Реферат по теме показательные уравнения

Краевое государственное профессиональное образовательное автономное учреждение

«Камчатский политехнический техникум»

(КГПОАУ «Камчатский политехнический техникум»)

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дсциплине ________________________________

На тему: Показательные уравнения, неравенство и их системы.

Студента (ки) ________ курса, группы _________

Имя _____________ Отчество _________________

_______ ________________ 20 ___ г.

Петропавловск-Камчатский – 2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств .

При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— при решении показательных уравнений и неравенств, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям и неравенствам;

— незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

— при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы и полезность ее изучения для будущей педагогической практики.

Цель данной работы:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения и неравенства»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры;

— систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старшей школе.

Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в старших классах средней школы. Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные методические рекомендации по изучению показательных уравнений и неравенств могут быть использованы учителями и практикантами в школе, а также в ходе занятий по элементарной математике на педагогическом отделении университета. Весь теоретический материал по теме «Показательные уравнения, неравенства и их системы» сгруппирован, разобраны алгоритмы решения и приведены примеры.

Гипотеза исследования: учащиеся при решении различного рода задач получают первые навыки в исследовательской работе. У учащихся при этом развивается логическое мышление, повышается уровень математической культуры. А также развивают качества личности такие как: самостоятельность, целеустремленность, любознательность, интеллектуальное совершенствование.

Задачи работы:

1. Узнать, что такое показательные уравнение и принцип их решения.
2. Узнать, что такое показательные неравенства и принцип их решения.
3. Узнать, что такое системы показательных уравнений и неравенств.

Методы исследования: анализ и обобщение специальной литературы по теме; сравнение.

Теоретическая и практическая значимость исследования: данные материалы по показательным уравнениям, неравенствам и их систем, можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, при подготовке к сдаче ЕГЭ, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по этой теме.

Структура работы: состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы, и содержит 18 страниц.

ГЛАВА 1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени [2].

Например:

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

1) ;

2) ;

3) .

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

— метод уравнивания показателей;

— метод введения новой переменной;

— метод вынесения общего множителя за скобки;

— метод почленного деления;

— метод группировки.
1.1 Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей [3].:

— представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

— на основании теоремы, если , где равносильно уравнению вида , приравнивнять показатели степеней;

— решить полученное уравнение, согласно его виду (линейное, квадратное и т.д.).

Задача. Решить уравнение:

Решение: Представим 27 как . Данное показательное уравнение имеет одинаковое основание 3.

Данное уравнение равносильно уравнению

Ответ:
1.2 Метод введения новой переменной

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

— определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

— ввести новую переменную;

— решить уравнение относительно новой переменной [4]..

Задача. Решить уравнение:

Решение: Пусть , получим квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения — не удовлетворяет условию .

1.3 Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки [1].

Задача. Решить уравнение:

Т.к. равносильно , запишем как:

Вынесем :

27 представим, как , тогда получим . Следовательно,

Ответ: 3.
1.4 Функционально-графический метод

Алгоритм решения показательного уравнения методом функционально-графическим методом:

— левую и правую части уравнения представить в виде функций;

— построить графики обеих функций в одной системе координат;

— найти точки пересечения графиков, если они есть;

— указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.

Задача: Решить уравнение:

Строим таблицы значений:

Таблица 1.

X	0	1	-1
y	1	9

Таблица 2.

Построив графики этих функций, найдем абсциссу точки пересечения, она и будет корнем уравнения: .

График 1. Функций и

1.5 Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Задача. Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения почленно на , получим равносильное ему уравнение:

Сделаем замену

Ответ:

1.6 Метод группировки

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней [6].

Задача. Решить уравнение:

ГЛАВА 2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Неравенства, содержащие переменные в показателе степени, называются показательными.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что o при основании, большем единицы, показательная функция возрастает, при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает [3].
Неравенства вида

Решение неравенств подобного вида основано на следующих утверждениях:

При то неравенство равносильно ;

При , то неравенство равносильно неравенству .

Заметим, что применяя какой-либо метод при решении неравенства, содержащего знак «>», можно этот же метод применять и при решении неравенств, содержащих знаки « 0, тогда при равносильно числовому неравенству 1 при
Неравенство вида

При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию a или b. Учитывая свойства показательной функции, получаем:

При ;

При .

Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства.

Методы решения показательных неравенств:

— Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

— Однородные показательные неравенства

— Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

— Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

— Неравенства, решаемые графическим методом
2.1 Метод приведение к простейшим

Задача. Решить неравенство :

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

2.2 Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций

Задание. Решить неравенство: .

