Методы решения линейных уравнений

ID (номер) заказа
2158281

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………….…3
Теоретические основы систем линейных уравнений…………..5
Методы решения систем линейных уравнений…………………8
Метод Гаусса…………………………………………………..….8
Метод Крамера……………………………………………………9
Матричный метод……………………………………….…. ….10
Пример решения системы линейных уравнений….…………. 11
Заключение……………………………………………….……………..15
Список использованной литературы…………………………………..17

Введение
Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:
задачи механики (статические, теплотехнические);
задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;
системы линейных уравнений — основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;
задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.
Актуальность выбранной темы обусловлена недостаточной изученностью при широкой практике применения математических методов.
Целью работы является изучение основных методов решения систем математических уравнений.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Изучить теоретические основы систем линейных уравнений;
Рассмотреть основные методы решения данных уравнений:
Метод Гаусса;
Метод Крамера;
Матричный метод;
Продемонстрировать применение данных методов на примере.
Основным объектом исследования является сиситемы линейных алгнебраических уравнений (далее – СЛАУ). Соответствующий предмет работы – методы решения данных систем.
Различным теоретико-методологическим и практическим аспектам бизнес-планирования посвящены работы многих российских исследователей, таких, как: Красс М.С., Кремер Н.Ш., Лизунова Н.А. и т.д.
Методологической, теоретической и эмпирической основой исследования являются положения, сформулированные в трудах отечественных и зарубежных ученых, посвященные теоретическим и прикладным проблемам линейной алгебры.
Информационную базу исследования составляют научные труды российских и зарубежных авторов и методические материалы по исследуемой теме.
Теоретические основы
систем линейных уравнений
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая содержит m строк и n столбцов. Размер таблицы: m×n . [2, 124 c.]
А= a11…a1ma21…a2m………an1 … anm (1),
где aij – коэффициенты матрицы;
i – Номер строки;
j – Номер столбца.
СЛАУ имеет вид:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (2),
где xn — неизвестные;
aij – коэффициенты при неизвестных;
bi – свободные члены.
Коэффициенты и свободные члены могут быть любыми действительными числами.
Решение СЛАУ – это совокупность значений неизвестных xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество. При это система может быть нескольких видов (см. рис.1.) [1, 62 c.]
Если 2 системы имеют одно и то же множество решений, то они являются равносильными (эквивалентными).
Любая СЛАУ может быть представлена в виде матричного уравнения:
AX = B (3),
Где А – матрица, которая состоит из неизвестных;
В – матрица-столбец свободных членов;
Х – матрица-столбец неизвестных.
А = a11…a1ma21…a2m………an1 … anm Х= x1x2…xn B= b1b2…bn (4)
Рис.1. Виды СЛАУ
Матрица А – матрица системы. Также существует A – это расширенная матрица системы (см. формула (5)).
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (5)
Однородная СЛАУ – система, в которой свободные члены являются 0. Априори данный вид систем является совместной.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0 (6)
Если число уравнений в СЛАУ совпадает с количеством неизвестных, то данная система записывается в следующем виде:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn (7)
Определитель, или детерминант квадратной матрицы порядка n имеет обозначения:D=detA= deta11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn= a11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn (8)
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
Обозначив обратную через А-1, запишем А-1А=АА-1=Е, где Е – единичная матрица.
При условии 𝐷 = |𝐴| ≠ 0 обратная матрица находится по формуле:
A-1= A11DA21DAn1DA12DA22DAn2DA1nDA2nDAnnD (9)
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Находят определитель матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов 𝑎𝑖𝑗 матрицы А и записывают новую матрицу.
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспортируют матрицу).
4. Умножают полученную матрицу на 1/D. [3, 104 c.]
Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Методы решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Гаусса является классическим методом решения СЛАУ. Считается, что автор данного – немецкий математик Карл Фридрих Гаусс [8]. Однако стоит отметить, что первое упоминание данного способа относится к китайскому трактату «Математика в 9 книгах», датированному в X век до н. э. — II век до н. э. [10]
Метод Гаусса применяется для решения СЛАУ с произвольным числом неизвестных и уравнении. Его суть заключается в последовательном исключении неизвестных. [4, 354 c.]
Пусть дана произвольная система линейных уравнений (см. формула (2)).
Для решения данной системы приведем ее к эквивалентной ей системе с треугольной или ступенчатой матрицей.
Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы с добавлением столбца свободных членов, т. е. расширенную матрицу системы:
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (10)
Путем различных последовательных элементарных преобразований (умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число; сложение и вычитание строк; перестановка строк) приведем матрицу A к треугольному или ступенчатому виду:
b11 b12 … b1r… b1n c1 b21… b2r… b2n c2… brr… brn cr ( r≤n) (11),
где все диагональные элементы brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.
Полученной матрице соответствует более простая система уравнений:
b11x1+b12x2+…+b1rxr+b1nxn=c1b22x2+…+b2rxr+b2nxn=c2…brrxr+brnxn=cr(12)
Процедуру преобразования исходной системы к треугольному или трапецеидальному виду называют прямым ходом метода Гаусса.
Если в полученной системе r = n, то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так далее, и, наконец, из первого уравнения находим x1.
Описанный процесс называют обратным ходом метода Гаусса. При r = n система имеет единственное решение.
Если же r

