параграф 17.

2. Письменно № 574, 578, 583, 585(1), 590(1).

3. Повторить упражнения на выделение полного квадрата двучлена.

Тема: Формула корней квадратного уравнения.

Ø Ввести понятие дискриминанта и исследовать коэффициенты квадратного трехчлена.

Ø Развивать познавательную активность учащихся и логическое мышление.

Последовательно формировать у учащихся умение выдвигать гипотезы, аргументировано доказывать их.

Ø Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.

1. Орг. момент.

«Уравнение представляет собой наиболее

серьёзную и важную вещь в математике».

2. Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Не всегда уравненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1. Что такое уравнение?

2. Что значит решить уравнение?

3. Что такое корень уравнения?

4. Какое уравнение называется квадратным?

5. Почему коэффициент а не может равняться нулю?

6. Какие существуют квадратные уравнения?

7. Как получаются неполные квадратные уравнения?

8. Как называются числа а, в, с?

9. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

10. Сколько корней может иметь уравнение каждого вида?

«Проверь себя»

На доске задания:

Выпишите под какими номерами
стоят квадратные уравнения?

Задание №2
Дайте характеристику каждого квадратного уравнения.

Задание №3
Сколько корней имеет уравнение 4), 6), 7), 9)?

4. Изучение нового материала.

Учащимся предлагаются несколько уравнений.

2x 2 +x+3=0 и 2x 2 -x+3=0

2x 2 -x-3=0 и 2x 2 +x-3=0

3x 2 -6x+3=0 и 3x 2 +6x+3=0

ü Какие из следующих уравнений, на ваш взгляд, имеют корни, а какие – не имеют корней. Можете ли вы ответить на этот вопрос, не решая уравнений?

Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:

— одним коэффициентом;
— двумя коэффициентами;
— тремя коэффициентами;
— некоторым выражением, составленным из коэффициентов?

Чтобы правильно ответить на эти вопросы, решим данные уравнения.

Да, вы правы, число корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 зависит от выражения составленного из коэффициентов этого уравнения. Что это за выражение? Как оно влияет на количество корней? Проанализируем формулу корней квадратного уравнения.

1. Если b 2 -4ac >0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Если b 2 -4ac =0, то квадратное уравнение имеет два совпадающих действительных корня.
3. Если b 2 -4ac

Ответь на вопросы:

— Влияет ли знак второго коэффициента на количество корней квадратного уравнения?
— Верно ли, что если в квадратном уравнении коэффициенты a и с имеют противоположные знаки, то это уравнение обязательно имеет два различных корня.
— Что вы можете сказать о количестве корней квадратного уравнения, у которого коэффициенты а и с одного знака.

Выполняя задание, вы, конечно, обратили внимание на то, что “различителем” числа корней квадратного уравнения является выражение b 2 — 4ас.

Ему дано специальное имя – дискриминант (от discriminantis – по латыни “различающий”, “разделяющий”).

Дискриминант обозначается буквой D:

А в толковом математическом словаре (дети смотрят сами) дискриминант квадратного трёхчлена – величина, определяющая характер его корней.

Что общего между понятием “светофор” и “дискриминант”?

(Отвечая, дети подходят по очереди к светофору и вставляют карточку на место нужного цвета).

Теперь формулу корней квадратного уравнения можно записать так:

А теперь, ребята, помогите составить ещё один алгоритм решения квадратного уравнения

(Дети сами составляют алгоритм).

1. Выделить в квадратном уравнении коэффициенты.
2. Вычислить дискриминант D.
3. Если D

Если D>или=0, то вычислить корни по формуле.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 6 1 2 , 6 1 3 , 6 1 5 (1-6).

Задание достаточного уровня :

1 ) х 2 + 2х – 80 = 0;

2 ) 4х 2 + 4х + 1 = 0;

3 ) 3у 2 – 3у + 1 = 0.

Задание высокого уровня :

2 ) (х + 4 ) 2 = 3х + 40;

3 ) (3х – 1)(х + 3) =х(1 + 6х).

6. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Раз, два, три, четыре –

руки вверх подняли

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

7. Самостоятельная работа.

1) Найти дискриминант уравнения
1. 2у 2 +3у+1=0. 2 . 2у 2 +5у+2=0.

А) 11; Б) 17; А) 41; Б) 9;

3. х 2 -6х+5=0. 4. х 2 -7х+12=0.

А) 16; Б) -56; А) -1; Б) -97;

В)-16; Г)56. В)1; Г) 97.

2) Сколько корней имеет уравнение ?
1. х 2 -9х+14=0? 2. х 2 -8х+15=0?

А) два; Б) один; А) два; Б) один;

В)не имеет корней ; В)не имеет корней ;

Г )множество . Г) множество

3. 2х 2 +х+2=0? 4. Зх 2 +х+4=0?
А) два; Б) один; А) два; Б) один;

В) не имеет корней ; В) не имеет корней ;

Г) множество . Г) множество .

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка – квадратное уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка – предложение, выражающее личное отношение.

9. Подведение итогов урока. Д/з.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с формулой корней квадратного уравнения, научились решать эти уравнения.

Выучить п.18, решить № 614, 616(1-6).

Тема: Приведенное квадратное уравнение, формула его корней.

