«Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
«Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами»
1. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х;у) 4
1.1. Параллельный перенос. 5
1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой. 13
1.4. Две прямые на плоскости. 15
2. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х;а) 17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. 22
Проблемы, возникающие у школьников при решении нестандартных уравнений и неравенств, вызваны как относительной сложностью этих задач, так и тем, что в школе, как правило, основное внимание уделяется решению стандартных задач.
Многие школьники воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.
Иные школьники относятся к параметру как к неизвестной величине и, не смущаясь, могут выразить в ответе параметр через переменную х.
На выпускных и вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Вы сразу отличите их по формулировке. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Решением уравнения с параметром для данного фиксированного значения параметра называется такое значение неизвестной, при подстановке которого в уравнение, последнее обращается в верное числовое равенство. Аналогично определяется решение неравенства с параметром. Решить уравнение (неравенство) с параметром — это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства).
1. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х;у)
Наряду с основными аналитическими приемами и методами решений задач с параметрами существуют способы обращения к наглядно-графическим интерпретациям.
В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый – построение графического образа на координатной плоскости (х ; у), второй – на (х ; а).
На плоскости (х ; у) функция у =f (х ; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определенными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать, с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т. д.) можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой. Каждому из таких преобразований будет посвящен отдельный пункт. Как нам кажется, подобная классификация облегчает решающему поиск необходимого графического образа. Отметим, что при таком подходе идейная часть решения не зависит от того, какая фигура (прямая, окружность, парабола и т. п.) будет являться членом семейства кривых.
Разумеется, не всегда графический образ семейства у = f (х ; а) описывается простым преобразованием. Поэтому в подобных ситуациях полезно сосредоточить внимание не на том, как связаны кривые одного семейства, а на самих кривых. Иными словами можно выделить еще один тип задач, в которых идея решения прежде всего основана на свойствах конкретных геометрических фигур, а не семейства в целом. Какие же фигуры (точнее семейства этих фигур) нас будут интересовать в первую очередь? Это прямые и параболы. Такой выбор обусловлен особым (основным) положением линейной и квадратичной функций в школьной математике.
Говоря о графических методах, невозможно обойти одну проблему, «рожденную» практикой конкурсного экзамена. Мы имеем в виду вопрос о строгости, а следовательно, о законности решения, основанного на графических соображениях. Несомненно, с формальной точки зрения результат, снятый с «картинки», не подкрепленный аналитически, получен нестрого. Однако кем, когда и где определен уровень строгости, которого следует придерживаться старшекласснику? По нашему мнению, требования к уровню математической строгости для школьника должны определяться здравым смыслом. Мы понимаем степень субъективности такой точки зрения. Более того, графический метод – всего лишь одно из средств наглядности. А наглядность может быть обманчивой. Так, для графиков функций «картинка» скорее всего покажет одну общую точку. На самом деле их три. Таких примеров можно привести немало. Но, с нашей точки зрения, каждый из них свидетельствует только о том, что при использовании графических методов решения, впрочем, как и аналитических, может быть допущена ошибка. Поэтому в тех случаях, когда результат, «прочитанный» с рисунка, вызывает сомнения, мы советуем подкрепить выводы аналитически. Это следует сделать в первую очередь не для того, чтобы удовлетворить требования придирчивого экзаменатора, а для подтверждения правоты выбранного пути решения. Таким образом, по отношению к школьнику «планка» математической строгости должна находиться в пределах разумной достаточности.
1.1. Параллельный перенос.
Начнем с задач, где членами семейства у = f (х ; а) будут прямые.
Пример 1. Найти все значения параметра b, при которых уравнение имеет единственное решение.
Решение. Для удобства обозначим lg b = а. Запишем уравнение, равносильное исходному: . Переходим к равносильной системе
Строим график функции с областью определения и (рис. 1). Полученный график семейство прямых у = а должно пересекать только в одной точке. Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а > 2, т. е. lg b > 2, b > 100.
Ответ. .
Пример 2. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения .
Решение. Построим график функции (рис. 2).
Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.
Ответ. Если , то решений нет;
если , то 3 решения;
если , то 2 решения;
если , 4 решения.
Перейдем к новой серии задач. Будем рассматривать семейства кривых, задаваемые уравнениями . Членами этих семейств будут «полупараболы».
Пример 3. Решить неравенство .
Решение. Построим прямую у = х +1 (рис. 3). Если «полупарабола» расположена ниже прямой, то очевидно неравенство решений не имеет (рис. 3, положение I). Решения появятся только с момента касания (положение II). Значение параметра, соответствующее касанию, можно найти, потребовав от системы
иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х+1)2 = х + а иметь один корень. Отсюда получаем . Значит, при исходное неравенство решений не имеет. Заметим, что тот, кто знаком с производной, может получить этот результат иначе.