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

– очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ;

a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = b n ;

a). Если  , то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x 1 = , где

определитель n-го порядка  i ( i=1,2. n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b 1 , b 2 . b n .

б). Если  , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет . Например:

решить систему уравнений

.

Вычислим определитель системы:

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x , ∆y:

.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n -го порядка:  ,  x 1 ,  x 2 , …,  x n . Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а 11 х 1 + а 12 х 2 + …+ а 1 n х n = b 1 ;

а 21 х 1 + а 22 х 2 + …+ а 2 n х n = b 2 ;

а m1 х 1 + а m2 х 2 + …+ а m n х n = b m

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например:

Решить методом Гаусса систему уравнений

x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;

3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 = 2;

2 x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = 9;

x 1 + 3 x 2 – 3 x 3 – x 4 = –1.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;

X 2 – 6 x 3 + 8 x 4 = –28;

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x 4 = –1 , из третьего х 3 = 3 . Подставив значения х 3 и x 4 во второе уравнение, найдем x 2 = 2 . Подставив значения x 2 , x 3 , x 4 в первое уравнение, найдем x 1 = 1.

Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:

5 x 1 – x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7;

2 x 1 + x 2 – 4 x 3 – 2 x 4 = 1;

x 1 – 3 x 2 + 6 x 3 – 5 x 4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 –1 = 7,

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 –1 7

Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела практические исследования, приводя примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Реферат по математике

Ученица 9 2 класса

Введение. 2

Глава I. Матрицы и действия над ними. 5

1.1. Основные понятия. –

1.2. Действия над матрицами. 8

1.3. Обратная матрица. 11

1.4. Ранг матрицы. 16

Глава II. Системы линейных уравнений. 23

2.1. Основные понятия. –

2.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило

2.3. Однородная система n линейных уравнений с n

2.4. Метод Гаусса решения общей системы линейных

2.5. Критерий совместности общей системы линейных

Список литературы. 46

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a 11 x 1 + … + a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + … + a 2n x n = b 2 ;

a m1 x 1 + … + a mn x n = b m .

Здесь x 1 , … , x n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n ) строить так называемые определители , при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы , стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра , т.е. теория

векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера . Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса . Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение ( определённая система ), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений ( неопределённая система ); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения ( несовместная система ). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [ а ij ] и [ a ij , b j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А , то система несовместна ( теорема Кронекера-Капелли ).

Несколько уравнений вида a 1 x 1 + …+ a n x n = b образуют систему линейных уравнений

a j1 x 1 + …+ a jn x n = b j , j = 1, …, m,

которую можно записать как

x 1 a 1 + …+ x n a n = b,

где а 1 , …, а n , b m -мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения

являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.

