Реферат из истории квадратного уравнения

Реферат: Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №22»

Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Ученики 8 «Б» класса

Кузнецов Евгений и Руди Алексей

Зенина Алевтина Дмитриевна

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков

1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Уравнения арабов

1.3 Уравнения в Индии

Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков

2.1 Основные понятия

2.2 Формулы четного коэффициента при х

2.3 Теорема Виета

2.4 Квадратные уравнения частного характера

2.5 Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

2.7 Исследование биквадратных уравнений

2.8 Формулы Кордано

2.9 Симметричные уравнения третьей степени

2.10 Возвратные уравнения

2.11 Схема Горнера

Список используемой литературы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.

Задачи нашего реферата:

— улучшить навыки решения уравнений

— наработать новые способы решения уравнений

— выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.

Объект исследования — элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков

1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.

1.2 Уравнения арабов

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал — джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.

1.3 Уравнения в Индии

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

aх² + bx= c, где a > 0

В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

2.1 Основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнения вида

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

1) ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

2) ax² + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = —)

Если – 2 + 6 = 0

Ответ : уравнение не имеет корней.

Если –> 0, то x_1,2 = ±

х 2 =±

х_1,2 =±

Ответ : х_1,2 =±

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² — 4ac). Обычно выражение b² — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.

1) Если D 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:

x_1,2 =

2.2 Формулы четного коэффициента при х

Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

x_1,2 =

Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.

В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент bимеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:

x_1,2 =

=

Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:

x_1,2 =

5х 2 — 2х + 1 = 0

x_1,2=

Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:

x_1,2 =-k ±.

х_1,2 = 2 ±

2.3 Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения

1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.

2. Если b 0 то оба корня положительны.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x₁ + x₂ + … + x_n ) x n -1 + ( x₁ x₂ + x₂ x₃ + … + x_{n -1} x_n )x n -2 + … +(-1) n x₁ x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x₁ + x₂ + … + x_n = —

x₁ x₂ + x₂ x₃ + … + x_{n -1} x_n =

x₁ x₂ … x_n = (-1) n

Например, для многочленов третей степени

Имеем тождества

x₁ + x₂ + x₃ = —

x₁ x₂ + x₁ x₃ + x₂ x₃ =

x₁ x₂ x₃ = —

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y, следовательно,

найдём корни полученного квадратного уравнения

y_1,2 =

Чтобы найти сразу корни х_1, x_2, x_3, x₄ , заменим y на x и получим

x² =

х_1,2,3,4 = .

Если уравнение четвёртой степени имеет х₁ , то имеет и корень х₂ = -х₁ ,

Если имеет х₃ , то х₄ = — х₃ . Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

х_1,2,3,4 = ,

х_1,2 =

х_3,4 =

Ответ : х_1,2 = ±2; х_1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений

Возьмем биквадратное уравнение

ax 4 + bx 2 + c = 0,

где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)

2.8 Формула Кардано

Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:

х =

Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.

2.9 Симметричные уравнения третей степени

Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида

ax³ + bx² +bx + a = 0 (1 )

ax³ + bx² — bx – a = 0 (2 )

где a и b – заданные числа, причём a¹0.

Покажем, как решаются уравнение (1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² — x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Получаем, что уравнение (1 ) равносильно уравнению

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Значит его корнями, будут корни уравнения

аналогично решается уравнение (2 )

ax³ + bx² — bx — a = a(x³ — 1) + bx(x — 1) = a(x — 1) (x² + x + 1) + bx(x — 1) = (x — 1) ( ax 2 + ax + a + bx ) = (x — 1) (ax² +(b + a)x + a).

2x³ + 3x² — 3x – 2 = 0

Ясно, что x₁ = 1, а

х₂ и х₃ корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0 ,

Найдем их через дискриминант:

x_1,2 =

x₂ = —, x₃ = -2

5х³ + 21х² + 21х + 5 = 0

х₂ и х₃ корни уравнения 5x² + 26x + 5 = 0 ,

Найдем их через дискриминант:

x_1,2 =

2.10 Возвратные уравнения

Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение

в котором а_к = a_{n – k} , где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Уравнение четвёртой степени вида:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Приведя это уравнение к виду

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y² — 2m = x² + m²/x²,

откуда уравнение приводится к квадратному

ay² + by + (c-2am) = 0.

3х 4 + 5х 3 – 14х 2 – 10х + 12 = 0

Разделив его на х 2 , получим эквивалентное уравнение

3х 2 + 5х – 14 – 5 × , или

Где и

3(y 2 — 4) + 5y – 14 = 0, откуда

y₁ = y₂ = -2, следовательно

и , откуда

х_1,2 =

х_3,4 =

Ответ: х_1,2 = х_3,4 = .

Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.

Симметричные уравнения четвертой степени.

1) Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид

ax 4 + bx 3 + cx 2 — bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

2.11 Схема Горнера

Для деления многочленов применяется правило “деления углом”, или схема Горнера. С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2).

В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера.

х 3 + 4х 2 + х – 6 = 0

Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Левую часть уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х – 1. (см. приложение №3)

х 3 + 4х 2 + х – 6 = (х – 1) (х 2 + 5х + 6)

Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0.

