Реферат диофантовы уравнения и методы их решения

Реферат: Диофант. Диофантовы уравнения

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей №10» г.Перми

Диофант. Диофантовы уравнения

ученица 11 б класса

Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.

Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

2. Числа и символы

Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.

В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос » или «арифмос »; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос »).

Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис » — производное от глагола λει̃πω — «лейпо », что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис », что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.

Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис » — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн » или άφαιρει̃ν — «афайрейн », которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео » — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».

Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».

Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:

«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».

«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».

Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.

Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.

3. Диофантово уравнение

Определение — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.

где а и b — целые взаимно простые числа

Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и — 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению.

имеет бесконечно много решений:

если x0 и у0 — одно решение, то числа

(n — любое целое число) тоже будут решениями.

Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х , у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.

тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.

Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам

где m и n — целые числа (m > n > 0).

Это уравнение определяет на плоскости R 2 алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.

Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.

Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x , y ), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y . Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x 2 + y 2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x 2 – y 2 = 1 и прямая y =x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x =1 имеет одну общую точку кратности 2.

Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.

Рис. 1.

Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C : x 2 + y 2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L : y =0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A (0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B’ окружности C , лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B’ будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.

Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.

Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x , y ) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P (x ₀ , y ₀ ) будет

Если в точке P производная f_x ‘ или f_y ‘ отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если f_y ‘ (x ₀ , y ₀ ) = 0, a f_x ‘ (x ₀ , y ₀ ) ≠ 0, то k =∞ и касательная в P будет вертикальной).

Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,

то точка P называется особой .

Например, у кривой y 2 = x 2 + x 3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней f_x ‘ = –2x – 3x 2 и f_y ‘ = 2y обращаются в нуль.

Рис. 2.

Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных f_xx » , f_xy » и f_yy » отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.

Рис. 3.

4. Способы решения

Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Х_о ; у_о ) уравнения ах + ву = 1; числа СХ_о , Су_о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Х_о = 7; у_о =2.

Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

n Z.

Второй способ . Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = =.

Если у =1, то х = =.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = =.

Если у = 4 то х = =.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ . Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

8 = 5 1 + 3.

5 = 3

3 = 2 .

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =

= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 82 -5

= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19m; у_о =19n.

Отсюда получим: Х_о =19; у_о =19 .

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19 у_о =19

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.

Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.

1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.

2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.

3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932

4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919

5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010

Реферат Диофант и диофантовы уравнения

ГОУ Гимназия № 000

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Диофант и диофантовы уравнения

Мой реферат посвящен личности Диофанта Александрийского и принципам решения диофантовых уравнений.

Целью моей работы является изучение личности Диофанта и принципов решения диофантовых уравнений.

Многие ученые считают, что Диофант, решая отдельные задачи, похожие по смыслу на неопределенные уравнения, использовал хитроумные, но нестандартные методы. Но, так или иначе, разбор диофантовых уравнений показывает, что он задумался над решением неопределенных уравнений в рациональных числах, а также привел некоторые способы их решения, хотя полного описания этих методов он не дал.

В своем реферате я уделю внимание личности этого древнегреческого ученого, рассмотрю систему чисел и символов, которые он применял в своих трудах, а также приведу примеры из сборника его задач, имеющие решение. Я надеюсь, что читатель получит представление о творчестве Диофанта.

Диофант является одной из наиболее интересных загадок в истории науки. Ученым не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области.

Промежуток времени, в который мог жить Диофант, составляет около 500 лет. Нижнюю грань этого промежутка очень легко определить: в своей книге о многоугольных числах Диофант часто упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. Верхняя грань этого промежутка определяется комментариями Теона Александрийского к «Альмагесту», в которые помещен отрывок из сочинений Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э.

Сузить промежуток жизни Диофанта пытался французский историк науки Поль Таннери. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что Анатолий Александрийский, составивший «Введение в арифметику», посвятил его своему другу Диофанту. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н. э. Следовательно, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была существовать до этого. Значит, если знаменитый математик и друг Александра являются одним и тем же человеком, то время жизни Диофанта – середина III века н. э.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия.

После распада империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н. э. перешел в руки его полководца Птолемея, который перенёс столицу в новый город — Александрию. Вскоре этот город стал одним из прекраснейших городов древности. И именно этот город надолго стал научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей основал Музейон, первую Академию наук, куда приглашались крупные учёные.

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До ученых дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, к каждой из которых есть решение и необходимые пояснения. Поэтому на первый взгляд кажется, что она является скорее задачником чем теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов.

§2 Числа и символы

В своих сочинениях Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.

В классической греческой математике дробей нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; Нет также и отрицательных чисел. Совершенно иная картина у Диофанта.

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом.

Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином «лейпсис» — производное от глагола «лейпо», что означает недоставать. Положительное число Диофант называет словом «ипарксис», что означает существование.

В «Арифметике» мы встречаем впервые и буквенную символику. Диофант ввёл следующие обозначения для первых шести степеней от x до x6 неизвестного x:

первая степень — ς;

вторая степень — Δυ̃ от «дюнамис», что означает степень;

третья степень — Κυ̃ от «кубос», что означает куб;

четвёртая степень — Δυ̃Δ от «дюнамодюнамис», что означает квадрат квадрата;

пятая степень — ΔΚυ̃ от «дюнамокубос», т. е. квадрат куба;

шестая степень — Κυ̃Κ от «кубокубос», т. е. куб куба

§3 Диофантовы уравнения

Для исследования методов Диофанта следует дать некоторые сведения из алгебраической геометрии и теории неопределённых уравнений. В настоящее время задача решения неопределённых уравнений формулируется так: пусть дано m многочленов от n переменных, m

Реферат на тему «Диофантовы уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

2. Диофант Александрийский

4. Диофантовы уравнения

6. Список используемых источников

Станет ли кто в наше время отрицать настоятельную необходимость самого широкого распространения и популяризации математических знаний? Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних лет в наше образование и воспитание.