Глава I. Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m Ч n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А )

А = 3 10 7 — матрица.

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

M = a 31 a 32 … a 3n

a m1 a m2 … a mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n , то матрица называется квадратной , а число строк (или столбцов) – её порядком .

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [ a ij ] и В = [ b ij ] одинакового типа называются равными , если a ij = b ij при всех i и j .

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой ( матрицей-столбцом ), а матрица, у которой все элементы а ij = 0 , – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ , а элементы квадратной

матрицы порядка n ,сумма индексов каждого из которых равна n+1 , –

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е ):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной :

a 11 а 12 … а 1n b 11 0 … 0

А = 0 а 22 … а 2n ; B = b 21 b 22 … 0

0 0 … a nn b n1 b n2 … b nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a 11 a 12 … a 1n

A = a 21 a 22 … a 2n ;

a n1 a n2 … a nn

a 11 a 21 … a n1

A T = a 12 a 22 … a n2 .

a 1n a 2n … a nn

Определитель n -го порядка матрицы

а 11 а 12 … а 1n

А = а 21 а 22 … а 2n

а n1 а n2 … а nn

а 11 а 12 … а 1n

∆ = а 21 а 22 … а 2n = ∑ (-1) I(k , k , …, k ) a 1k a 2k … a nk

а n1 а n2 … а nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij , т.е. на всевозможные перестановки ( k 1 , k 2 , …, k n ). Числа а ij называют элементами определителя .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной .

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i -й строки.

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

1.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В . Таким образом, если

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

А = ………….. ; (1) В = …………… , то (2)

a m1 … а mn b m1 … b mn

a 11 + b 11 … a 1n + b 1n

a m1 + b m1 … a mn + b mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a 11 – b 11 … a 1n – b 1n

A – B = ………………………

a m1 – b m1 … a mn – b mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц . Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А + В = В + А ; (коммутативность)

А + (В + С) = (А + В) + С ; (ассоциативность)

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a 11 … a 1n λa 11 … λa 1n

a m1 … a mn λa m1 … λa mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А . Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ — произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :

а 11 … а 1 n b 11 … b 1n

a m1 … a mn b m1 … b mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В , которые

заданы в определенном порядке ( А – 1ая, В – 2ая ), является матрица С , элемент которой с ij определяется по следующему правилу:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj = ∑ n α = 1 a iα b αj,

где i = 1,2, …, m ; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (1)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (2)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц . Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА . Убедимся в примере матриц (1). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В , для которых АВ = ВА, называются перестановочными . Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А(ВС) = (АВ)С ; (ассоциативность)

А(В + С) = АВ + АС . (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ — произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

Пусть дана квадратная матрица

a 11 … a 1n

= A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А , а сама матрица А – обратимой . Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1 . Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ 1 = Е . Умножив второе равенство на матрицу Х , получим ХАХ 1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е , то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ 1 = Х или Х = Х 1 .

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Найдем теперь выражение для матрицы А -1 при условии, что матрица

А – обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами а ij . Обозначим через А ij алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ∆ матрицы А и составим матрицу В :

А 11 A 21 … A n1

A 1n A 2n … A nn

Заметим, что в i -й строке матрицы В расположены алгебраические дополнения элементов j -го столбца определителя ∆ . Матрица (4) называется присоединённой для матрицы А . Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют матричному равенству

Для этого вычислим элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце произведения АВ . Искомый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:

a i1 A j1 + a i2 A j2 + … + a in A jn . (6)

Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю ∆ при i = j и нулю при i ≠ j . Следовательно, мы установили, что произведение АВ есть матрица вида

∆ 0 … 0 1 0 … 0

Таким образом, АВ = ∆Е. Аналогично доказывается и равенство

Пусть теперь А – невырожденная матрица (т.е. ∆ ≠ 0 ). Тогда, умножив обе части равенства (5) на числовой множитель 1/∆ , получим

Сравнивая равенства (5) и (7) и учитывая единственность обратной

матрицы, замечаем, что

Таким образом, доказано, что, во-первых, обратимы только невырожденные матрицы, и, во-вторых, для матрицы А обратной является матрица

Пусть А невырожденная матрица, тогда АА -1 = Е. Переходя в этом равенстве к определителям, получаем А А -1 = 1 , откуда

А -1 = А -1 .