Далее, смещая «полупараболу» влево, зафиксируем последний момент, когда графики у = х + 1 и имеют две общие точки (положение III). Такое расположение обеспечивается требованием а = 1.
Ясно, что при отрезок [х1; х2], где х1 и х2 – абсциссы точек пересечения графиков, будет решением исходного неравенства. Решив записанное выше уравнение, получим Следовательно, если , то
Когда «полупарабола» и прямая пересекаются только в одной точке (это соответствует случаю а > 1), то решением будет отрезок [-а ; х2′], где х2′ – больший из корней х1 и х2 (положение IV).
Пример 4. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра а ?
Решение, Заметим, что, введя функции и , мы получаем сразу два семейства кривых. В этом случае поиск общих точек затрудняется. Однако задачу можно облегчить, применив замену . Отсюда получаем .
Рассмотрим функции и . Среди них лишь одна задает семейство кривых. Теперь мы видим, что произведенная замена приносит несомненную пользу. Параллельно отметим, что в предыдущей задаче аналогичной заменой можно заставить двигаться не «полупараболу», а прямую. Обратимся к рис. 4. Очевидно, если абсцисса вершины «полупараболы» больше единицы, т. е. –3а > 1, , то уравнение корней не имеет. Если , то по рисунку видно, что рассматриваемые графики пересекаются, причем только в одной точке, поскольку функции и имеют разный характер монотонности.
Ответ. Если то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.
Сразу отметим, что в настоящем пункте выбор семейства кривых (в отличие от самих задач) не отличается разнообразием, а точнее он одновариантный: во всех примерах члены семейства у = f (х;а) – прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой. Иными словами, мы ограничимся семейством вида у – у0 = а (х – х0), где (х0 ; y0) – центр поворота.
Такой выбор обусловлен тем, что в равенстве f (х, у,а) = 0 очень сложно увидеть аналитическое задание поворота кривых, отличных от прямых. Поэтому о повороте как о методе целесообразно говорить лишь для прямых указанного типа.
Пример 5. Найти все значения параметра к, при которых система уравнений
Решение. Ясно, что прямые семейства переходят друг в друга путем преобразования поворота с центром в точке . Данная система очевидно будет иметь решение, если указанные прямые имеют с «полупа-болой» хотя бы одну общую точку.
На рис. 5 отмечены два положения прямой, которым соответствуют некоторые значения параметра k1 и k2. На первой прямой лежит вершина. Вторая прямая касается «полупараболы». Наглядно очевидно, что если прямые семейства «заметают» образовавшийся угол (параметр k изменяется от k1 и k2), то исходная система имеет решения.
Значение k1 найдем, подставив в первое уравнение системы пару (0;0). Отсюда k1 =-1/4. Значение k2 получим, потребовав от системы
иметь одно решение, что равносильно для уравнения при k > 0 иметь один корень. Отсюда k2 = 1/4.
Ответ. .
Сделаем одно замечание. В некоторых примерах этого пункта нам придется решать стандартную задачу: для прямой семейства находить ее угловой коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. Покажем, как это сделать в общем виде при помощи производной.
Если (х0 ; y0) = центр поворота, то координаты (х1; у1) точки касания с кривой у = f (х) можно найти, решив систему
Искомый угловой коэффициент k равен .
Пример 6. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?
Решение. Рассмотрим функцию и . График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 6).
, дуга АВ.
Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекают дугу АВ в одной точке, также в одной точке пересекают дугу АВ ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициенты ОА и ОВ равны соответственно и . Угловой коэффициент касательной равен . Легко находится из системы
Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при .
Ответ. .
Пример 7. При каких уравнение имеет решение?
Решение. Рассмотрим функцию . Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на . Точка — является точкой максимума.
Функция же — это семейство прямых, проходящих через точку . Обратимся к рис. 6. Графиком функции является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число , а ОВ – .
Ответ. При уравнение имеет 1 решение; при остальных значениях параметра решений нет.
1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой.
Пример 8. Сколько решений имеет система
в зависимости от значений параметра а?
Решение. Прежде всего отметим, что при система решений не имеет. При фиксированном а > 0 графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (а; 0), (0;-а), (-a;0), (0;а). Таким образом, членами семейства являются гомотетичные квадраты (центр гомотетии – точка О(0; 0)).
Обратимся к рис. 8. Очевидно если квадрат находится внутри окружности , то система решений не имеет. С увеличением а (квадрат «раздувается») решения появятся лишь в тот момент, когда квадрат окажется вписанным в окружность. В этом случае (а = 1) решений будет четыре. Далее, при каждая сторона квадрата имеет две общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При окружность окажется вписанной в квадрат, т. е. решений станет опять четыре. Очевидно при система решений не имеет.
Реферат: Неравенства
Название: Неравенства Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 07:49:03 29 сентября 2010 Похожие работы Просмотров: 2003 Комментариев: 21 Оценило: 8 человек Средний балл: 4.1 Оценка: 4 Скачать |