Реферат метод гаусса при решении систем уравнений

Реферат: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Содержание

1. Теоретическая часть 1

1.1. Метод Гаусса 1

1.2. Метод Зейделя 4

1.3. Сравнение прямых и итерационных методов 6

2. Практическая часть 7

2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 7

2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10

Введение

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.

К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными . Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.

Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).

1. Теоретическая часть

1.1. Метод Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных ) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления .

Прямой ход состоит из n — 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x ₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n . Предположим, что коэффициент a ₁₁ ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага .

называемые множителями 1-го шага . Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n- го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q_{2 1} , q ₃₁ , …, q_{n 1} . Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x ₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

в которой a_ij (1) и b_ij (1) вычисляются по формулам

2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x ₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n . Пусть a ₂₂ (1) ≠ 0, где a ₂₂ (1) ­– коэффициент, называемый главным (или ведущим ) элементом 2-го шага . Вычислим множители 2-го шага

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n- го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q ₃₂ , q ₄₂ , …, q_{m 2} . В результате получим систему

Здесь коэффициенты a_ij (2) и b_ij (2) вычисляются по формулам

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k- й шаг.

k- й шаг. В предположении, что главный (ведущий ) элемент k- го шага a_kk (k –1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k -e уравнение, умноженное соответственно на q_{k +1,k} , q_{k +2,k} , …, q_nk .

После (n — 1)-го шага исключения получим систему уравнений

матрица A (n -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение x_n в предпоследнее уравнение, получим x_{n –1} . Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x_{n –1} , x_{n –2} , …, x ₁ . Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы a_kk (k –1) . Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k -м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам

Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей q_ik .

В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что |q_ik | ≤ 1 для всех k = 1, 2, …, n – 1 и i = k + 1, …, n . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k -м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikk при неизвестной x_k в уравнениях с номерами i = k + 1, …, n . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером i_k меняют местами с k -м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента a_kk (k -1) . После этой перестановки исключение неизвестного x_k производят, как в схеме единственного деления.

1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге мтода среди элементов a_ij определяют максимальный по модулю элемент a_{i 1j 1} . Первое уравнение системы и уравнение с номером i ₁ меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного x_{i 1} из всех уравнений, кроме первого.

На k -м шаге метода среди коэффициентов a_ij (k –1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k , …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikjk (k -1) . Затем k -е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное x_jk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n .

На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: x_jn , x_{jn– 1} , …, x_{j 1} .

1.2. Метод Зейделя

1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений

с квадратной невырожденной матрицей A , необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду

Здесь B – квадратная матрица с элементами b_ij (i, j = 1, 2, …, n ), c – вектор-столбец с элементами c_ij (i = 1, 2, …, n ).

В развернутой форме записи система имеет следующий вид:

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций , не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x ₁ :

из второго уравнения – неизвестное x ₂ :

и т. д. В результате получим систему

в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам

Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.

1.2.1. Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы

Заметим, что B = B ₁ + B ₂ и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству

Выберем начальное приближение x (0) = [x ₁ (0) , x ₂ (0) , …, x_n (0) ] T . Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B ₂ и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение

Подставляя приближение x (1) , получим

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x (0) , x (1) , …, x (n ) , … приближений к вычисляемых по формуле

или в развернутой форме записи

Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим

Тогда достаточным условием сходимоти метода Зейделя будет

то система не имеет однозначного решения >

If l = 0 then begin

If l <> k then begin

For j := 1 to n do begin

For i := k + 1 to n do begin

For j := 1 to n do

a[i, j] := a[i, j] — q * a[k, j];

For i := n — 1 downto 1 do begin

For j := 1 to n-i do

t := t + a[i, i + j] * x[i + j];

x[i] := (1 / a[i, i]) * (b[i] — t);

Writeln(‘Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса’);

Writeln(‘Введите порядок матрицы системы (макс. 10)’);

Until (n > 0) and (n 4

Введите расширенную матрицу системы

1 3.2 5.4 4.2 2.2 2.6

2 2.1 3.2 3.1 1.1 4.8

3 1.2 0.4 -0.8 -0.8 3.6

4 4.7 10.4 9.7 9.7 -8.4

Результат вычислений по методу Гаусса

2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя

2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида

для n ≤ 10 по методу Зейделя.

2.2.2. Тестовый пример.