Таким образом, определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя данной матрицы. Из этого следует, что если матрица А – невырожденная, то обратная матрица А -1 также невырожденная.

Пусть теперь дана матрица А -1 . Для неё обратной будет матрица

(А -1 ) -1 .Поэтому из определения обратной матрицы будем иметь

А -1 (А -1 ) -1 = Е . Умножив это соотношение слева на А , получим

АА -1 (А -1 ) -1 = АЕ или (А -1 ) -1 = А.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆ А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А :

А 11 = –1 1 = 0; А 12 = –­­ –3 1 = –1;

А 13 = –3 –1 = –1; А 21 = – 2 3 = 5;

А 22 = 1 3 = –7; А 23 = – 1 2 = 3;

А 31 = 2 3 = 5; А 32 = 1 3 = –10;

–1 1 –3 1

А 33 = 1 2 = 5.

Составим присоединённую матрицу для матрицы А :

Отсюда находим обратную матрицу:

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В , если:

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1 , получим:

А -1 АХ = А -1 В; Х = А -1 В.

Найдем А -1 : ∆ А = 1, А 11 = 2, А 12 = -1, А 21 = -3, А 22 = 1 , следовательно,

Найдем матрицу Х:

Х = А -1 В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

1.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу

а 11 … а 1 n

Выделим некоторое число k строк этой матрицы и такое же число столбцов. Элементы матрицы (8), стоящие на пересечение выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы А . Если не все числа а ij матрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у матрицы А имеется минор,

имеющий порядок r + 1 и выше, равен нулю.

Число r , представляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А , называется рангом матрицы и обозначается rangA . Если все элементы а ij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю. Отличный от нуля минор r -го порядка матрицы A (таких миноров у матрицы А может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок r ) называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых построен базисный минор, называют базисными . Понятие ранга матрицы широко применяется в различных приложениях теории матриц.

Выделим в матрице А произвольно k строк. Пусть это будут строки

а α 1 1 , а α 1 2 , … , а α 1 n ;

а α 2 1 , а α 2 2 , … , а α 2 n ;

а α k 1 , а α k 2 , … , а α k n .

Если существуют такие числа λ 1 , λ 2 , …, λ k , не все равные нулю, что для элементов некоторой другой, отличной от выделенной, строки i выполняются следующие соотношения:

то говорят, что i -я строка линейно выражается через строки

α 1 , α 2 , …, α k . В случае, если равенства (9) выполняются тогда и только тогда, когда все числа λ 1 , λ 2 , …, λ k – нули, то говорят, что i -я строка линейно зависима от строк α 1 , α 2 , …, α k . Аналогичным образом можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между столбцами матрицы.

Теорема 1.2.(о базисном миноре) Любая строка матрицы А является линейной комбинацией её базисных строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что базисный минор матрицы (8) расположен в её верхнем левом углу, т.е. в первых r строках и первых r столбцах. Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k – номер любой строки матрицы А ( k может принимать значения от 1 до m ), а l – номер любого её столбца (l может принимать значения от 1 до n ).

Рассмотрим следующий минор матрицы (8):

a 11 a 12 … a 1r a 1 l

a 21 a 22 … a 11 a 1l

a r1 a r2 … a rr a rl

………………………

a k1 a k2 … a kr a k l

Если k r , то ∆ = 0, так как в нем имеется две одинаковые строки. Аналогично ∆ = 0 и при l r .

