Реферат на тему линейные уравнения

Линейные уравнения

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Мая 2013 в 23:26, реферат

Краткое описание

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Линейные уравнения.doc

Линейные уравнения

Уравнения с одной переменной.

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение .

Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.

Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.

Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

Пример 2. Решить уравнения:

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= .

Разложить на множители левую часть уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х- 2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.

Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.

а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.

b) Пусть -1 ю х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.

Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.

Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».

–2 1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)

Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.

Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.

Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а=1, то х – любое число;

если а=-1, то нет решений;

Системы уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.

При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим

Пример 2. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 5. Решить систему:

Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем . При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то .

Ответ: при a=-2система не имеет решения,

при а¹-2 система имеет решение .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.

Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на –3,

наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим — 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:

z=3, которая равносильна данной.

Система такого вида называется треугольной.

Реферат: Линейные системы уравнений

Тема: «Линейные системы уравнений»

1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра

2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов

3. Нормы векторов и матриц

4. Матрицы и определители

5. Собственные значения и собственные векторы

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

7. Функции с матричным аргументом

8. Вычисление проекторов матрицы

Пример использования числовых характеристик матриц

10. Оценка величины и нахождение собственных значений

1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра

Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.

Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:

Здесь – неизвестные,

– заданные числа,

– заданные числовые коэффициенты.

Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта:

список переменных – ,

список правых частей – и

матрицу коэффициентов – .

Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой , а второй – квадратной матрицей.

Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: , – аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами.

Если рассмотреть i- тую строку исходной системы

,

то в ней кроме упорядоченного расположения компонент присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов:

.

Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований , и коммутативно.

Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений:

.

Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную).

Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i- той компонентой, равной .

Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений.

2. Умножение векторов и матриц

Среди n- мерных векторов и векторных операций над ними важно выделить сумму n векторов, умноженных на числовые константы:

,

которая при произвольном выборе в частности может оказаться нулевым вектором (с нулевыми компонентами) или одним из суммируемых векторов . Если нулевой вектор при суммировании не нулевых векторов можно получить лишь в случае, когда все , то такие векторы в наборе называют линейно независимыми . Такими векторами в частности будут единичные векторы , у которых все компоненты нулевые, кроме единичной компоненты, расположенной на j- строке.

Линейно независимый набор единичных векторов с геометрической точки зрения можно рассматривать как n- мерную систему координат. Набор компонент любого вектора в этой n- мерной системе определяет координаты точки конца вектора, исходящего из начала координат, а также являются длинами проекций вектора на координатных осях.

Среди матриц размера и операций с ними в первую очередь необходимо отметить операцию умножения матрицы на матрицу. Необходимость введения операции умножения матриц возникает уже при первом взгляде на полученную векторную форму записи линейного уравнения . Векторы слева и справа имеют равные компоненты. Так как коэффициенты в строках матрицы в общем произвольны по величине, то соответствующие компоненты вектора x не обязаны быть равными компонентам вектора y . Последнее означает, что умножение вектора x на матрицу A вызвало изменение длины и направления вектора x . Если аналогичное преобразование выполняется над вектором правой части до решения уравнения, то вектор левой части должен быть преобразован так же:

.

Фактически мы имеем дело с заменой системы координат. Рассмотрим методику вычисления коэффициентов результирующей матрицы уравнения:

,

где – элемент матрицы С , равный скалярному произведению вектор-строки матрицы В на вектор-столбец матрицы А .

Произведение матриц в общем случае не коммутативно. Ассоциативный и распределительный законы в матричных выражениях выполняются.

3. Нормы векторов и матриц

Интерпретация упорядоченного набора чисел, как вектора в многомерном пространстве, позволяет говорить и о его длине. В прямоугольной системе координат по известным длинам проекций на координатные оси длину самого вектора вычисляют, как корень квадратный из суммы квадратов проекций:

,

где – компоненты вектора ,

– евклидова норма вектора, его длина.

В качестве нормы в литературе иногда используют квадрат длины вектора или другое выражение с компонентами вектора, лишь бы оно обладало свойствами расстояния: было положительным, линейным и удовлетворяло неравенству треугольника.

Деление вектора на величину его нормы называют нормированием , т.е. приведением вектора к единичной длине.

Норма матрицы в принципе тоже может быть определена в виде корня квадратного из суммы квадратов ее элементов или другими выражениями со свойствами расстояний. Однако в ряде случаев работы с векторно-матричными выражениями нормы векторов и матриц должны быть согласованными ввиду того, что результатом произведения матрицы на вектор является опять же вектор. Если выражение для нормы вектора принято, то

,

где функция sup говорит о том, что из всех отношений норм, стоящих в числителе и знаменателе, взятых при любом векторе x , кроме нулевого, выбирается наименьшее, т.е. это функция выбора нижней границы значений. Согласованная матричная норма для евклидовой нормы вектора удовлетворяет неравенству

.