2.2.3. Описание алгоритма. В переменную n вводится порядок матрицы системы, в переменную e – максимальная абсолютная погрешность. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы. Начальное прибижение предполагается равным нулю. Оба массива и переменные n и e передаются функции Seidel . В функции Seidel исследуется сходимость системы, и в том случае если система не сходится, выполнение функции прекращается с результатом false . В ходе каждой итерации вычисляется новое приближение и и абсолютная погрешность. Когда полученная погрешность становится меньше заданной, выполнение функции прекращается. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX.

2.2.4. Листинг программы и результаты работы.

Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;

Vector = Array[1..maxn] of Data;

Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);

For i := 1 to n do begin

GotoXY(i * 6 + 2, r);

GotoXY(1, r + i + 1);

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r);

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do begin

GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);

Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector);

For i := 1 to n do

Writeln(‘x’, i, ‘ = ‘, x[i]);

Function Seidel(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x: Vector; e: Data) :Boolean;

s1, s2, s, v, m: Data;

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do

If s >= Abs(a[i, i]) then begin

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to i — 1 do

s1 := s1 + a[i, j] * x[j];

For j := i to n do

s2 := s2 + a[i, j] * x[j];

x[i] := x[i] — (1 / a[i, i]) * (s1 + s2 — b[i]);

Решение систем линейных уравнений методом гаусса

В данной работе рассмотрен один из способов решения систем линейных уравнений — метод Гаусса, а также возможность применения метода Гаусса к решению прикладных задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. Введение 2
2. Понятие матрицы 5
3. Немного из биографии Гаусса 6
4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 7
5. Проведение обучающего эксперимента 12
6. Заключение 14
7. Список используемой литературы 15

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. В седьмом классе на уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Нужно заметить, что не всегда системы линейных уравнений удобно решать данными способами. Мы решили выяснить существуют ли другие методы решения систем линейных уравнений. Изучив данную тему, мы выяснили, что существуют такие методы, как: метод Крамара, метод Гаусса, метод обратной матрицы.

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

На примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса — один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Системы линейных алгебраических уравнений имеют широкое применение в решении многих задач практического приложения математики. Данная тема в школьном курсе алгебры не изучается, чтобы изучить данную тему, необходимо познакомиться с понятиями матрицы, матрица системы и расширенная матрица системы. Получение новых знаний и нового опыта способствует развитию личности, формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.

Научиться решать системы уравнений с помощью метода Гаусса

и применять этот метод на практике, ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

1. Познакомиться с понятием «матрица» и «матрица системы».

2. Изучить метод Гаусса.

3. Научиться применять метод Гаусса на практике .

Объект(изучения): Метод Гаусса

Предмет: Системы линейных уравнений с двумя и более переменными.

Методы исследования: анализ, обобщение, эксперимент, опрос.

Гипотезы: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений . Метод Гаусса можно изучать на уроках алгебры в 7 — 8 классах как дополнительный метод решения систем уравнений с двумя и более переменными.

Реферат метод гаусса при решении систем уравнений

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. При решении задачи условия приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Бывают и системы линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. На уроках алгебры мы научились использовать такие способы, как: способ сложения, способ подстановки и графический способ.

Я решила узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных уравнений. Ознакомившись со справочной литературой, я выяснила, что одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Я поняла алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса и исследовала его на примерах.

Целью работы является изучение алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса для применения их на практике.

Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики, а я планирую заниматься прикладной математикой.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств, проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие либо опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о преимуществе метода Гаусса.

Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца. Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет), учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам – вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.

Как утверждается в книге известного американского математика Валяха, 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, так как математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым. Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ.

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

Глава 1. Теоретические аспекты

Системы линейных уравнений. Способы решения СЛАУ в школьной учебно-методической литературе.

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных.

В школьной учебно-методической литературе для решения подобных систем изучается и используется школьниками 3 способа:

Заключается этот метод в выражении одной переменной через другие, а затем полученное выражение подставить вместо этой переменной в остальные уравнения. Процедуру повторяем до тех пор, пока не получим уравнение с одной переменной (линейное уравнение). После его решения и нахождения одной из переменных – последовательно возвращаемся к раннее выраженным, подставляя найденные значения.

Решение системы графическим способом заключается в построении графиков для каждого из уравнений системы. Решением будет являться пересечение этих графиков. Данный метод считается самым неточным и не практичным, поэтому применять его рекомендуется только для систем линейных уравнений, графиками которых являются прямые.