Разложив определитель ∆ по элементам последнего столбца, получим

a 1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + … + a r l A r l + a k l A k l = 0,

Придавая l значения, получаем:

Равенства (11) показывают, что k -я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк с коэффициентами

λ 1 , λ 2 , …, λ r . Так как эти равенства справедливы при любом k от 1 до n , то т е о р е м а д о к а з а н а полностью.

Основываясь на теореме о базисном миноре, докажем справедливость следующих предложений.

1. Ранг матрицы не изменяется, если к ней приписать строку, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы.

Действительно, базисные строки исходной матрицы будут также базисными строками в дополнительной матрице, так как строку из линейной комбинации всех строк исходной матрицы можно

представить как линейную комбинацию базисных строк.

2. Ранг матрицы А не изменится, если вычеркнуть из неё строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

В самом деле, исходная матрица А получается из матрицы с вычеркнутой строкой путем добавления строки, являющейся линейной комбинацией строк матрицы А . Таким образом, предложение 2 сводится к предложению 1.

Нахождение ранга матрицы, как это следует из его определения, требует вычисления большого числа миноров (т.е. определителей разных порядков) матрицы. Однако этот процесс можно упростить: вычисляя ранг матрицы, гораздо удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор r -го порядка, отличный от нуля, то при следующем шаге нужно вычислять миноры ( r + 1 )-го порядка, окаймляющие прежний минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Другим простым способом вычисления ранга матрицы является метод Гаусса, основанный на так называемых элементарных преобразованиях , выполняемых над матрицей. Такими преобразованиями будем считать:

вычеркивание строки состоящей из нулей;

прибавление к элементам одной из строк соответствующих элементов других строк, умноженных на любое число;

перестановку двух столбцов.

Теорема 1.3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразование 1 следует из теоремы о линейной комбинации элементов любой строки матрицы. В самом деле, так как нулевая строка не может быть базисной, то её исключение, как и включение, не изменит ранга матрицы.

Преобразование 3 очевидно, так как перестановка двух столбцов матрицы не нарушает никаких линейных зависимостей между её строками.

Остается рассмотреть преобразование 2. Пусть к k элементам i -ой строки матрицы А прибавляются соответствующие элементы j -ой строки, умноженные на число k . Указанное преобразование можно выполнить в два приёма: сначала добавить к матрице А новую строку

с элементами a il + ka jl , вставив её после i -й строки, затем из полученной матрицы вычеркнуть j -ю строку. При первой операции ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы А согласно предложению 1, а при второй операции – согласно предложению 2.

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что путем элементарных преобразований можно привести данную матрицу А к виду

b 1 l b 1 2 … b 1 r … b 1 n

B = 0 b 22 … b 2r … b 2n

0 0 … b rr … b rn

в котором все диагональные элементы b 1 l , b 22 , …, b rr отличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B .

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

1 –2 –1 3

Р е ш е н и е. Выберем минор второго порядка, стоящий в верхнем левом углу:

М 2 = 1 –2 = 4.

Так как М 2 ≠ 0, то, следовательно, ранг матрицы не меньше двух. Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка отличный от нуля. Для этого добавим к М 2 третью строку и третий столбец:

М 3 = 2 0 1 = 2 + 4 + 2 – 8 = 0.

Заменим третий столбец четвертым:

М′ 3 = 2 0 –1 = –2 – 12 – 2 + 16 = 0.

В миноре М 3 заменим третью строку четвертой:

1 –2 –1

М″ 3 = 2 0 1 = –14 + 12 + 6 – 4 = 0.

В миноре М′ 3 заменим третью строку четвертой:

1 –2 3

М′″ 3 = 2 0 –1 = 14 – 36 – 6 + 28 = 0.

Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю. А это значит, что rang A = 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы

1 2 3 4 5

Р е ш е н и е. Произведем следующие элементарные преобразования над матрицей А . Путем умножения элементов строк на числа и сложения их с соответствующими элементами других строк добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого, были бы нулями. Один нуль там уже имеется, поэтому, сложив четвертую строку со второй, умноженной на два, получим

1 2 3 4 5

Применим теперь элементарные преобразования таким образом, чтобы в матрице В все элементы второго столбца, кроме первых двух, были бы нулями. Один нуль там уже имеется, поэтому, сложив четвертую строку со второй, умноженной на 2, получим

Оставив три строки матрицы С без изменения и сложив четвертую строку с третьей, умноженной на –1, получим

1 2 3 4 5

Очевидно, что ранг матрицы D равен трем, так как минор третьего порядка

1 2 5

а все миноры четвертого порядка, окаймляющие минор М , равны нулю. На основании теоремы 1.3. заключаем, что rang А = 3.

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (13)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + …+ a mn x n = b m ;

где х 1 , х 2 , … , х n — неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (2.1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а 11 , а 12 , … , а mn называются коэффициентами системы , а b 1 , b 2 , … , b m — её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а ij

( i = 1, 2, . . ., m ; j = 1, 2, . . .,n ) и свободные члены b i ( i=1, 2, . . .,m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b i соответствует номеру уравнения, в которое входит b i .

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (13) называется всякая совокупность чисел α 1 , α 2 , α n , которая будучи поставлена в систему (13) на место неизвестных х 1 , х 2 , …, х n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и тоже множество решений.

2.2. Система n линейных уравнений с n

неизвестными. Правило Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (14)

a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = b n ;

Определителем системы (14) называется определитель, составленный из коэффициентов а ij .

a 11 a 12 … a 1n

∆ = a 21 a 22 … a 2n

a n1 a n2 … a nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (14) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (14) на алгебраические дополнения элементов i -го столбца определителя ∆ , т.е. первое уравнение умножим на А 1i , второе – на А 2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А ni , а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

( a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1i x i + …+ a 1n x n ) A 1i + ( a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2i x i +

+ …+ a 2n x n ) A 2i + …+ ( a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a ni x i + …+ a n x nn ) A ni = b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni

или, сгруппировав члены относительно известных x 1 , x 2 , …, x n , получим

( a 11 A 1i + a 21 A 2i + …+ a n1 A ni ) x 1 + … +

+ ( a 1i A 1i + a 2i A 2i + …+ a ni A ni ) x i + … +

+ ( a 1n A 1i + a 2n A 2i + …+ a nn A ni ) x n =

= b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni . (15)

Коэффициент при неизвестной х i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный

член уравнения (15) отличается от коэффициента при х 1 тем, что коэффициенты а 1i , а 2i , …, а ni заменены свободными членами

b 1 , b 2 , …, b n уравнения (14). Следовательно, выражение

b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni есть определитель i -го порядка, отличающийся от определителя только i -м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆ x i , будем иметь

a 11 a 12 … b 1 … a 1n

Реферат на тему методы решения систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

1.1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

1.1.2 Однородная система п линейных уравнений с n неизвестными

1.1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений

1.2 Основные методы решения систем линейных уравнений

1.2.1 Матричный метод решения систем линейных уравнений

1.2.2 Метод Крамера

1.2.3 Метод Гаусса

1.4 Ответы на теоретические вопросы

Курс «Алгебра и геометрия» занимает особенное место в системе математической дисциплины, которая изучается студентами специальностей ПМ, САУ и IНФ, как базовый курс. Наверное, нет ни одной математической дисциплины, в которой бы не применялись понятия алгебры и геометрии.совая работа должна способствовать более углубленному изучению курса «Алгебра и геометрия», осмыслению его и применению для решения задачи практического содержания.

Данная работа содержит раскрытие вопроса решения систем линейных алгебраических уравнений, способы получения результата и применение систем для решения экономических задач.

Работа состоит из двух частей — теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы.

В практической части решены системы линейных уравнений, а также рассмотрены экономические задачи, решение которых сводится к решению соответствующей системы.