Цель урока:

Ø Отработать умения и навыки решения квадратных уравнений с использованием формул корней, Ознакомить учащихся с теоремой Виета и ее доказательством.

Ø Развивать логическое мышление, умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

Ø Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.

1. Орг. момент.

2.Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

3.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На доске записаны уравнения :

4) 2х 2 + 3х – 8 = 0;

5) х 2 – 5х + 1 = 0;

1. Какие уравнения записаны на доске?

2. Какие уравнения называются квадратными?

3. Прочтите полные квадратные уравнения.

4. Какие уравнения называются полными?

5. Как называются уравнения, у которых первый коэффициент равен 1? Приведите примеры.

6. Какое выражение называется дискриминантом?

7. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

8. Как называются уравнения под цифрами 2; 3; 6? Почему?

9. Как решаются уравнения под цифрой 2?

10. Чему равен х в уравнении под цифрой 3?

11. Что можно сказать о решении уравнения под цифрой 6?

Проверка домашнего задания.

Проверка в парах. Ученики меняются тетрадями и проверяют задания по готовому решению, оформленному на доске одном из учеников.

(задания для второго варианта даны в скобках).

Двое решают на разворотах доски:

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [- 5], второй коэффициент равен — 5 [3], а свободный член равен 2.
2. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [5], второй – 7 [3], и решите его.
3. Найдите дискриминант квадратного уравнения 3x 2 – 8x – 3 = 0,
[5y 2 – 6y +1 = 0].
4. Сколько корней имеет это уравнение?
5. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней? [имеет два одинаковых корня?]

На доске одновременно решаются первые три уравнения, затем следующие три. Решения разбираются. Слабые ученики работают по карточкам.

Работа по карточкам .

Дано уравнение 3х 2 – 7х + 4 = 0.

2. Найди, чему равен дискриминант Д.

Аналогично решаются уравнения:

2у 2 – 9у + 10 = 0;

у 2 – 10у – 24 = 0.

Решить № 615(19, 20), 619(2), 622 .

4. Изучение нового материала.

Это имя великого французского математика. С этим именем связанна тема этого урока. Франсуа Виет – французский математик, живший в 16 веке. Он родился в 1540 году в небольшом городке на юге Франции. Он обладал огромной трудоспособностью, мог работать по трое суток без отдыха. Он был одним из первых, кто ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Многие его результаты и открытия достойны восхищения. Свою знаменитую теорему, которую мы рассмотрим сегодня, он доказал в 1591 году. Это теорема выражает интересную закономерность, существующую между суммой корней квадратного уравнения и его коэффициентами, между произведением корней квадратного уравнения и его коэффициентами.

Чтобы увидеть эту закономерность, обратимся к уравнению (1), которое решено на доске первым учеником. Чему равна сумма корней.

Давайте, сравним это число с коэффициентами уравнения! Вы видите, что оно равно второму коэффициенту уравнения 1,взятому с противоположным знаком.

Посмотрим, чему равно произведение корней?

С каким коэффициентом уравнения его удобно сравнить?

Какой вывод можно сделать?

Теперь найдем сумму корней и произведение корней уравнения (2), которое решено на доске вторым учеником, и сравним эти числа с коэффициентами уравнения.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Формулировка теоремы повторяется учениками.

Пусть X₁ и X₂ – корни квадратного уравнения x 2 +px+g=0

; ;

Найдем,

Найдем,

Уравнение 3 не приведенное, поэтому, для нее эта закономерность не выполняется. Но если уравнение заменить равносильным ему приведенным, то можно увидеть, что

Теореме Виета посвящены такие строки:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойстве корней Теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова
В числителе “С”, в знаменателе “А”.
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь – это что за беда?
В числителе “В”, в знаменателе “А”.

5.Комната психологической разгрузки «Солнечный луч». (Музыка)

Детям даётся инструкция: «Сядьте удобнее, закройте глаза. Представьте, что вы лежите на красивой поляне. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Вокруг зелёная трава, вдалеке большой лес, поют птицы. Вы чувствуете, какая тёплая земля. Светит яркое солнышко. Один тёплый лучик упал на ваше лицо. Лицо стало тёплым и расслабилось. А луч света пошёл гулять дальше по вашему телу. Вам хорошо и приятно греться на солнышке. Вокруг зелёная трава, вдалеке большой лес, поют птицы. Вы чувствуете, какая тёплая земля. Земля вам даёт силу и уверенность. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Ещё раз вдох и выдох. На счёт 5 вы вернётесь обратно. 1 – вы чувствуете, как хорошо лежать и отдыхать. 2, 3, 4 – у вас открываются глаза, 5 – вы возвращаетесь на урок полные сил и уверенности.

Теперь посмотрим, для чего нужна эта теорема, так ли она важна.

Упражнение 1. Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

К доске вызываются ученики для решения этого упражнения. Чем можно воспользоваться для нахождения суммы и разности корней?

Упражнение 2. Найдем подбором кони уравнения.

Упражнение 3. Составим уравнение, корнями которого являются числа -2 и 5.

Самостоятельно составить уравнение, корнями которого являются числа 3 и 7.

Теперь скажите, можно ли решить эти задания, не зная теоремы Виета? Нужна ли эта теорема?

