Реферат линейное уравнения с параметром

Курсовая работа по теме,, Линейные уравнения с параметром»

В работе приводится пример введения параметра на уроке в 8 классе. Урок разработан полностью .

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования (повышения квалификации)

специалистов Московской области

Педагогическая Академия Последипломного Образования

Кафедра математических дисциплин

Методика решения задач с параметрами

«Линейные уравнения с параметром»

МБОУ Любучанская СОШ Чеховского района Московской области

Никулина Валентина Александровна

1. Введение
2. Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики.
3. Линейное уравнение с параметром . Урок введения понятия параметра.
4. Темы факультативных занятий в 8 классе.
5. Материал к урокам
6. Заключение
7. Список литературы

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательного школы предусматривается профильное обучение , ставится задача создания “ системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования ”.

Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе, выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Математическая статистика» поддерживает изучение профильного предмета экономики. Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы «Информационный бизнес», «Основы менеджмента» и др. в социально-гуманитарном профиле; курсы «Химические технологии», «Экология» и др. в естественнонаучном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.

К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных в 2002 году Центром социологических исследований Минобразования России, “профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже), начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе”. При этом примерно 70-75% учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности

Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики

Всё возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям и неравенствам или их системам содержащим параметры. Задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются прообразом важных научно-исследовательских задач, которые предстоит решать будущему поколению. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулёзного анализа.

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

В последнее время в материалах ЕГЭ и ГИА, предлагаются задания по теме: ,,Уравнения, содержащие параметр”. Некоторые учащиеся боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них все равно не получиться. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы ученикам, желающим подготовиться для успешной сдачи централизованного тестирования и ЕГЭ, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало.

Задачи с параметрами – эффективное упражнение для развития интеллекта, математического и логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, способствуют формированию математической культуры. Каждое из заданий с параметрами представляет для учащихся небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, ученик поднимается на одну ступеньку выше в своем понимании методов решения математических задач. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.

Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке или на факультативных занятиях для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков

Частичное решение проблемы (малочисленность задач с параметрами в школьном курсе математики) я вижу во введении факультативных занятий и элективных курсов по предпрофильной подготовке учащихся ,начиная с 8 класса, которые предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, связанные существенным образом с математикой.

В школьном курсе математики одной из важных тем является тема «Линейные уравнения». Это первые уравнения с которыми учащиеся знакомятся в школьном курсе математики, начиная с первого класса , где решение уравнения сводится к нахождению неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого, вычитаемого, неизвестного множителя, делимого, делителя. Вводить уравнения с параметром нужно, начиная с линейных.

Урок введения понятия параметр. Линейное уравнение с параметром .

Тема занятия . Параметр. Линейное уравнение с параметром”

Задача занятия : ввести понятие параметра. Дать первые навыки решения линейных уравнений с параметром.

-Дайте определение линейного уравнения

-Что называется корнем уравнения?

-Что значит решить уравнение?

Введение понятие параметра на примере решения уравнения с параметром.

Для любого допустимого значения а указать как находится х.

Вопрос учащимся: Ребята, вы знаете как решать это уравнение ?

-В этом уравнении две неизвестных величины. Давайте решать уравнение перебором значений для а.

если а=2, то уравнение примет вид 2х-8=10-3х

Х=3,6(можно изобразить числовую прямую а и отмечать на ней значения х при заданном значении а )

Если а=-3, то уравнение примет вид -3х-8=-15-3х

0х=-7 уравнение решений не имеет

Если а=4,то уравнение примет вид 8х-8=40-3х

Нужно перебрать как можно больше значений а и указывать соответствующие им значения х . Вывод : перебором задачу не решить.

—А может мы делали какие-то одни и те же операции? (перенос из одной части в другую, нахождение неизвестного множителя)

—Какое выполняется всегда, заострять внимание на нем не нужно.

—А какое не всегда можно выполнить? (нахождение неизвестного множителя) Значит не при всех значениях а уравнение имеет корень.