система линейное уравнение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2;

где х1, х2, …, хn — неизвестные, значения которых подлежат нахождению. В общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm — её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i = 1, 2. m; j = 1, 2. n) и свободные члены bi (i=1, 2. m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс — номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел ?1, ?2, ?n, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений.

. И третий случай, когда система вообще не имеет решения.

.1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему, в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы составим матрицу

которую назовем основной матрицей системы, и матрицу

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

B = ……………………… ……,am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы.

Теорема (Теорема Кронекера — Капелли) Для того чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Пусть система совместна и c1, c2. сп — некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2. сп. Согласно предложению, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz. сп — решение системы уравнении, то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn;= а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn;

где c1, c2. сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе удовлетворяют значения x1 = c1. хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

1.1.2 Однородная система п линейных уравнений с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = 0;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = 0;

аn1х1 + аn2х2 + …+ аnnхn = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение: х1 = 0, х2 = 0. хп = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все D xi = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (bi = 0). Поэтому система, равносильная системе, будет иметь вид D x1= 0, D x2=0;., D xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система имеет единственное нулевое решение, если ? 0; если же D = 0, то из условий следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

Теорема. Для заданной однородной системы уравнений , для которой , где — число неизвестных, существует линейно независимых решений и любое решение системы представляется в виде линейной комбинации этих решений.

Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы уравнений.

— фундаментальная система решений однородной системы уравнений (Ф.С. Р.). Она содержит решений и получается с общего решения, если свободным переменным придавать последовательно значения: . Полученная таким образом фундаментальная система называется нормированной.

Обратим внимание, что решение однородных систем осуществляется теми же методами, что и неоднородных.

1.1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений

Теорема 1. Общие решения однородной системы уравнений

, где , — число неизвестных, представляется в виде:

где — свободные постоянные, , — фундаментальная система решений.

Теорема 2. Общие решения неоднородной системы уравнений

представляется в виде:

где — некоторое частное решение неоднородной системы, — общее решение соответствующей однородной системы.

.2 Основные методы решения систем линейных уравнений

1.2.1 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ? 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E?X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ? ? 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение — на A21 и 3-е — на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы ? ? 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную.

С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы, а также перемены местами столбцов, что отвечает перепозначенню переменной, матрица сводится к ступенчатой (или трапециевидной) форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Это прямой ход метода Гаусса. Решение полученной системы осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусcа).

Более детально этот процесс выглядит так: матрица в результате элементарных преобразований принимает такой вид:

Тогда возможны несколько случаев:

. Хотя б одно с чисел отличное от нуля, тогда і система несовместная.

а) , система совместная, имеет единственное решение;

б) , система совместная, имеет бесконечное множество решений.

В случае совместимости системы, ставим последней матрице в соответствие систему уравнений вида

Эту систему переписываем, оставляя базисные переменные слева, свободные — справа

Именно эту систему решаем, начиная снизу вверх.

В результате получаем или единственное решение, или множество решений, которые записываются в виде общего решения.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменной. Вычислительная процедура гауссових исключений может быть формализирована с помощью простых правил.

Назовем переменную, которая исключалась, разрешающей, коэффициент при ней — разрешающим элементом, строку и столбец матрицы, в которой размещен разрешающий элемент — разрешающими.

Перечисление элементов расширенной матрицы при выполнении элементарных преобразований выполняется по таким правилам:

) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, обращаются в нуль;

) все другие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразовываемый элемент равняется разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Тут — разрешающий элемент, — преобразуемый элемент. Обозначим — элемент, который получен вычислением по правилу прямоугольника. Тогда

Модификацией метода Гаусса является метод полного исключения или метод Жордана — Гаусса.

Метод полного исключения (метод Жордана-Гаусса) заключается в том, что в результате преобразований расширенной матрицы в ней выделяется диагональная подматриця и тогда решение исходной системы выписывается просто.