Решить устно № 661, 662, письменно №663.

6. Самостоятельная работа.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

8. Подведение итогов урока. Д/з.

Выучить п.19, решить № 624, 664, 666. Подготовить сообщение «Франсуа Виет и его теорема».

Тема урока: Теорема Виета.

· «открыть зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения»; учить применять теорему Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях;

· Развивать логическое мышление, умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

· Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.

1. Орг. момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В алгебры мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

И открытия нас ждут обязательно!

2.Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности истекших дней

До оснований, до корней,

Всё время схватывая нить

Жить, думать, чувствовать, любить

На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

3.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

ü Уравнение какого вида называется квадратным?

ü Как называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1? (Заслушиваются ответы учащихся).

ü Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете? (Учащиеся называют известные им способы решения).

Запишите приведенное квадратное уравнение , в котором второй коэффициент и свободный член равны соответственно :
1. -5 и 4. 2 . 3 и -2.

А)х 2 -5х+4=0; Б)х 2 +5х+4=0; А)х 2 -Зх-2=0; Б) х 2 +Зх-2=0;

В) х 2 -5х-4=0; Г)-х 2 -5х+4=0. В)х 2 +Зх+2=0; Г)-х 2 +Зх-2=0.

А) -х 2 -2х-2,5=0; Б) х 2 +2х+2,5=0; А)х 2 -3х+9,6=0; Б) 5х 2 +31х+48=0;
В) х 2 -2х+2,5=0; Г) другой ответ. В) х 2 -6,2х+9,6=0; Г) другой ответ.

Не решая уравнения , найдите сумму и произведение его корней :

В)-3;10; Г)3;10. В) 5;14; Г)-5;14.

А)5;24; Б) 5;-24; А)6;-19; Б)-6;19;

В) -5;24; Г) -5;-24. В) 19;6; Г) -6;19.

Составьте квадратное уравнение , которое имеет корни:
1. 1 и 3. 2 . 2 и 5.

А)х 2 -4х+3=0; Б)х 2 -Зх+4=0; А)х 2 -7х-10=0; Б)х 2 +7х+10=0;

В) х 2 +Зх-4=0; Г)х 2 +4х-3=0. В)х 2 -7х+10=0; Г) другой ответ. .

А)х 2 +9х+14=0; Б)х 2 -9х+14=0; А) х 2 -7х+12=0; Б)х 2 +Зх+4=0;

В)х 2 -9х-14=0; Г) другой ответ. . В) 4х 2 +3х=0; Г)х 2 -х-12=0.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните последнюю строку таблицы.[Сумму корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену].

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета – по имени выдающегося французского математика Франсуа Виет.

Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:

4. Решение упражнений с использованием теоремы Виеты.

Продолжим изучение нового материала. И рассмотрим теорему Виета для не приведенного квадратного уравнения.

Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение: х 2 + bx / a + c / a =0, которое имеет те же корни. Отсюда, х₁+х₂=-b/ a ; x ₁ * x ₂ = c / a .

Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к формуле корней.

Например, подберите корни уравнения х 2 -8х+15=0 (5;3). Решение квадратного уравнения путем подбора его корней основано на теореме, обратной теореме Виета.

Теорема: Если числа m и n таковы, что m + n =- p , a m * n = g , то эти числа являются корнями уравнения х 2 +рх+ g =0.

Выразим через m и n : p =-( m + n ) и g = m * n . Значит, уравнение можно записать в таком виде:

х 2 -( m + n ) x + m * n =0.

Подставим в уравнение вместо x поочередно m и n :

m 2 -(m+n)m+mn=m 2 -m 2 -mn+mn=0

n 2 -( m + n ) n + mn = n 2 — mn — n 2 + mn =0, таким образом, эти числа – корни уравнения.

Разработки уроков по теме «Квадратные уравнения»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

В данной разработке полный комплект разработки уроков по теме «Квадратные уравнения», что позволит учителю, используя его, дополнить своим материалом или принять за основу.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок №__________ Дата___________________________

Тема: Неполные квадратные уравнения.

1. Формирование знаний учащихся о способах решения неполных квадратных уравнений в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

2. Систематизировать и обобщать изученный материал.

3. Контроль за усвоением знаний.

1. Формирование познавательного интереса у учащихся.

2. Развитие умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, формулировать выводы.

3. Развивать умение соотносить теоретические знания с практическим применением.

4. Развитие интереса к предмету, математической речи.

1. Воспитание положительного эмоционального отношения к предмету.

2. Воспитание умения общения в коллективе класса.

3. Расширение кругозора учащихся.

4. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении неполных квадратных уравнений.

5.Воспитание и формирование у ученика бережного отношения к своему здоровью.

1. Развитие памяти и внимания учащихся.

2. Формирование навыков самоконтроля.

Тип урока: Комбинированный.

Оборудование : компьютер, телевизор.

Задания для самоконтроля (карточки), раздаточный материал (таблица), раздаточный игровой материал — домино; разноуровневые карточки.

1. Организационный момент. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (объяснение игрового замысла).
2. Актуализация знаний.
3. Основная часть урока. Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание, решаются проблемные задачи; проводится диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий.
4. Разноуровневая самостоятельная работа
5. Рефлексия.
6. Подведение итогов урока.

I Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока, напоминает о правильной осанке.

Сегодня тема нашего урока «Неполные квадратные уравнения», запишем её в тетради,

Формулировка темы и целей урока .

Постановка домашнего задания.

1. Объяснение нового материала

Какое уравнение называется квадратным?

Работа с учебником:

Уравнение вида ax 2 +bx+c = 0

называется квадратным, где а,b,с- заданные числа, а≠0

Как называются коэффициенты а, b, с-?

a- первый (старший) коэффициент

b- второй коэффициент

Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

Квадратное уравнение ax 2 +bx+c = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов

в или с равен нулю

Давайте вспомним виды неполных квадратных уравнений. Какое уравнение получится, если оба коэффициента b и с равны нулю?

А если только коэффициент b=0?

Коэффициент c =0?

Один из учеников выходит к доске и в 3 столбика записывает виды неполных квадратных уравнений.

2) ax 2 +c = 0 , где с≠0

3) ax 2 +bx = 0 , где b≠0

2. Основная часть урока

Задание с раздаточным материалом (приложение 3). Каждому ученику выдаётся карточка. Заполните таблицу, выписав коэффициенты квадратного уравнения, и подчеркните неполные квадратные уравнения.

После выполнения этого задания дети в парах меняются карточками и происходит взаимопроверка. Ошибки исправляются.

1) Отдых для глаз. Включается медленная музыка со звуком движущегося поезда. Дети мысленно, закрыв глаза, едут в приятное для них место. Ведь каждому ребёнку хочется куда-то мысленно перенестись

2) Игра с движением — домино (приложение 4 ) . Ученикам случайным образом выдаются каточки Начинает тот, у кого оказывается уравнение Х 2 =49. Далее выходит ученик, у которого есть ответы на это уравнение. Дети по очереди выстраиваются у доски, показывая свои уравнения и ответы.

-Беседа учителя с классом:

4. Разноуровневая самостоятельная работа по карточкам (3 уровня). Решение

Выберите утверждение, которое соответствовало вашему настроению на уроке:

1. Трудна была моя дорога…
2. Ах, как я устал от этой суеты…
3. Ну наконец-то я понял…
4. Урок понравился, недаром потрачено время…

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Д/з п.21. № 517. 521а

Тема урока: “ Формула корней квадратного уравнения”

Цель урока: Закрепить приемы решение квадратных уравнений по формуле.

Обучающие: знать виды формулы корней квадратных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

4. Повторение и закрепление материала.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

6. Историческая задача.

7. Домашнее задание.

8. Самостоятельная работа.

9. Подведение итогов (рефлексия).

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

На экране 10 уравнений:

1. х 2 + 9х — 12 = 0; 6. -2х 2 – х + 1 = 0

2. 4х 2 – 1 = 0; 7. х 2 + 8х = 0;

3. х 2 — 2х + 5 = 0; 8. 2х 2 = 0;

4. 2z 2 – 5z +2 = 0; 9. х 2 — 8х = 1;

5. 4y 2 = 1; 10. 2х + х 2 – 1 = 0

Ответьте на вопросы:

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a≠ 0, называется квадратным.

2. Назовите виды квадратных уравнений

-полное; -неполное; -приведенное

3. Назовите номера приведенных квадратных уравнений, записанных на доске

4. Назовите номера неполных уравнений, записанных на доске

5. Назовите номера полных уравнений, записанных на доске

6. По какому признаку мы можем отнести квадратное уравнение к тому или иному

В зависимости от коэффициентов уравнений.

7. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?

a- первый коэффициент, в- второй коэффициент, c- свободный член

8. Назовите коэффициенты квадратного уравнения № 7

9. Назовите коэффициенты квадратного уравнения № 2

4. Повторение и закрепление материала.

1)Решение неполных квадратных уравнений

На доске написаны, в разном порядке, решения трех уравнений. Учащимся предлагается выйти и составить правильное решение каждого уравнения.

x 2 – 25=0, x 2 — 3x = 0, x 2 + 16 = 0,

(x-5)(x+5)=0, x(x-3) = 0, x 2 = -16

x-5 = 0 или x+5 = 0 x = 0 или x-3 = 0 Ответ: нет решений

x 1 =5 x 2 = -5 x=3

Ответ: x 1 = 5; x 2 = -5. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 3

2) Вспомним формулу решения полных квадратных уравнений.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

• Отчего зависит количество корней квадратного уравнения?

если Д ˃ 0, то уравнение имеет два корня

Если Д = 0, то уравнение имеет один корень

Если Д ˂ 0, то уравнение не имеет корней.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

6. Историческая задача.

История алгебры уходит своими в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались еще в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме.

Задача знаменитого индийского математика века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать ,повисая…

Сколько ж было обезьянок.

Ты скажи мне, в этой стае?

п.22, № 541 (а ,б, в), № 543 (а ,б)

Проводится по группам дифференцирования (на листочках под копирку).

( Задания для 2-х групп на экране, 3 гр.- задание индивидуальное.) 1 Группа

Проверка самостоятельной работы обучающего характера осуществляется самими учащимися (решения записаны на экране). Оценка ставиться самим учеником:

либо «5», либо «незачет».