Алгебра – один из больших разделов математики. Она возникла как наука об уравнениях в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приемов однотипных задач. Само слово « алгебра » (аль – джебр) является начальным словом в названии одного из сочинений известного узбекского математика 9 века Мухаммеда аль Хорезми (аль – джебр означает один из приемов преобразования уравнений).

Уравнение одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую – то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается найти эту величину благодаря уравнениям.

Диофантовы уравнения – это уравнения в целых числах. В качестве примера может послужить задача о размере рубля монетами разных достоинств. Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача.

Это один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений.

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложени­ем основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.

Уравнением называется равенство, содержащее одну или несколько букв, под которым подразумевается неизвестные числа. Уравнение имеет вид.

или, в приведённой форме

где и — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов.

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции, называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

В любой части уравнения можно раскрыть скобки.

В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.

К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающим значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Диофантовыми уравнениями называются алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух. Диофантовы уравнения имею, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. К диофантовым уравнениям приводят задач, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. В качестве примера задача на составления диофантовых уравнений, может служить задача о размере рубля монетами достоинством в 1; 2; 3; 5; 10; 15 и 50 копеек. Соответствующее уравнение имеет вид:

Решить такое уравнение – это значит найти все такие наборы.

Число наборов, удовлетворяющих этому уравнению примерно равно

510 * 10 7 . Названы эти уравнения по имени греческого математика. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, его изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, её можно найти в русском переводе в библиотеке. К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Для линейных уравнений с двумя неизвестными, т.е. уравнение вида

ax + by = c , где a , b , c – целые числа, а x , y – целочисленные решения уравнения. для данного уравнения справедливы следующие утверждения:

Если коэффициенты a и b уравнения ax + by = c являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель d =1), то это уравнение имеет, по крайней мере, одно целочисленное решение.

Если d ≠1, то уравнение ax + by = c не имеет целочисленных решений.

Если d =1/ то уравнение ax + by = c имеет бесконечное множество целочисленных решений, которые задаются формулами

х = α + bt , y = β – at ,

Где ( α ; β ) – некоторое целочисленное решении уравнения ax + by = c , at t – произвольное целое число.

Долгое время надеялись отыскать общий решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 году ленинградский математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Рассмотрим решение системы диофантовых уравнений первой степени на конкретном примере:

Решить в целых числах систему уравнений:

Решение: вычтем из второго уравнения первое, получим yz — y — z =5

или ( y -1)( z -1)=6. Число 6 можно разложить на целые множители четырьмя способами:

Эти системы дают тройки значений

Диофантовы уравнения решаются методом перебора (один из самых древнейших методов решения математических задач возникающих на практике).

А так же нужно помнить, что если число d есть наибольший делитель целых чисел a и b , то существует такие числа k и 1, что d = ka + lb . Алгоритм Евклида позволяет вычислить целые числа k и 1.

Линейное диофантово уравнение ax + by = c не будет иметь решений, если числа с и d взаимно простые. Если число с кратно числу d , то одно из решений уравнения будет иметь вид: x = pk и y = pl .

Если целое число c делится на D ( a ; b ) , то уравнение ax + by = c имеет целые решения (если некоторые из чисел a , b и с отрицательны, то вместо них берем их модули).

Рассмотрим, как искать эти решения на следующем примере:

Это уравнение может иметь целые решения, так как D (28;40)=4, а число 60 делится на цело, на 4. Ясно, что любое целое решение уравнения

28 x – 40 y =60 удовлетворяют и уравнению 7 x – 10 y = 15 из заданного сокращения обеих частей на 4. Обратно любое целое решение уравнения

У получившегося после сокращения на 4 уравнение 7 x – 10 y = 15 коэффициенты при неизвестных взаимно просты, т.е. D (7;10) равно 1.

Применим к этим коэффициентам алгоритм Евклида. Мы видим, что при делении числа 7 на 3 получилось неполное частное 2 и остаток 1, а потому 7 = 2*3 + 1 . Значит 1=7-2*3 . таким же путем устанавливаем, что 10=1*7+3 , а потому 3=10-1*7 . Подставляя это выражение в равенство 1=7-2*3 , получаем 1=7-2(10-1*7) .

Раскрывая скобки, получаем x =3 и y =2 дают целые решения уравнения

Чтобы выделить целые неотрицательные решения заданного уравнения, надо найти такие значения t , при которых 45 +10 t >0 и 30+7 t >0 . Из этих неравенств находим, что должны выполняться условия t >-4,5 , t >-30/7 , из которых вытекает, что t >-4 .

Итак, данное уравнение имеет бесконечно много целых неотрицательных решений, задаваемых формулами х=45+10 t , y =30 + 7 t , где t принимает значение -4, -3,-2, …

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

Список используемых источников

1.Абрамов А.М., Абрамов В.М., «Математика от А до Я» — Москва, 2002.

2.Колягин Ю.М. «Алгебра и начала математического анализа 10 класс» — Просвещение, 2010.

3. Калкин Р.А. «Алгебра и элементарные функции» — Москва, 1975.

4. Касаткин В.Н. «Математика» — Москва,1989.

5. Петраков И.Н. «справочник по математике» — Москва, 1981.