Решение: Вынесем за скобку

Тогда переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ: .
2.3 Решение неравенств, сводящиеся к квадратным

Задание. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или

Ответ:

2.4 Решение неравенств, сводящиеся к рациональным

Решить неравенство:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Можно «отбросить» сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

2.5 Решение неравенств, решаемые графическим методом

Решить неравенство:

Рассмотрим функции и . Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения, мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ: .
ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

3.1 Системы, содержащие одно или два показательных уравнений

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используют традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных [8].

Напомним, что систему двух уравнений с двумя переменными обозначают фигурными скобками и обычно записывают в виде:

Несколько уравнений с двумя (или более) переменными образуют систему уравнений, если ставиться задача найти множество общих решений этих уравнений .

Множество упорядоченных пар, точек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

3.2 Системы неравенств. Совокупность неравенств

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставиться задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств (т.е. если отыскиваются все общие решения исходных неравенств).

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам [7].

Очевидно, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, образующих систему, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному их этих неравенств.

Подводя итоги данного исследования, можно сделать следующие выводы:

1. Показательные уравнения и неравенства представляют интерес для учащихся. При решении показательных уравнений и неравенств развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.

2. Для решения каждого вида уравнений и неравенств в работе представлен наиболее удобный способ. Трудности могут возникнуть при решении систем, содержащие одно или два показательных уравнения, т.к. нужно правильно определить метод решения.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

— подробно рассмотрен теоретический материал;

— изучены различные методы решения показательных уравнений, неравенств и их систем (методы уравнивания показателей, введения новой переменной, функционально-графический, почленного деления, вынесения общего множителя за скобки, группировки).

Реферат: Уравнения и способы их решения

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

на тему: Уравнения и способы их решения

Выполнил: ученик 10 «А» класса

Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна

Основная часть . 3

Список использованной литературы . 29

Уравнения. Алгебраически уравнения.

а) Основные определения.

б) Линейное уравненение и способ его решения.

в) Квадратные уравнения и способы его решения.

г) Двучленные уравнения способ их решения.

д) Кубические уравнения и способы его решения.

е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

абсолютной величины и способ его решения.

а) Показательные уравнения и способ их решения.

б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1] ). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:, , . – или теми же буквами, снабженными индексами: , , . или , , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , . – или теми же буквами, снабженными индексами: , , . или , , . ).

В общем виде уравнение может быть записано так:

(, , . ).

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то говорят, что уравнение есть следствие уравнения , и пишут

.

и

называют эквивалентными , если каждое из них является следствие другого, и пишут

.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .

Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и .

Уравнение эквивалентно уравнению .

Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

,

где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

++ . ++,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , , , . , называются коэффициентами (или параметрами ) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями ) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х), где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

, (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение

, (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

.

Алгебраическое уравнение второй степени.

, (3)

где , , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением . Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным .

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

, ,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

.

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

. (4)

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

( — целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

. (5)

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

,

.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

(6)

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

++, (7)

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

, .

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

,

Заметим, что , поэтому

,

.

,

но , из формулы (7) поэтому окончательно

.

Если положить, что +, то

,

Заметим, что , поэтому

,

,

но , поэтому окончательно

.

.

Уравнения n-й степени вида

(8)

называется двучленным уравнением . При и заменой [2] )

,

где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

,

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):

( 0, 1, 2, . ). (9)

Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле

( 0, 1, 2, . ). (10)

Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).

Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

1) ().

Уравнение имеет два действительных корня .

2) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

3) ().

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

4) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

5) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

6) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

, .

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

, где ,

оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

, где ,

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

. (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

. (12)

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

.

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

. (13)

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

, или

.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

или

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения

.

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

.

Эта формула известная как формула Кардано .

подстановкой приводится к «неполному» виду

, , . (14)

Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны

, ,

, ,

.

Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если («неприводимый» случай), то и

,

,

.

(b) Если , , то

, ,

, .

(с) Если , , то

, ,

, .

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением . Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

, .

Если , [3] ), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

.

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

, .

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари .

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

.

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

. (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

.

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

подстановкой приводится к «неполному» виду

. (16)

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем , и — корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени () можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения

,

старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»:

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остается решить квадратное уравнение . Его корни:

.

Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: , и . Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов .

Если уравнение имеет вид , где и — многочлены, то замена сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: и .

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной степени вида

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: , и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой .

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на (что законно, так как не является корнем), получаем

.

.

Поэтому величина удовлетворяет квадратному уравнению

,

решив которое можно найти из уравнения .

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение при любом можно представить как многочлен степени от .

Рациональные алгебраические уравнения

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

, (17)

где и — многочлены. Далее для определенности будем полагать, что — многочлен m-й степени, а — многочлен n-й степени.

Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)

задается условием , т. е. , , . где , , . — корни многочлена .

Метод решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

,

корни которого обозначим через

.

Сравниваем множества корней многочленов и . Если никакой корень многочлена не является корнем многочлена , то все корни многочлена являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена является корнем многочлена, то необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена не является корнем рационального уравнения (17).