Тема урока: “ Формула корней квадратного уравнения”

Цель урока: Закрепить приемы решение квадратных уравнений по формуле.

Обучающие: знать виды формулы корней квадратных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

4. Повторение и закрепление материала.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

6. Историческая задача.

7. Домашнее задание.

8. Самостоятельная работа.

9. Подведение итогов (рефлексия).

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

1. х 2 + 9х = 0; 6. -2х 2 – х + 1 = 0

2. 4х 2 + 1 = 0; 7. х 2 + 8х = 0;

3. х 2 — 2х + 5 = 0; 8. 2х 2 = 0;

4. 2z 2 – 5z -2 = 0; 9. х 2 + 8х = 1;

5. 4y 2 = -1; 10. 2х + х 2 – 1 = 0

Ответьте на вопросы:

2. Назовите виды квадратных уравнений

3. Назовите номера приведенных квадратных уравнений, записанных на доске

4. Назовите номера неполных уравнений, записанных на доске

5. Назовите номера полных уравнений, записанных на доске

7. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?

8. Назовите коэффициенты квадратного уравнения № 1

9. Назовите коэффициенты квадратного уравнения № 3

4. Повторение и закрепление материала.

1)Решение неполных квадратных уравнений

На доске написаны, в разном порядке, решения трех уравнений. Учащимся предлагается выйти и составить правильное решение каждого уравнения.

x 2 – 25х=0, x 2 + 9 = 0, x 2 — 16 = 0,

2) Вспомним формулу решения полных квадратных уравнений.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

В-1: № 541 (г,д); 545(б), 546а

В-1: № 541 (ж,е); 545(е), 546б

п.22, № 544 (а ,б), № 545 (ж,з)

Дата:8А-17.01.18; 8б,В -19.01.18

Тема урока: “ Теорема Виета”

Цель урока: Закрепить приемы решение квадратных уравнений.

Обучающие: знать виды формулы корней квадратных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

4. Повторение и закрепление материала.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

7. Домашнее задание.

8. Самостоятельная работа.

9. Подведение итогов (рефлексия).

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

Уравнение какого вида называется квадратным?

Как называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1? (Заслушиваются ответы учащихся).

Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете? (Учащиеся называют известные им способы решения).

1.назовите приведенное квадратное уравнение, в котором второй коэффициент и свободный член равны соответственно:
1. -5 и 4.

А)х 2 -5х+4=0; Б)х 2 +5х+4=0;

В) х 2 -5х-4=0; Г)-х 2 +5х+4=0.

2. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

3. Составьте квадратное уравнение, которое имеет корни:

А)х 2 -4х+3=0; Б)х 2 -Зх+4=0;

В) х 2 +Зх-4=0; Г)х 2 +4х-3=0. .

А)х 2 -7х-10=0; Б)х 2 +7х+10=0;

В)х 2 -7х+10=0; Г) другой ответ.

А)х 2 +9х+14=0; Б)х 2 -9х+14=0;

В)х 2 -9х-14=0; Г) другой ответ.

А) х 2 -7х+12=0; Б)х 2 +Зх+4=0;

В) 4х 2 +3х=0; Г)х 2 -х-12=0.

4. Решение упражнений с использованием теоремы Виеты.

Продолжим изучение материала.

По Теореме, обратной теореме Виете, найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к формуле корней.

Например, подберите корни уравнения х 2 -8х+15=0 (5;3).

Работа на доске

Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:

а) х 1 = -3, х 2 =1; б) х 1 = -3, х 2 = -4; в) х 1 =5, х 2 =6.

5. Самостоятельная работа

ДМ стр________ В1___________________________; В2______________________

Упражнения для повторения

2. Выпишите приведённые квадратные уравнения и решите их

Упражнения для повторения

Решите квадратные уравнения

Чем лично для вас был интересен этот урок?

— Какие формы работы вам понравились?

— На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

— Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

— Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

8. Подведение итогов урока. Д/з.

Повторить теорию п.8 № 151,152,153 (1-3)

Дата:8А-19.01.18; 8В -20.01.18; 8Б-22.01.18

Тема урока: “ Теорема Виета”

Цель урока: Закрепить приемы решение квадратных уравнений.

Обучающие: знать виды формулы корней квадратных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

4. Повторение и закрепление материала.

5. Обобщение и углубление знаний, умений, навыков.

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов (рефлексия).

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на плодотворную работу. Вступительное слово учителя.

2.Проверка домашнего задания.

Проверить домашнее задание, заданное по учебнику, сверить ответы.

Ответить на вопросы учащихся, возникшие в результате выполнения домашнего задания.

3. Повторение изученного материала.

А) Определение квадратного уравнения

Б) Виды квадратных уравнений

В) Примеры всех видов квадратных уравнений

Г) Правило чтения теоремы Виета и теоремы, обратной ей

Д) Практическое применение теоремы Виета

3. Закрепление изученного материала.

Работа индивидуальная, по индивидуальным карточкам.

(в ходу урока учитель индивидуального отвечает на возникшие вопросы учащихся)

1. Итог урока. Д/з № 568, № 551б,в; 586

Чем лично для вас был интересен этот урок?

— Какие формы работы вам понравились?