Используя графическую интерпритацию записать ответ.

Итак решим уравнение :

ах+3х=5а+8 при любом а можно сделать перенос известных в одну сторону, а неизвестных в другую

х(а+3)=5а+8 при любом а можно х вынести за скобку

Чтобы найти х нужно (5а+8) разделить на (а+3), а это не всегда можно сделать.

Если а= -3, то уравнение примет вид ох=-7-решений нет

Если а#-3, то х=(5а+8)/(а+3). Желательно изобразить числовую прямую а и на ней отмечать все значения х , соответствующие данным значениям параметра а.

Ответ: если а=-3, то решений нет;

Если а#-3, то х=(5а+3)/(a+3)

Выполнение упражнений на закрепление.

Для любого допустимого значения а указать как находится х

-В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие буквы называют параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Давайте составим алгоритм решения линейного уравнения с параметром .

-раскрыть скобки, если они есть

-перенести в одну сторону известные, в другую неизвестные (считаем х неизвестным)

-вынести х за скобки

-найти неизвестный множитель, учитывая допустимые значения параметра

Отработка навыка решения линейного уравнения с параметром

д) при каких значениях а уравнение 2(3х-2а)=2+ах не имеет решения ?

е) при каких значениях а уравнение 6(ах-1)-а=2(а+х)-7 имеет бесконечное множество решений ?

ж) при каких значениях а уравнение 2(а-2х)=ах+3 не имеет решения?

З) при каких значениях а уравнение 2(а+х)=3(1-х) имеет положительное решение?

и) при каких значениях а уравнение а(х-3)=2х+1 имеет решение , удовлетворяющее условию х

-Постарайтесь дать определение параметра своими словами

-Повторите алгоритм решения линейных уравнений с параметром

Темы факультативного курса,, Задачи с параметром” в 8 классе

Реферат: Уравнения с параметрами

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы «Уравнения с параметрами». Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

с неизвестными х, у, . z и с параметрами α,β, . γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α₀ ,β₀ , . γ₀ уравнение (F) обращается в уравнение

с неизвестными х, у. z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

с неизвестным х, у. z и с параметрами α,β, . γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, . γ );

Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α₀ ,β=β₀ , . γ= γ₀ соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0уравнение (2) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=

откуда х= .

0 т в е т: 1) если а= 0, то корней нет; 2) если а= 2, то х — любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х =

П р и ме р . Решим уравнение

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а =l; 2) а ≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (3) примет вид бх +7=0. Из этого

уравнения находим х= — .

2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а_о , то при переходе значения D через точку а_о дискриминант может изменить знак (например, при а а_о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а а_о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а 2 +2 (1 — а ) х +а 2 — 2а — 3= 0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a ) 2 — (a 2 — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х ₁ +1=0, х ₁ +2=0, х ₂ +1=0, х ₂ +2=0.

Если х ₁ +1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₁ +2=0, т. е. (а +1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₂ +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а= 2. Таким образом, при а= 2 х ₂ — посторонний корень уравнения (4)’.

Если х ₂ +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а= 1 х ₂ — посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х ₂ только х ₂ корней нет только х ₁ только х ₁

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х = — 3 — 3= — 6;

при a = — 2 х = — 2 — 3= — 5; при a =1 х = 1+1=2; при a=2 х =2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a = — 3, то х = — 6; 2) если a = — 2, то х = — 5; 3) если a =0, то корней нет; 4) если a = l, то х =2; 5) если а=2, то х =3;

Иррациональные уравнения с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

П р и м ер . Решить уравнение х — = 1. (6)

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

1) при а > 0,5 х _1,2 = 0,5 ( 1 ± );

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х ₂ в уравнение (7):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х₂ может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х₂ – корень уравнения при а ≥1.

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos =2а .

Решение: Так как Е (соst )=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a | > 0,5 уравнение не имеет решений.

а ) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а +2π n ≥0, то n может принимать значения n =0, 1, 2, 3. Решением уравнения является х = 1+(2π n +аrссоs2а ) 2

б) =-аrссоs2а +πn . Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а +2πn >0, то n =1, 2, 3. и решение уравнения. х =1+(2πn -arccos2a ) 2 .

Ответ: если |a | > 0,5, решений нет;

если |a | ≤0,5 , х = 1+(2π n +аrссоs2а ) 2 при n = 0, 1, 2. и х =1+(2πn -arccos2a ) 2 при n N.

Пример . Решить уравнение: tgax 2 =

ах 2 = +π n , n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а =0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х 2 = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:

≥0

откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а 0 и n = 1,2,3,… или

2) а 0 и n = 1,2,3,… или а 1, то решений нет.

2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f ( x) = b φ(х ) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f( x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D .

2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D .

3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D .

4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D .

5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению

Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R , а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log_a b ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log(1 + х ) = 3 log_а — log( х 2 – 1 ) 2

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log_а а 2 + log( х 2 — 1) = log_а () 3 + log_a ,

log_а ( а 2 (х 2 — 1)) = log_а (() 3 ),

а 2 (х 2 — 1) = (х — 1) ,

а 2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1)

а 2 =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а 4 (х + 1) = х – 1 а 4 х + а 4 = х – 1 х ( 1 — а 4 ) = а 4 + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а 4 > 0, то есть при

а 1, значит при 0 1 решений нет;

при 0 2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х 2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие «параметр». Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Решите уравнение k(x — 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

Решите уравнение 2а( а — 2)х = а 2 – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .

При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

При каких значениях а парабола у = ах 2 – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

При каких значениях k уравнение (k — 2)x 2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

Решите относительно х уравнение

а)при b+1, b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при b=; при b=±1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение

а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25 2 — 81)х = а 2 + 7а — 18 относительно х

а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;

б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;

в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;

При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?

При каких значениях k уравнение kx 2 – (k — 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?

а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

При каких значениях а уравнение ax 2 — 6x+а = 0 имеет два различных корня?

а) а( — 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( — 3 ; 3) ; в) с( — ∞ ; — 3)U ( 3 ; +∞)

Решите относительно х уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?

а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( — ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( — ∞ ; -1,5√3)

Решите уравнение 3 cosx = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) приb [ -1; 0,5 ] х = ± arcos; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в)b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение sin 2 x – 3sinx + a =0.

а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ — 4; 2 ).

При каких значениях а уравнение cos 4 x + sin 4 x = a имеет корни?

а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ — 0,5; 1 ).

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение 4 х – а 2 х +1 – 3а 2 + 4а = 0 имеет единственное решение?

а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1.

б) при а > 100 реш. нет; при 1 100 реш.нет ; при 1 0, а = 2 ; б) а > 0, а = — 2 ; в) а 0, а 1

а) а ; ; б) а 2 ; — ; в ) а 2 ;

Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b | ≤ 1 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

б) при |b | ≤ 1 и b =0 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

в)при |b | > 1 х = ; при |b | 6 x + sin 6 x = a имеет корни?

а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ — 0,25; 1 ].

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2 —х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.

Решите уравнение 3 lg (x – а ) — 10 lg ( x — а )+1 = 0.

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень

а) 4 ; б) — 4 ; в) — 2 .

Решите уравнение а > 0, а 1

а) -1 ; а ; б) 1 ; — а ; в ) 1 ; а

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Реферат по теме Исследование уравнений и неравенств с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Оглавление

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые общеобразовательные учреждения используют экзаменационные билеты и в них есть уравнения, неравенства с параметрами, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Цель: более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

I . Уравнения с параметрами

Основные определения

 (a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …,  и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

I. Решить уравнение

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а  , то решений нет.

II. Неравенства с параметрами.

Основные определения

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …,  – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а ₀ , b = b ₀ , c = c ₀ , …, k = k ₀ , при некоторой функции

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х ₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Заключение

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Исследование уравнений и неравенств с параметрами» и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Литература

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 2015 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 2016 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 2015 г.