Этот метод основан на простом правиле: если сложить левые части уравнений системы, то полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. Данный метод рекомендуется использовать только в том случае, если мы получим более простое уравнение.

1.2 Метод Гаусса. Основные определения и обозначения.

Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами, a_ij и b_i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x₁ ,…, x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x_n .

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Метод Гаусса — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса.

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными ( m может быть равно n): где — неизвестные переменные,

Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной. [1]

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где

— основная матрица СЛАУ, матрица столбец неизвестных переменных, матрица свободных членов.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

Смена мест двух строк.

Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений

произвести следующие действия :

поменять местами два уравнения,

умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное число k,

к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

перестановку двух строк местами,

умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,

прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k [6].

Глава 2. Практическое применение метода Гаусса.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса систем линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 1. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на (в нашем случае на -3), к третьей – первую строку, умноженную на (в нашем случае на -2). Это возможно, так как .

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго
не содержат переменную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим матрицу:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на (в нашем случае на -4).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем примере.

Решение найдём «с конца» — это называется «обратный ход метода Гаусса» . Для этого из последнего уравнения определим z :
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Итак, решение данной системы .

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке — первую, умноженную на -3, к четвёртой — первую, умноженную на -2.

Теперь с помощью второго уравнения исключим переменную из последующих уравнений. И с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения.

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». И таким образом, данная система уравнений имеет единственное решение

2.1 Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы.

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 4. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, и составляем расширенную матрицу системы: . Применяем прямой ход метода Гаусса. Получим расширенную матрицу трапециевидной формы .

Теперь применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Получаем z =43, y =35, x =72.

2.2 Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную x . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке — первую, умноженную на -3, к четвёртой — первую, умноженную на -1. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на -1 .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную y из последующих уравнений. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на -8, а к четвёртой — вторую, умноженную на -7.

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на . Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

z и y известны, а x находим из первого уравнения: x = 1.

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

2.3 Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2.

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: . Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы , при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса–Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );

определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера–Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);

численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.

Список используемой литературы

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/ П.И.Алтынов, И.И.Баврин, Е.М.Бойченко и др. – М.:Дрофа, 2006. – 848с.

Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Данко, А. Попов, Т. Кожевникова. – 1986. – Т. 1. – 296 c.

Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2004. – 280 с.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект: учебное пособие. – Москва: Проспект, 2011. – 144с.

Лекции по общей алгебре [Электронный ресурс]: учебник [для вузов] / А. Г. Курош. – 3-е изд., стер. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2018. – 555 с.

Интернет-ресурс: https://ru.wikipedia.org (обращение 20.10.19)

Сайт: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/metod-gaussa/ (обращение 18.10.19)

Сайт: https://math1.ru/education.htm l (обращение 21.10.19)

Сайт: https://youclever.org/book/sistemy-uravnenij-1 (обращение 20.10.19)

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ТРЕНИРОВКИ

1. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

2. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

3 . Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

4. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

5. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

6 . Решить систему линейных уравнений с двумя переменными

7. Что является решением системы двух линейных уравнений?

б)пара чисел (х; у), удовлетворяющая обоим уравнениям системы
в)пара чисел (х; у), являющаяся решением одного из уравнений системы
с)пара чисел (х;у), обращающая при подстановке левые части уравнений системы в ноль

8. Решить систему:

А) (1; — 1) Б) (1; 1) В) (-1; 1) Г) (-1; -1)

9. Решить систему:

А) (4; 3) Б) (3; — 4) В) (3; 4) Г) (-3; 4)

10. Решить систему:

А) (1; 1) Б) (-1; 1) В) (1; -1) Г) (-1; -1)

11. Решить систему:

А) (3; 7) Б) (-3; 7) В) (-3; -7) Г) (3; -7)

12. Решить систему:

А) (-2; 3) Б) (3; 2) В) (2; 3) Г) (2; -3)

13. Решить систему:

А) ( ; ) Б) ( ; ) В) ( ; ) Г) ( ; )

14. Решить систему:

А) (3;-1) Б) ( ; ) В) ( ; ) Г) ( ; )

15. Решить систему:

А) ( ; ) Б) не имеет решений В) ( ; ) Г) ( ; )

16. Решить систему:

А) (1;2) Б)не имеет решений В) бесчисленное множество решений Г) ( ; )

17. Решить систему:

А) (41/22;12/11) Б) не имеет решений В) (3;-1) Г) ( ; )