— На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

— Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

— Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

8. Подведение итогов урока. Д/з.

Повторить теорию п.8 № 151,152,153 (1-3)

Дата 24.01-8Б; 20.01-8А; 22.01-8В

Тема урока: Контрольная работа № 5 по теме «Квадратные уравнения и его корни. Теорема Виета»

Цель: Проверить знания по данной теме.

образовательные: проверить изученный материал;

развивающие: развитие логического и пространственного мышления учащихся.

воспитательные: воспитание интереса к учебе, эстетическое воспитание, воспитание чувства ответственности, умения работать в коллективе, самостоятельности.

Оборудование: раздаточный материал

Тип урока: проверка знаний, умений и навыков.

1. Организационный момент.
2. Выполнение контрольной работы. Работа в 6-х вариантах.
3. Итог урока. Д/з. Повторить теорию по теме «Квадратные уравнения», подготовиться к письменному вопросу.

Дата:8Б-26.01.18; 8А -24.01.18; 8В-26.01.18

Тема урока: “ Дробные рациональные уравнения”

Цель урока: рассмотреть приемы решение дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование : доска, ноутбук, презентация, учебник.

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на плодотворную работу. Вступительное слово учителя.

2.Проверка домашнего задания.

Проверить домашнее задание, заданное по учебнику, сверить ответы.

Ответить на вопросы учащихся, возникшие в результате выполнения домашнего задания.

3.Изучение нового материала

1. Найдите общий знаменатель дробей:

1. При каких значениях х имеет смысл выражение:

1. Укажите в квадратном уравнении коэффициент b.

1. 1 2) – 4 3) 3 4) 4.

1. Дискриминант уравнения 8 равен

1. – 47 2) 65 3) 49 4) 17.

1. Решите уравнение: 3

1. — 2) 1; — 3) – 1; 4) 4; — 3.

1. Постановка проблемы и открытие нового знания.

1. Какие выражения входят в запись уравнений?

Вывод (сделать вместе с учащимися):

Рациональное уравнение , в котором и левая и правая части являются целыми выражениями , называют целым .

Рациональное уравнение , в котором левая или правая части являются дробным выражением , называют дробным .

2. Решим сначала целое рациональное уравнение, затем дробное рациональное уравнения.

– корень уравнения, – не является корнем.

3.Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1) найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, при необходимости прежде разложить знаменатели дробей на множители ;

2) умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель;

3)решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

, наименьший общий знаменатель дробей х(х – 2)(х + 2).

, / ,

х ≠ 0, х ≠ 2, х ≠ — 2.

2х – (х + 2) = (4 – х)(х – 2),

(по формуле или Т. Виета)

– не является корнем уравнения, т.к. = 0 при х = 2.

– корень уравнения, т.к. ≠ 0 при х = 3 .

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнения первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.

Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н. э.,

И папирусе Ахмеса, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название:«хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча».

Так называемое «исчисление кучи» , или «вычисление хау» , приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

5.Первичное закрепление изученного материала .

6.Подведение итогов урока.

1. Как называются уравнения, которые решали сегодня на уроке?
2. Какое уравнение называют дробным рациональным?
3. Повторим алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
4. Объясните на примере, как решают дробное рациональное уравнение?

п. 25 (выучить алгоритм),

Дата:8Б-29.01.18; 8А -26.01.18; 8В-27.01.18

Тема урока: “ Решение дробных рациональные уравнения”

Цель урока: рассмотреть приемы решение дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1. Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).
2. Назовите вид уравнения:

1. Найдите общий знаменатель для дробей: и . При каких значениях х имеют смысл данные дроби?
2. Выполните умножение:

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение:

2у 2 -6у-2у+6-18=у 2 -6у+3у-18

Д=25-24=1>0 уравнение имеет 2 корня

По ходу решения проговаривается алгоритм решения дробно-рационального уравнения.

4. Самостоятельная работа.

Учащимся предлагается дифференцированная самостоятельная работа, трех уровней сложности: А – обязательный минимум знаний по этой теме, В – упражнения среднего уровня сложности, С – упражнения высокого уровня сложности, Д – упражнения повышенной степени сложности. Для получения оценки «3» — необходимо выполнить 2 уравнения уровня А, на оценку «4» — необходимо решить 2 уравнения уровня В, на оценку «5» — допускается решение двух уравнений уровня С или одного уравнения уровня В и одного уравнения уровня С, а также возможность решения одного уравнения уровня Д. Каждый учащийся оценивая свои возможности выбирает приемлемый для себя уровень.

5. Домашнее задание. Подведение итогов.

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: Выбрать и решить два уравнения из предложенных

Дата:8Б-31.01.18; 8А -27.01.18; 8В-29.01.18

Тема урока: “ Решение дробных рациональные уравнения”

Цель урока: рассмотреть приемы решение дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1. Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).
2. Назовите вид уравнения:

1. Найдите общий знаменатель для дробей: и . При каких значениях х имеют смысл данные дроби?
2. Выполните умножение:

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 600д,; 601в,ж,607а

1. Самостоятельная работа. Д/М В-1 ____________________

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, решить № 600з,601з,603б

Дата:8Б-02.02.18; 8А -31.01.18; 8В-02.02.18

Тема урока: “ Решение задач с помощью рациональных уравнений”

Цель урока: рассмотреть приемы решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

3) — воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1. Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).
2. Назовите вид уравнения:

1. Найдите общий знаменатель для дробей: и . При каких значениях х имеют смысл данные дроби?
2. Выполните умножение:

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 607а

4.Изучение нового материала

Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?
• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?
• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

х км/ч скорость первого автомобиля;

( х +20) км/ч – скорость второго автомобиля;

— время первого автомобиля;

— время второго автомобиля.