П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

,

где , .

Многочлен имеет два действительных корня (оба простые):

, .

Многочлен имеет один простой корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .

Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение имеет, кроме указанного действительного корня, два комплексно сопряженных корня:

, .

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением . В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений.

1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения

в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение

множество решений которого представляет собой объединение множеств решений:

и .

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

, (18)

где , , — некоторые многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного определяются условиями

, .

Возведя обе части уравнения (18) в квадрат, получим уравнение

.

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в алгебраическое уравнение

. (19)

Так как обе части уравнения (18) возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения (19) будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

2) Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

.

Множество допустимых значений этого уравнения:

.

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

,

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно . Решая это уравнение, получим

, .

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

П р и м е р 3. Решить уравнение

. (20)

Множество допустимых значений данного уравнения: . Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

.

Далее, записывая уравнение в виде

,

при уравнение решений иметь не будет;

при уравнение может быть записано в виде

.

При данное уравнение решений не имеет, так как при любом , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.

При уравнение имеет решение

.

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением иррационального уравнения (20) будет

.

При всех остальных значениях уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

(21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1) Если , то уравнение (21) приводится к виду

. (22)

Решения этого уравнения: , . Условию удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

2) Если , уравнение (21) приводится к виду

.

Корнями этого уравнения будут числа и . Первый корень не удовлетворяет условию и поэтому не является решением данного уравнения (21).

Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

. (23)

Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):

, , .

1) При уравнение (23) приводится к виду

.

В промежутке последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке решений не имеет.

2) При уравнение (23) приводится к виду

,

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение является решением уравнения (23).

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4] ).

Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

, (24)

где и — некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

Множество решений показательного уравнения вида

, (25)

где — некоторый многочлен, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :

.

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень и два иррациональных корня: и .

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:

, , .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

и .

Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:

1) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

2) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

3) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

, (26)

где — некоторое положительно число, отличное от единицы, — любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение

.

Множество решений логарифмического уравнения вида , где — некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение

. (27)

Относительно неизвестного данное уравнение – квадратное:

.

Корни этого уравнения: , .

Решая логарифмические уравнения

, ,

получаем решения логарифмического уравнения (27): , .

В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.

П р и м е р 2. Решить уравнение

. (28)

Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо равную ему величину, получаем уравнение

.

Заменой это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :

.

Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения и :

,

,

П р и м е р 3. Решить уравнение

.

Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

.

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

Список использованной литературы

Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.

Курсовая работа на тему Методика изучения показательных уравнений неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………………………………………………………………. 5

1.1 Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения и неравенства» …………………………………………………………

1.2 Показательные уравнения и методы их решения …….…………………….8

ГЛАВА II . МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ . ……………………..…………..15

2.1 Анализ заданий на решение показательных уравнений и неравенств в составе ЕГЭ……..………………………………………………………. ……. 15

2.2 Методические особенности изучения показательных уравнений и неравенств…. ……………………………………………………….…………..18

Актуальность работы . В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств и системам, содержащие показательные уравнения. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями и неравенствами в 10 классе после того, как познакомятся с показательной функцией и ее свойствами, а системы, содержащие показательные уравнения и неравенства в 11 классе. Показательные уравнения, неравенства, системы, содержащие показательные уравнения, встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание, т.к. в заданиях ЕГЭ системы, содержащие показательные уравнения и неравенства могут быть и комбинированными. И для того, чтобы решить правильно систему уравнений или неравенств, нужно правильно решить показательное уравнение или неравенство.

При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

— при решении показательных уравнений и неравенств, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям и неравенствам;

— при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Объектом является процесс обучения математике в старшей школе.

Предметом являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в старших классах средней школы.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и началам анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений и неравенств, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения и неравенства»;

· проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

· систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств;

· систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

В процессе работы используются следующие методы исследования: изучение и анализ теоретических и методологических источников по теме исследования, качественный и количественный анализ данных.

Структура: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа составляет 31 страницы.

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1 Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения и неравенства»

В данном параграфе мы проведем анализ школьных учебников алгебра и начал анализа для того, чтобы узнать в каком классе изучают показательные уравнения и как преподносится эта тема в каждых из учебников. Для сравнения возьмем 3 учебника алгебры для старших классов общеобразовательной школы.

— А.Г. Мордкович, Алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений;

— А.Н. Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений;

— Ш.В. Алимов, Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений.

Впервые тему «Показательные уравнения неравенства» изучают в 10 классе. Проанализировав учебники, мы можем узнать в чем сходство и различие теоретического материала, заданий.

Учебник алгебры А.Г. Мордковича дает цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования. Изложение теоретического материала ведется очень подробно. Построение курса алгебры осуществляется на основе приоритетной функциональной линии.