х_2,3 =

В этой главе мы привели некоторые формулы решения различных уравнений. Большинство этих формул решения уравнений частного характера. Эти свойства очень удобны так, как гораздо легче решать уравнения по отдельной формуле для этого уравнения, а не по общему принципу. К каждому из способов мы привели доказательство и несколько примеров.

В первой главе была рассмотрена история возникновения квадратных уравнений и уравнений высших порядков. Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет.

Во второй главе приведены различные способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших порядков. В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими- либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант.

В этом реферате достигнуты все цели и выполнены основные задачи, доказаны и разучены новые, ранее неизвестные формулы. Мы проработали много вариантов примеров перед тем, как занести их в реферат, по этому мы уже представляем, как решать некоторые уравнения. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Этот реферат помог классифицировать старые знания и познать новые.

1. Виленкин Н.Я. “Алгебра для 8 класса”, М., 1995.

2. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре”, М. 2002.

3. Даан-Дальмедико Д. “Пути и лабиринты”, М., 1986.

4. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002.

5. Кушнир И.А. “Уравнения”, Киев 1996.

6. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М., 1985.

7. Мордкович А.Г. “Алгебра 8 класс”, М., 2003.

8. Худобин А.И. “Сборник задач по алгебре”, М., 1973.

9. Шарыгин И.Ф. “Факультативный курс по алгебре”, М., 1989.

Из истории возникновения квадратных уравнений

Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам

Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

,

Бхаскара пишет под видом:

x2 — 64x = — 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

Квадратные уравнения в Европе XII—XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 — 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и — . Таким образом, уравнение х2 — 5 = 0 имеет два корня: x1 = , x2 = — и других корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

Например, х2 — 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — ;

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = — с и далее х2.= — В случае, когда — 0, т. е. — = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня

= , = —, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0.

1. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82 – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.

2. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: ; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: . (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы. [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q. Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле . (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:

Реферат «Решение квадратных уравнений различными способами.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 1

Тема:Решение квадратных уравнений различными способами.

Выполнила: Ученица 8 Б класса

Пешкова Оксана Ильинична

Оглавление

Аннотация

Предметисследования: способы решения квадратных уравнений.

Цель: Изучить теоретические основы квадратных уравнений и способов их решении; рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

1) Произвести анализ учебно–методической литературы по решению квадратных уравнений.

2) Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений

3)Изучить историю развития квадратных уравнений.

4) Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами

Обоснование: Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики. Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

Теоретические методы: изучение литературы по теме исследования

Анализ информации, полученной при изучении литературы; анализ результатов, получены при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

I .Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно их решать устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться на экзамене ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.

Квадратное уравнение-это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

С помощью формул корней квадратных уравнений можно решить любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Таким образом возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

II . Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение:Квадратным уравнением называется уравнение вида

гдех-переменная, а, b и с-некоторые числа, причем,а≠0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c =0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1)ах 2 +с=0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0;

Квадратные уравнения  это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

III . Из истории квадратных уравнений.

1) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + х = , х 2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

2) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении коэффициенты, кромеа, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

3) Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + b х = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

IV . Различные способы решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математике изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно разберем каждые из них.

1) Разложение левой части уравнения на множители .

1. Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем:

х 2 + 6х – 7= х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7= (х + 3) 2 – 9– 7= (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х=3=4,х₁=1, или х +3= — 4 , х₂ = – 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0,на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b с + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2ах · b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b ) 2 = b 2 – 4ас,

а) 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х₁ = , х = , х₂ = –1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,т. е. при b 2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b 2 – 4ас= 0, тоуравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 +3х + 4 = 0, а =2, b = 3, с = 4, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = — 13,

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b 2 – 4ас

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p .

Если p >0, то оба корня отрицательные, если p

х 2 – 3х + 2 = 0; х₁ = 2 и х₂ = 1, так как q = 2>0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х₁ = – 7 и х₂ = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q p p >0.

х 2 + 4х – 5 = 0; х₁ = – 5 и х₂ = 1, так как q = – 5 p = 4 > 0;

х 2 – 8х – 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = – 1, так как q = – 9 p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ = q , то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

1. Решить уравнение: х 2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение: х 2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах= у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁= и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

1.Если а+ b +с=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),то х₁ =1, х₂= .Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

По условиюа + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

Получаем х₁=1, х₂=, что и требовалось доказать.

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х₁= – 1 и х₂ = , что и требовалось доказать.

1. Решим уравнение 345х 2 –137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х₁=1, х₂= = .

2. Решим уравнение 132х 2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а- b +с = 0 (132 – 247 +115=0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

можно записать в виде

Решим уравнение 3х 2 –14х + 16 = 0.

D = k 2 – ac = (– 7) 2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня;

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в которома = 1, p и c = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

1. Решим уравнение х 2 –14х – 15 = 0.

7)Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении x 2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x 2 = – px – q .

Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q . (рис.1)

График первой зависимости – парабола,проходящая через начало координат.График второй зависимости – прямая.Возможны следующие случаи:прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссыточек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратноеуравнение не имеет корней.