Работа с составленной моделью .

Решив полученное уравнение, находим , . -60 не удовлетворяет условию задачи. 40+20=60 км/ч

Ответ на вопрос задачи.

4.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Работа в тетрадях. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2010:

№620 . Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

№2.Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8ч. Найдите собственную скорость теплохода, обозначив её х км/, если скорость течения реки 3 км/ч

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, п.26 № 621; №602в.

Дата:8Б-05.02.18; 8А -02.02.18; 8В-03.02.18

Тема урока: “ Решение задач с помощью рациональных уравнений”

Цель урока: рассмотреть приемы решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

3) — воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1.Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).

2.Алгоритм решения дробного рационального уравнения

3. Алгоритм решения задачи

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 607в

4.Закрепление изученного материала

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?
• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?
• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

Работа в тетрадях. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2010:

40 г золота в первом сплаве
40+50 г во втором сплаве
>20% золота больше во втором сплаве
Серебро в сплаве?

Пусть в сплаве х г серебра. Тогда весь первый сплав будет весить (х+40) г.
Тогда процентное содержание золота в первом сплаве 40/(х+40).
Второй сплав будет весить (х+40+50) г, а золото в нем (40+50) г. При этом содержание золота возросло на 20%.
Составим и решим уравнение.
90/(х+90)-40/(х+40)=0,2
10(9(х+40)-4(х+90))/(х+40)(х+90)=0,2
10(9х+360-4х-360)=0,2*(х²+130х+3600)
10*5х=0,2*(х²+130х+3600)
х²+130х+3600=250х
х²-120х+3600=0
(x-60)²=0
x=60 г содержание серебра в сплаве.

Ответ 60 г содержание серебра в сплаве

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

Задача № 619 (доп)

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, п.26 № 629; №602г.

Дата:8Б-07.02.18; 8А -03.02.18; 8В-05.02.18

Тема урока: “ Решение задач с помощью рациональных уравнений”

Цель урока: рассмотреть приемы решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

3) — воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1.Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).

2.Алгоритм решения дробного рационального уравнения

3. Алгоритм решения задачи

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 607д

4.Закрепление изученного материала

Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2014

Задача № 619, 632

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?
• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?
• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

Самостоятельная работа в тетрадях в паре.

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, п.26 № 633; №603д.

Дата:8Б-09.02.18; 8А -07.02.18; 8В-09.02.18

Тема урока: Уравнения с параметром

Цель урока: рассмотреть приемы решение уравнений с параметрами.

Обучающие: знать способы решения уравнений с параметром.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками, воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1.Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).

2.Алгоритм решения дробного рационального уравнения

3. Алгоритм решения задачи

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 608а

4.Закрепление изученного материала

Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2014

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?
• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?

• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

5.Изучение нового материала

В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).

Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильных решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость операций.

Решить уравнение с параметрами:

1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

ЛИНЕЙНЫЕ РАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.

Уравнения вида ax=b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называются линейным.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и может не иметь корней.

1. если а≠0, — единственный корень,

2. если а = 0, b ≠ 0, получим 0*x = b – это уравнение не имеет корней,

3. если а = 0, b = 0, получим 0*х = 0 – это уравнение имеет множество корней.

Рассмотрим на решении линейных уравнений возможность получения различных ответов.

Ответ: х = 1 – один корень.

1. 28 – 20х = 2х + 25 – 16х – 12 – 6х

28 – 20х = -20х + 13

Ответ: нет корней.

1. 10 – 4х + 3 = 9х – 2 – 6х + 9 – 7х +6

Ответ: х – любое число.

Перейдем непосредственно к разбору решений линейных уравнений с параметрами.

1. Привести уравнение к виду ax = b.
2. Исследование.

а) а = 0, то 0*х = 10

Ответ: корней нет.

Ответ: 1. при а ≠ 0 единственное решение ….

2.при а = 0 – корней нет.

Если уравнение имеет вид:

а) а=2, то 0 * х = 5 – нет корней

Ответ: при а ≠ 2 единственное решение

при а = 2 нет корней.

1. а=0, то 0х = -4 нет корней;
2. а=4, то 0х = 0 – множество корней;
3. а≠0, а≠4, то х = а – 4/2а(а – 4) = 1/2а

Ответ: 1) при а=0, нет корней,

2) при а=4, х – любое,

3) при а≠0, а≠4, то х = 1/2а.

1. А=2, то 0х = 0, х – любое;
2. Если а=-2, то 0х=-4 – нет корней;
3. а≠ ±2, то х = а 2 = а – 6/а 2 – 4 = а + 3/а +2

Ответ: при а≠ ±2 х = а + 3/а + 2,

при а= — 2 нет корней,

при а = 2х – любое.