Нормы вектора и матрицы служат, в основном, для сопоставительной оценки матриц и векторов, указывая на возможный диапазон представления строгих числовых характеристик. К числу последних, в первую очередь, нужно отнести определители матриц, собственные значения и собственные векторы матриц и ряд других.

4. Матрицы и определители

Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц:

Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E )=1, можно найти матрицу B и ее определитель из уравнения:

откуда следует, что и .

Из свойств определителей нелишне помнить и такие:

где – транспонированная матрица A ,

n – размер квадратной матрицы A ,

– матрица перестановки строк или столбцов,

s, c= 0,1,…, n – число выполненных перестановок строк и / или столбцов.

Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной записи, решение уравнений можно представить в следующем виде:

Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения.

Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле:

,

где – алгебраическое дополнение, а – минор матрицы A , получаемый вычислением определителя матрицы A , в которой вычеркнуты j- тая строка и i- тый столбец.

Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций.

Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы коэффициентов, получаются тривиально. Поэтому основные усилия разработчиков методов решения алгебраических уравнений направлены на поиск и обоснование эквивалентных преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму.

5. Собственные значения и собственные векторы

Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования.

Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части:

В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю.

Полагая, что решение все же существует, т.е. и , удовлетворить уравнению можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы:

Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно :

Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы и имеет в общем случае n корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы . Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные.

Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему:

где – k- тая степень матрицы.

Подставляя каждое в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для нахождения векторов или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами матрицы.

Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда:

Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

Из правых собственных векторов можно составить матрицу T, а из левых – матрицу , которые обладают уникальными свойствами по отношению к матрице A .

Умножив матрицу A слева на матрицу , а справа – на матрицу T , после несложных преобразований получим:

.

Каждое скалярное произведение в матрице, принимая во внимание линейную независимость собственных векторов, полученных для различных собственных значений, можно преобразовать так:

Поэтому, результатом преобразования матрицы A будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали:

Если вместо A взять единичную матрицу и проделать аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство , откуда следует . Последнее позволяет для преобразования матрицы A в диагональную обходиться только системой правых собственных векторов-столбцов:

Последнее показывает, что умножение матрицы A на слева и на S справа, где S – произвольная не особая матрица, преобразует ее в некоторую матрицу B , которая имеет определитель, равный определителю матрицы A . Такие преобразования матриц называют эквивалентными (подобными ).

Продолжая использовать T- матрицу, несложно получить следующие важные результаты:

.

7. Функции с матричным аргументом

Пусть теперь задана некоторая матричная функция от матрицы A :

.

С другой стороны очевидно и обратное

,

где – матрица с одной единицей на i -том месте диагонали ().

где – проекторы матрицы A , образуемые умножением одноименных правых и левых собственных векторов по правилам умножения прямоугольных матриц с размерами соответственно и . Сумма проекторов .

Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц , т.е. матриц, все степени которых равны первой. Для невырожденных проекторов () матрицы A () справедливо:

Представление функции от матрицы A в виде взвешенной суммы проекций называется спектральным разложением матричной функции по собственным значениям матрицы A :

.

Если в качестве матричных функций взять и , то их спектральные разложения будут следующими:

8. Вычисление проекторов матрицы

Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом:

По известному спектру проекторы матрицы можно найти и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции от матрицы A , которые вычисляются очевидным образом, например, такие:

Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов:

В случае, когда в спектре матрицы имеются кратные собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных точках. Разложение матричной функции по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид:

где – значения i -тых произ-водных функции в точках, соответствующих различным (не кратным) корням характеристического многочлена,

– число кратных корней ,

– проекторы кратных корней, в выражении которых содержатся

– проекторы различных корней.

9. Пример использования числовых характеристик матриц

Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр.

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями и собственными векторами, основанными на векторах .

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта .

Для заданных векторов построим систему векторов таких, что , следующим образом:

Откуда последовательно находятся коэффициенты :

Взаимной ортогональности векторов v можно было бы добиваться и так, чтобы каждый был ортогонален каждому , положив и приравняв нулю скалярные произведения :

Определитель этой системы называют определителем Грама :

,

где — матрица, в общем случае комплексно сопряженная с матрицей

, составленной из заданных векторов.

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость.

Для заданного выше набора векторов определитель произведения матрицы X на транспонированную X * будет равен

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы:

После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т -матрица с этими векторами есть -матрица (); ее строки являются собственными левосторонними векторами:

.

Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора самого на себя дает нам проекторы искомой матрицы:

Умножая каждое собственное значение из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим:

.

Аналогично получается обратная матрица:

.

С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A :

.

10. Оценка величины и нахождение собственных значений

Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.

Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями:

.

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.

Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем можно записать в виде

.

На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение , для которого матрица A также является корнем:

.

Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n- го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме :

,

где A – произвольная матрица размера ;

– жорданов блок размера ;

V – некоторая невырожденная матрица размера .

Характеристическое уравнение жорданова блока размера независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных корней:

.

Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов , то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение

.

Здесь в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.

При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:

.

Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением , оказывается больше, чем у матрицы A .

Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.

Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.