Метод полного исключения работает за такими правилами:

) назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при неизвестной, которая исключается;

) элементы разрешающей строки остаются неизменными;

) все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются такими до конца преобразований;

) все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Метод полного исключения может быть использован для обращения матрицы (известен также под названием метод элементарных превращений).

Для данной матрицы -го порядка строится прямоугольная матрица размера , к которой применяется преобразование по алгоритму полного исключения, в результате чего матрица сводится к виду , где . Это всегда возможно, если матрица невырожденная.

Обобщим знания о системах уравнений с помощью таблицы 1.1.

Понятия Или соотношенияФормулаОбщая система линейных алгебраических уравненийОсновная матрица системыМатрица-столбец свободных членовМатрица-столбец неизвестныхМатричная форма записи системыРасширенная матрица системыУсловие совместимости системыСистема имеет единственное решениеСистема имеет бесконечное множество решенийСистема несовместнаяКвадратная система линейных алгебраических уравненийКвадратная система имеет единственное решениеКвадратная система бесконечное множество решений, Квадратна система несовместная, Однородная система уравненийОднородная система имеет только нулевое решениеОднородная система имеет нетривиальные решенияКвадратная однородная система имеет только нулевое решениеКвадратная однородная система имеет нетривиальные решенияСтруктура общего решения однородной системы,

— произвольные числа; , — число неизвестных. Структура общего решения неоднородной системы,

где — некоторое частное решение неоднородной системы, — общее решение соответствующей однородной системы.

1.4 Ответы на теоретические вопросы

1. Теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы

2. Система имеет единственное решение, если ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы и равен количеству неизвестных системы.

3. Система имеет бесконечное множество решений, если ранг матрицы меньше количества неизвестных системы.

. Свободные переменные — те переменные, которые задаются произвольными значениями, а базисные переменные — те, которые выражаются через свободные.

5. Количество базисных переменных равняется рангу матрицы системы.

. Если ранг матрицы равен r, а количество неизвестных равняется n, то система может иметь (n-r) свободных переменных.

. Система называется однородной, если она имеет вид: АХ=0, т.е. все свободные члены равны нулю.

. Решение называется ненулевым, если все переменные одновременно не принимают значение 0.

. Для того, чтобы однородная система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся количеству неизвестных системы.

. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше количества неизвестных системы.

. Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

. Однородная система уравнений имеет фундаментальную систему решений, если ранг матрицы системы не равен количеству переменных системы.

. Фундаментальная система решений однородной системы содержит (n-r) решений, где n — число неизвестных системы, r-ранг матрицы системы.

. Однородная система уравнений может иметь от 0 до (n-1) фундаментальных систем решений, где n — число неизвестных системы.

. Если свободным переменным поочередно придавать значения: 1, 0,0…0; 0, 1, 0…0; …; 0, 0, …, 1, то полученная фундаментальная система решений называется нормированной.

Kypсовая работа посодействовала более углубленному изучению курса «Алгебра и геометрия», осмыслению его и применению для решения задач практического содержания.

Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания из курса «Алгебра и геометрия» для решения задач различного типа.

В теоретической части были полностью раскрыты значения тех понятий, которые приводились во вступлении, а именно система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы.

В практической части были решены все поставленные задачи, а именно: решены предложенные системы, выполнена проверка, решены экономические задачи, сводящиеся к системам уравнений.

1. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — Минск: Вышейш. шк., 1986. — 272 с.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Алгебра і геометрiя: Лiнiйна алгебра. Аналітична геометрія: — Харків: ХТУРЕ, 2000. — 388 с.

. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. — М.: Высш. шк., 1986. — 304 с.

. Апатенок Р.Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. — Минск. Вышейш. шк., 1990. — 286 с.

. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збiрник задач та вправ. — Х.: Рубiкон, 1999. — 320 с.

. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая математика. — К.: Национальная академия управления, 1999. — 399 с.

Теги: Системы линейных уравнений Курсовая работа (теория) Математика