1. b=0, то 0х= — 2 нет корней;
2. b=1, то 0х = 0 – х – любое;
3. b≠0, b≠1, то

Ответ: при b=0 нет корней;

при b=1 х – любое.

Решить самостоятельно в паре.

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, п.26 № 650а; 641 а, №703.

Дата:8Б-11.02.18; 8А -09.02.18; 8В-10.02.18

Тема урока: Уравнения с параметром

Цель урока: рассмотреть приемы решение уравнений с параметрами.

Обучающие: знать способы решения уравнений с параметром.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками, воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1.Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).

2.Алгоритм решения дробного рационального уравнения

3. Алгоритм решения задачи

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 690а

4.Закрепление изученного материала

Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2014

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?

• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?

• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

5.Изучение нового материала

В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).

Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильных решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость операций.

Решить уравнение с параметрами:

1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется квадратным уравнением.

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

а) 2х 2 – 3х + 0,7 = 0

б) -0,9 х 2 + 8 – 2 1/6х=0

Решим уравнение ax 2 +bx+c=0

а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b

б) если а≠0, то уравнение имеет:

1) 2 различных корня х 1 ≠х 2 , если Д>0,

2) 2 равных корня х 1 =х 2 , если Д=0

3) не имеет корней, если Д

1. При каких значениях имеет один корень?

Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.

Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.

1. При каких значениях а уравнение х 2 =2х+а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 +7х+6=0?

Найдем корни уравнения 2х 2 +7х+6=0.

Д=1, х 1 =-2, х 2 =-1,5.

Если х=-2 общий корень уравнений, то (-2) 2 +2*(-2)+а=0, а=0.

Если х=-1,5 общий корень уравнений, то (-1,5) 2 +2*(-1,5)+а=0, а=3/4.

Ответ: при а=0 или а=3/4.

1. ах 2 -6х+9=0. а=? уравнение имеет одно решение.

Если, а=0, то -6х+9=0, х=1,5 – корень уравнения.

Если, а≠0, то уравнение квадратное.

Д=36-4*а*9=36-36а. По условию задачи уравнение имеет одно решение, значит Д=0. 36-36а=0, а=1.

Ответ: при а=0 или а=1.

1. (а+4)х 2 +6х-1=0 а=? уравнение имеет одно решение.

Если, а+4=0, а=-4, то 6х-1=0, х=1/6 корень уравнения.

Если, а≠4, то уравнение является квадратным.

Д=9+ф+4=13+а. Из условия задачи следует, что Д=0. Значит 13+а=0, а=-13.

Учебник стр.150 пример №2.

1. Закрепление нового материала

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

6.Домашнее задание. Подведение итогов

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, п.27 № 690б; 645б, №704.

Дата:8Б-14.02.18; 8А -10.02.18; 8В-12.02.18

Тема урока: Уравнения с параметром

Цель урока: рассмотреть приемы решение уравнений с параметрами, закрепить приемы решения дробных рационалтных уравнений, задач с помощью рациональных уравнений.

Обучающие: знать способы решения рациональных уравнений.

Развивающие: развивать деятельность умение применять данные формулы; развивать логическое мышление учащихся

Воспитательные: воспитать стремление к достижению цели; интерес к математике, внимательность, аккуратность.

УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками, воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: компьютер, телевизор, раздаточный материал, презентация

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок).

2. Актуализация знаний, умений, навыков.

1.Какие виды уравнений вы знаете? (целые, рациональные, линейные, квадратные, дробно-рациональные).

2.Алгоритм решения дробного рационального уравнения

3. Алгоритм решения задачи

3. Повторение изученного, отработка полученных навыков решения дробно-рациональных уравнений.

№1 Решить уравнение: работа по учебнику № 696(б)

4.Закрепление изученного материала

Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2014

Задача № 706,717 (доп)

№717 решение : (хкг-масса 1 сплава, (60-х)кг масса 2-го сплава

Решение. Составление математической модели:

• Какой процесс описывается в задаче?
• Какими величинами характеризуется этот процесс?
• Как связаны между собой эти величины?
• Сколько реальных процессов описывается в задаче?

• Значение каких величин известны?
• Значение каких величин сравниваются?

• Значение каких величин требуется найти?

Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х?

1. Подготовка к к/р (работа по карточкам, индивидуальная, дифференцировано)

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Учащиеся работают парами вместе обсуждают решение задачи.

6.Домашнее задание. Подведение итогов.

Выставление оценок. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: повторит теорию, подготовиться к к/р, № 711, 690ж.

Дата 16.02-8Б; 14.02-8А;16.02-8В

Тема урока: Контрольная работа № 6 по теме «Дробные рациональные уравнения»

Цель: Проверить знания по данной теме.

образовательные: проверить изученный материал;

развивающие: развитие логического и пространственного мышления учащихся.

воспитательные: воспитание интереса к учебе, эстетическое воспитание, воспитание чувства ответственности, умения работать в коллективе, самостоятельности.

Оборудование: раздаточный материал

Тип урока: проверка знаний, умений и навыков.

1. Организационный момент.
2. Выполнение контрольной работы. Работа в 6-х вариантах.
3. Итог урока. Д/з. Повторить теорию по теме «Дробные рациональные уравнения», подготовиться к письменному вопросу.