Прежде чем познакомить нас с методами решения показательных уравнений и неравенств автор знакомит нас с такими понятиями как, корень n -ой степени числа и его свойства. Далее мы знакомимся с функцией y , ее графиком и свойствами. После мы изучаем логарифмическую функцию, ее свойства. И уже потом переходим к показательной функции и затем, к решению показательных уравнений и неравенств.

Сначала вводится понятие показательного уравнения, как

показательным называют уравнения вида: , где –

положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к нему. Далее приведена теорема о решении показательного уравнения с одинаковыми основаниями. В учебнике предложены методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной.

В каждом параграфе представлено большое количества заданий. Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок содержит задания базового и среднего уровня сложности, второй блок включает задания среднего и повышенного уровня.

По данной теме предлагаются задания:

· решить систему уравнений;

Следует отметить, что учебник «Алгебры и начала анализа10-11 классы» используется в обычном классе. Для профильных классов есть другой учебник этого автора.

Учебник «Алгебры и начала анализа» А.Н. Колмогорова является самым распространенным учебником алгебры в 10-11 классах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Задания для учащихся делаться на две части. Первая часть заданий обязательный минимум для учеников, который они должны уметь решать. В следующей части задания чуть сложнее. Также в конце каждой темы можно увидеть задания и вопросы на повторение, что помогает к подготовки к контрольной работе.

В учебники хорошо изложен дополнительный материал, интересные факты, биография ученных, происхождение терминов. Это позволяет развить интерес к предмету и окружающему миру.

Содержание учебника Колмогорова мы сначала изучаем главу функции, в которой изучаем показательную функцию. Затем в следующей главе, переходим к решению показательных уравнений и неравенств. Однако, четкого определения показательного уравнения и неравенства в учебнике нет.

В учебнике представлены следующие задания:

— решите систему уравнений;

Учебник «Алгебра и начала математического анализа» Ш.В. Алимова пользуется меньшей популярностью среди учебников алгебры. Изложение учебника уже близко подходит к математическому анализу. В учебнике очень много разобранных примеров, графических иллюстраций к решению задач.

Задания, предоставляемые в параграфе, разделены на два уровня: средний и высокий. В конце учебника к каждому параграфу есть дополнительные задачи, которые помогают подготовиться к контрольной работе.

Прежде чем перейти к решению показательных уравнений и неравенств автор предлагает сначала познакомиться с показательной функцией, ее графиком и свойствами. В учебнике представлены методы: метод уравнивания показателей, вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной. При решении показательных неравенств, также автор предлагает обратить внимание на возрастание и убывание функции. В учебнике предлагается пример решения показательного неравенства графическим методом. После изучения методов решения показательных уравнений и неравенств, сразу дается решение систем, содержащих показательные уравнения и неравенств.

Задания, представленные в учебнике:

— доказать, что уравнение имеет один корень при фиксированном значении ;

— решить графически уравнения;

— найти целые значения неравенства на отрезке;

— решить графически неравенства;

Проанализировав учебники, можно сделать вывод о том, что во всех трех учебниках почти одинаковый порядок изучения темы, но методы решения показательных уравнений представлены по-разному. Теоретическое изложение этой темы, задания представленные в учебнике алгебры и начал анализа изложены лучше под редакцией А.Г. Мордковича.

1.2 Показательные уравнения и методы их решения

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Например:

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: .

Пример показательных уравнений:

1.

2.

3.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

· Ме т од уравнивания показателей;

· Метод введения новой переменной;

· метод вынесения общего множителя за скобки;

· метод почленного деления ;

Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей:

· представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

· на основании теоремы, если где , равносильно уравнению вида ,приравниваем показатели степеней;

· решаем полученное уравнение, согласно его виду(линейное, квадратное и т.д.);

· записываем ответ. [ 1 c.105]

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Представим 27 как . Наше показательное уравнение имеет одинаковое основание 3: . Данное уравнение равносильно уравнению .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение , т.к. в показательном уравнении основания одинаковы, следует, что оно равносильно уравнению: . Решаем это линейное уравнение и получаем: .

Ответ: .

Метод введения новой переменно

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

· определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

· решаем уравнение относительно новой переменной;

· записываем ответ. [1 c.109]

Пример1. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение . Применим метод введения новой переменной, пусть . Данное уравнение можно записать в виде . Решая это квадратное уравнение, получаем . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений ⇒

Ответ:

Метод вынесения общего множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в многочлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот многочлен можно представить так: .

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки: .

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему: .

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах. [3 c .170]

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки

Пример1. Решить уравнение: .

Решение: , т.к. равносильно , запишем как . Вынесем за скобку: . Отсюда

. Представим 27 как .Тогда получимуравнение . Следовательно, .

Ответ: .

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения[3 c . 118]

Пример 1. Решить уравнение: .