2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.

4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.

5. Чистяков С.В. Численные и качественные методы прикладной математики. СПб: 2004. – 268 с.

Линейные уравнения Содержание Введение Глава 1

Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений

Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства

Глава 3. Линейные уравнения высших порядков

Список использованной литературы

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида ( x – 1) 2 = ( x – 1)( x – 1) выполняется при всех значениях переменной x . Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак , который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.

Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений

Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.

Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2 x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2 x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

a o (x)e (n) + a 1 (x)y (n-1) + . +a n — l (x)y’ + a a

где a i (x) (i = 0, 1, . п) и r( х) — известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у — искомая функция аргумен­та x; y` ( n ) — ее производные по х.

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в урав­нение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Функция r( х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.

Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на a o ( x ) и обозначим новые коэффициенты через

a i ( x ) = a i (х) / а 0 (х) (I = 1, . n), а новую правую часть — через f ( x )= r (х) /а 0 (х)/

Тогда уравнение (1) запишется в виде

y (n) + a 1 (x)y (n-1) + … + a n-1 (x)y` + a n (x)y = f(x) (2)

а соответствующее ему однородное уравнение — в виде

y (n) + a 1 (x)y (n-1) + … + a n-1 (x)y` + a n (x)y = 0 (3)

Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства

y « + p ( x ) y ` + q ( x ) y = 0 (4)

где р(х) и q ( x ) — функции, непрерывные при всех допустимых зна­чениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравне­нием вида (3), где п = 2, а 1 (х)=р(х), а 2 (х)=а(х). Оно имеет оче­видное решение y ( x )=0 (нулевое решение), для которого y ‘ = 0, y « = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представ­ляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).

Пусть у 1 =у 1 (х), у 2 = y 2 ( x ) — два решения уравнения (4), отлич­ные от нулевого.

Определение 2. Два решения у 1 и y 2 уравнения (4) называ­ются линейно зависимыми, если существуют постоянные a 1 и а 2 , не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом зна­чении х справедливо соотношение

A 1 y 2 ( x ) + a 2 y 2 ( x ) = 0 (5)

Если же таких чисел a 1 и а 2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a 1 = a 2 = 0, то решения у 1 и у 2 называются линейно независимыми.

Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид

y « + py` + qy = 0 (6)

где р и q — постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциаль­ным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y — e kx , где k — некоторое пока не­известное число (действительное или мнимое). Тогда y ‘ = ke kx , у» = k 2 e kx . Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель e kx , отличный от нуля для всех х, получим

k 2 + pk + q = 0 (7)

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле

k 1,2 = — p/2 ± √ p 2 /4 – q (8)

В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.

1. Корни действительные и различные: k =/= k 2 . В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = е k 2 x . Как было показано, эти решения линейно незави­симы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

y = C 1 e k1x + C 2 e k2x

2. Корни действительные и равные: k 1 = k 2 = k . В этом случае одно частное решение имеет вид y 1 = e kx . Если взять y 2 = e kx , то ре­шения у 1 и y 2 окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y 2 = x e kx . Решения у 1 и у 2 линейно незави­симы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

у = e kx (С 1 + C 2 x). (9)

3. Корни комплексные: k 1 = a + ib , k 2 = a – ib , где a = — p /2 – действительная, аβ = √q – P2/4 – мнимая часть комплексного числа.

Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми реше­ниями уравнения (6) являются частные решения у1=е ах sin βx и у 2 = е ах cos βx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид

Y = е ах ( C 1 sin βx + C 2 cos βx). (10)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравне­ния с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко соста­вить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить про­изводные соответствующими степенями показателя k .

Глава 3. Линейные уравнения высших порядков

Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформули­руем их, не останавливаясь на доказательствах.

Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка ви­да (3):

y (n ) + a 1 (x)y (n-1) +. + a n-1 (x)y` + a n (x)y = 0

Частные решения у 1 , y 2 , … y n , уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не сущест­вует тождественного относительно х соотношения

A 1 y 1 + a 2 y 2 + … + a n y n = 0

где постоянные a 1 , а 2 , . а n одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп — линейно независимые частные решения урав­нения (3), то его общее решение задается формулой

y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + … C n y n , (11)

где С 1 С 2 , . С n — произвольные постоянные.

Если коэффициенты а 1 , а 2 , . а п уравнения (3) постоянны, то его частные решения у 1 , у 2 , . у п находятся с помощью характери­стического уравнения

k n + a 1 k n-1 + … + a n-1 k+a n = 0 (12)

При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имею­щему кратность т, соответствуют т частных решений вида e kx , x m -1 , . x m -1 e kx уравнения (3).

Подведем итог вышесказанному.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x , можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения – составляют один из множества разделов современной математической науки.

Список использованной литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферен­циальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферен­циальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного перемен­ного. – М.: Наука, 1985.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982, 1987.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая матема­тика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. – Минск: Высшая школа, 1979.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1978.

8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.

9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы матема­тического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.

10. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1985.